安徽省宿城第一中学2026-2027学年高二上学期开学考数学模拟练习卷（一）

**基本信息** 聚焦人教A版必修一、二核心知识，通过分层设计与情境化问题，考查数学抽象、逻辑推理及数据分析素养，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、复数、向量共线、幂函数等|第3题结合充分必要条件考查向量共线，体现逻辑推理| |多选题|3|函数性质、正方体几何、解三角形|第10题正方体中点线面关系，考查空间观念| |填空题|3|三角函数周期、概率、三棱锥外接球|第14题三棱锥外接球问题，融合几何直观| |解答题|5|统计概率、三角函数图像、解三角形、立体几何、新定义|15题心理健康调查情境考查数据分析；19题“t性质”新定义，培养创新意识|

2026-2027学年高二上学期开学考数学模拟卷（一） (人教A版必修一和必修二) 一、单选题 1．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D．6 3．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 5．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 6．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．在中，角的对边分别为，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 10．棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 11．已知的面积为，若，，则（     ） A．的外接圆半径 B． C． D．的内切圆半径为 三、填空题 12．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 13．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是________． 14．在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 四、解答题 15．某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率）    (1)求n的值及频率分布直方图中的t值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； (3)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 17．在锐角中，角所对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 18．如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 19．设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期开学考数学模拟卷（一） (人教A版必修一和必修二) 一、单选题 1．设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 2．若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】应用复数的乘法 及除法计算化简得出，再应用纯虚数定义列式计算求解. 【详解】复数是纯虚数， 所以不是0，则实数的值为. 3．已知向量，则“”是“向量共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，， 所以向量. 当时，，所以，则向量共线成立. 由向量共线，得，解得， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 4．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 5．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 6．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 7．在中，角的对边分别为，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用和三角形内角和定理，将都用来表示，然后利用正弦定理和三角恒等变换将转化成，最后利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】中，，，. 又，. ，，，. 在中，由正弦定理得，. . 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 8．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 10．在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 11．已知的面积为，若，，则（     ） A．的外接圆半径 B． C． D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用射影定理把转化为边，再结合正弦定理边角互化，约去直接求出外接圆半径；对于B，由正弦定理得到边角等量关系，联立面积与已知三角等式推出，再对平方后代入的值进行计算判断正误；对于C，已得，即，利用互余，通过同角平方关系验证等式两边相等；对于D，得到与斜边，运用三角形内切圆半径与三角形面积的关系，代入面积数值解方程求出内切圆半径． 【详解】设的外接圆半径为，内切圆的半径为， 对于A，由，得，，， 又，所以，即， 因为，所以， 所以，解得，A正确； 对于B，由，得，，， 由的面积为，得，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 因为，所以，，则， 所以，即， 又， 所以，B错误； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，由，，，得， 因为的面积， 所以，解得，D正确． 三、填空题 12．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 【答案】 【分析】根据正切函数的周期性求得，再求的值. 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 13．在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率是________． 【答案】/0.25 【详解】试验的样本空间，两位数能被4整除记为事件A，，有3个样本点. ∴所求事件的概率. 14．在三棱锥中，为等边三角形，，平面，若在平面上的射影为的重心，则该三棱锥的外接球的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用重心公式得到重心的坐标，结合射影性质平面，通过向量垂直的数量积运算求出；再将该直棱型三棱锥外接球等效为直三棱柱外接球，结合底面等边三角形外接圆半径求出外接球半径，最后代入球体体积公式算出结果． 【详解】 设，如图，以为原点，过作平行于的直线为轴，中边上的高为轴，为轴，， 由，是等边三角形， 得，，，， 设是的重心， 则的坐标为，即， ，，， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以，， 解得， 在三棱锥中，平面， 外接球可看作以的外接圆为底面、为侧棱的直三棱柱的外接球， 设的外接圆半径为，则，解得， 设三棱锥的外接球的半径为，则， 所以三棱锥的外接球的体积． 四、解答题 15．某地区为了了解市民的心理健康水平，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将心理健康分为四个等级： 调查评分 心理等级 有隐患 一般 良好 优秀 并绘制了如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的市民人数为400人．（用频率估计概率）    (1)求n的值及频率分布直方图中的t值； (2)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照分层随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后至少有一人心理等级转为“良好”的概率； (3)在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照简单随机抽样的方法抽取3人，进行心理疏导．根据以往的数据，经心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后恢复情况相互独立，试问抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 【答案】(1)人， (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解即可， （2）由分层抽样与对立事件的概率公式可求解． （3）利用互斥事件的概率加法公式与独立事件概率乘法公式可求解. 【详解】（1）由已知条件可得（人），，； （2）由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在的人数的， 故抽取的三人中调查评分在内的有1人，调查评分在内的有2人． 因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立， 所以选出的3人经过心理疏导后，心理等级均达不到“良好”的概率为， 所以经过心理疏导后，至少有1人心理等级转为“良好”的概率； （3）在调查评分在的市民中随机抽取1人，其来自调查评分在内的概率为， 来自调查评分在内的概率为，该人转化为“良好”的概率为， 抽取的3人中，经过心理疏导后恰有一人心理等级转为“良好”的概率． 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，（）． (2)． 【分析】（1）运用三角恒等变换将化成正弦型函数，再根据周期的公式求得的最小正周期，并用整体代换即可求出其单调递增区间； （2）根据图象变换法则得到的解析式，分析在上的单调性，并将关于的方程在区间上有两个不同的实数解，转化为与在区间上的图象有两个不同的交点，从而求得实数的取值范围． 【详解】（1）， 所以的最小正周期， 令，，得，， 所以的单调递增区间为（）． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得， 因为，所以． 令，得；令，得. 所以在区间单调递增，在区间单调递减． 所以，，， 因为关于的方程在区间上有两个不同的实数解， 所以直线与在区间上的图象有两个不同的交点， 所以， 即实数的取值范围为． 17．在锐角中，角所对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及余弦定理和正弦定理得到，进而化简得到，最后求出角度即可. （2）利用两角差的正弦公式并结合题意得到，，最后利用正弦定理得到，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，左式 ， 所以由余弦定理和正弦定理，可得右式， 故， 而为锐角三角形，， 故，故，故. （2）因为，所以， 所以，，， 所以，即，， 由正弦定理可得，所以， 得到， 所以． 18．如图，在多面体中，是边长为的等边三角形，平面，，，，，记的中点为． (1)证明：平面； (2)设为棱上的动点， （i）若，求到的距离； （ii）求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)如图，取的中点，连接，. 平面，，，平面，平面. 为的中点，为的中点，， 在直角梯形中，，. ，，，； 平行四边形是平行四边形. . 平面，平面，平面平面. 是等边三角形，为的中点，. 平面平面，平面，平面. ，平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线性质得四边形是平行四边形，求得；由平面证得平面平面，再证得平面，从而得到平面. （2）（i）过点分别作，，分别求出，，根据余弦定理求出 值，再求出的值，从而求出点到的距离； （ii）由余弦定理求出的值，再根据体积相等，解得的值，从而求出与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）如图，过点分别作，，垂足分别为点，；取中点，连接，，，. 是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. ，； ，，，，. 在中，. ，平面，平面. 在中，； 在中，. 在中，； . 在中，. 即点到的距离为. （ii）如图，过点作平面，垂足为点，连接，则为与平面所成角； 分别过点，作，，，垂足分别为，，. 则，，，. 在中，； 在中，； 在中，； ，即为等腰三角形. 是的中点，，. ，. 为棱上的动点，设，. 在中，. 在中，； 在中，； 在中，； . .，. 由（1）得平面，则平面. ，即，解得. 在中，. ，当时，取得最大值，即. 即与平面所成角的正弦值的最大值为. 19．设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； (2)已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； (3)证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】(1)①是，理由如下：因为对任意， ，符合定义； 因此，函数具有性质. ②不是,理由如下：令 ， ，故不具有性质. (2)；（2）显然，设， 则 ， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立， 由，可得，所以. (3)充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足， 即，而， 故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 综上，“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 【分析】（1）根据函数具有性质的条件进行判断即可； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，即可得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $