第三十章 直线与圆的位置关系 学情自测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦直线与圆的位置关系，通过10道单选（30分）、6道填空（18分）、8道解答题（72分），全面覆盖内心外心定义、切线性质、圆与直线位置关系等核心知识点，注重几何直观与推理能力，适配新授课学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|内心定义（1）、圆与坐标轴位置（3）|基础概念辨析，如三角形四心位置判断（5）| |填空题|6/18|直线与圆相离条件（11）、内切圆性质（14）|结合图形情境，如正五边形外接圆（15）| |解答题|8/72|切线证明（18）、面积计算（19）|综合推理与运算，如切线与垂径定理结合（24）|

第三十章直线与圆的位置关系学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 3．在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 4．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 5．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 6．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 7．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 9．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 10．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 13．若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 14．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10， ∴，的半径为10， ∴的长． 16．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 18．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 19．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 20．如如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 21．如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：； (3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【答案】(1)相等；互相垂直 (2)证明：延长交于点， 由（1）可得，垂直平分，即， ∵， ∴是的中位线， ∴，即； (3)补全图形如图： 的半径为3 【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明垂直平分即可； （2）延长交于点，证明是的中位线，再由中位线的性质求解即可； （3）先根据题意补全图形，然后连接，延长交于点，然后证明四边形是矩形，再由圆周角定理得到，最后对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴线段与线段的数量关系是相等； 连接， ∵， ∴垂直平分 ∴直线与的位置关系是互相垂直； （2）略 （3）解：如图，连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵直线是的切线，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 22．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 23．如图，在矩形中，是对角线，． (1)求作，使得与相切于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)射线交于F，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图，先作的垂线，再作； （2）设，，先推导出，，证明，得到，推导出，求出，则，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：设，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已经舍去）， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章直线与圆的位置关系学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.三角形内切圆的圆心为（) A,三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 2.下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心0旋转90°后，能与原图形完全 重合的是() A 0 3.在平面直角坐标系x0中，已知 点M(8,6),以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交， 与y轴相离，那么r可以取的值是() A.6 B.7 C.8 D.10 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.以点C为圆心，r为半径作圆. 若⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为() 12 A.5 B.3 C.4 D.5 5.三角形有“四心”一一内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点)·任意一 试卷第1页，共3页 个三角形的 心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有()种. A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,且 AD=3,BE=2,CF=4,则△ABC的周长为() A D 0 B A.18 B.19 C.20 D.21 7.如图，CA,CB是⊙0的两条切线，切点分别为A,B.连接OA,OB,AB,CO, C0与4B交于点D,若∠4CB=60”,0D=5.则C0的长为（) D B A.2 B.4 C.45 D.35 8.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,⊙0是△ABC的内切圆，DE是 ⊙ 的切线，交4B.1C分别于点D,.则△MDE的周长为() D,E 试卷第2页，共3页 D E A.8 B.10 C.12 D.13 9.在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC,则∠B0C的度数为 () 4 A.105° B.110° C.115° D.125° AB 10.若等边△4B,C内接于等边。ABC的内切圆，则AB的值为() A 1 5 B.2 C. D.3 二、填空题（每题3分，共18分） 11.已知⊙0的半径为5，点O到直线l的距离为d,若直线l与⊙0相离，则d的取值范围 是 试卷第3页，共3页 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的O0与CD相切 于点E.若AD=I,BC=2.则CD的长为 D B 13.若以点 (2,1为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是 14.如图所示，△ABC的内切圆OO与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若 ∠DEF=55°，则∠A的度数是 B ABCDE 15.如图，正五边形 的边长为10，点8、E在⊙ 上，则BE 长是 16.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、IA.若 ∠CAI=40°，则∠OBC的度数为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知直线'=+3与圆2+y2=4 ”与圆 相离，求k的取值范围 试卷第4页，共3页 18.如图，AB为⊙0的直径，CB是⊙O的切线，切点为点B,点D为⊙0上一点，连接 CD并延长交BA的延长线于点E,CD=CB D E B (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)若AE=4,DE=8,求⊙0的半径长. 19.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C, AD=DC=1 (1)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 20.如如图，己知AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，过点C的切线交BA延长线于点 P,且PC=BC (I)求证：AP=AC: (2)过点C作CD∥AB交O0于点D,若AB=8,求CD的长. 试卷第5页，共3页 21.如图，已知4B是o0的直径，点P,C在o0上，A=PC (I)线段PA与线段PC的数量关系是 若连接AC,则直线PO与AC的位置关系 是 (2)求证：PO川BC: ⑧过点'作O0的切线，过点4作D'于点D.根据题意补全图形，若PD=25 BC=2,求⊙0的半径. 22.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC=7cm,CA=6cm 如图， 的内切圆 与 分别相切于点D, △ABC ⊙OBC,CA,AB E,F, (1)求AF的长. (2)已知ac=6√6cm2。 ,求OD的长， 23.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB<AD (1)求作⊙B,使得⊙B与AC相切于点E;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)射线BE交AD于F,若AF=BE,求sin∠ACB的值 试卷第6页，共3页 24.如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,弦DF⊥BC,垂足 为E. D E (I)求证：AD=BD; (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径. 试卷第7页，共3页