第一章 集合与常用逻辑用语 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版必修一集合与常用逻辑用语单元测试卷，适用于单元复习，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识点，通过基础题与创新题结合，考查抽象能力、推理意识及数学表达，适配高中数学单元学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合交并补、子集关系、充分必要条件|结合新定义（如闭集合），考查抽象能力| |填空题|3题15分|空集性质、命题真假判断|注重基础概念辨析，强化推理意识| |解答题|5题77分|集合运算证明、参数范围求解|综合考查逻辑推理与数学语言表达，如证明集合元素性质|

第1章 集合与常用逻辑用语单元测试卷 （人教A版必修一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 3．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 5．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 7．表示不超过x的最大整数，如，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 10．对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 11．设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若集合，则实数的取值范围是_____. 13．若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 14．下列命题：①集合的子集个数有16个；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的充分条件；⑤“”的充分条件是“”.其中真命题的序号是________.（把你认为正确的命题的序号都填上）. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 16．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 18．设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 19．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D A A A B BCD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由已知，故. 2．C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 3．A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 4．D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 5．A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 6．A 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A 7．A 【分析】因为！，则，再分别判断充分性和必要性是否成立即可求解 【详解】若，则，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 9．BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 10．AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 11．ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 12． 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．①③⑤ 【分析】根据元集合的子集个数为个及充分条件、必要条件的定义可逐一判定. 【详解】对于①，集合的子集个数有个，故①正确； 对于②，若，此时，但，即不能推出，所以“”不是“”的必要条件，故②不正确； 对于③，由可推出，“”是“”的充分条件，故③正确； 对于④，若，但，则，即由不能推出，所以“”不是“”的充分条件，故④不正确； 对于⑤，，所以“”的充要条件是“”.显然“”的充分条件是“”.故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 15．(1)， (2)， 【分析】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【详解】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或 16．(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，，综上可得. 17．(1) (2) 【分析】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【详解】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 18．(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 19．(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $