精品解析：安徽省淮南市淮南第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

淮南二中2025-2026学年度第一学期开学考高二数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算可得结果. 【详解】，则. 故选：C. 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 故选：C 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 4. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 5. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 6. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】 连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 7. 已知函数有且仅有一个零点，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当或时求得，然后验证，，，利用排除法可得答案. 【详解】当，解得或，当，解得． 当时，有一个零点，符合题意，A错误； 当时，有两个零点和，不符合题意，C错误； 当时，有一个零点，符合题意，D错误， 故选：B． 8. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可. 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，所以， ，所以， 因为，所以，不一定相等，故C错误； 对于D，设，则， 所以，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若互斥，则 D. 若相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用事件的关系结合概率求解可判断A的真假；根据互斥事件的概率加法公式可判断B的真假；根据互斥事件的概念可判断C的真假，根据独立事件的概率公式结合概率的加法公式可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以发生，则一定发生，所以，所以，故A错误； 对B：若互斥，则，故B正确； 对C：若互斥，则事件不可能同时发生，所以，故C错误； 对D：若相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为，为锐角，所以，，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B：，所以选项B正确； 选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过平移得到线面所成角，计算即得；对于B，利用面面平行的性质定理作出截面，即可判断其形状；对于C，通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；对于D，取中点，连接，交于点，连接，可证平面，推得即直线与平面的夹角，设，，结合图形求出，由函数的单调性即可求得其范围. 【详解】对于A，因，故即直线与直线所成角， 因，故A正确； 对于B，如图，连接，因，易得， 因平面平面，连接即为截面S与正方体的一条截线， 连接，计算易得，故截面S的形状为等腰梯形，故B正确； 对于C，如图，过点作的平行线交直线于点，连接，交于点， 因，易得，则，于是，，则， 如图，又可得，则，即，解得：，故C错误； 对于D，如图，取中点，连接，交于点，连接， 易得，则，又因平面，平面，则， 因平面，故平面， 则即直线与平面的夹角，设为，不妨设，则， 在中，， 因，则，可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理进行求解，注意，，故为锐角，从而得到答案. 【详解】由正弦定理得， 又，，，所以， 其中，，故为锐角，所以. 故答案为： 13. 已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式得到命题和成立的的范围，再由是的充分不必要条件得到自变量范围的包含关系从而可得结果. 【详解】由得，即，记； 由得，即，记. 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________. 【答案】72 【解析】 【分析】由平均值公式、方差公式，根据男生分数、全班分数的方差可求出女生分数的方差. 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数为，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由 ， 所以，解得； 因为，所以， 化简得， 解得， 则女生分数的方差为. 故答案为：72 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值． （2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 【答案】（1） （2），，64 【解析】 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1列方程求解即可； （2）根据频率分布直方图中众数、百分位数以及平均数的定义逐一计算即可. 【小问1详解】 由频率分别直方图的性质，可得， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图，可得众数为， 因为前2组的频率和为，前3组的频率和为, 所以80%分位数在第3组，设80%分位数为， 则，解得，所以80%分位数为73， 这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：， 所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为64． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求三棱锥的体积． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：折叠前，，折叠后，， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需分别求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可； （3）由等体积法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）问可知，平面，所以三棱锥的高， 又因为折叠前为，点，分别为，的中点， 所以， 所以； 【小问3详解】 设点到平面的距离为，则有， 又有，故解得． 17. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积公式，结合二倍角公式和两角和差公式，将化简为，再利用周期公式求出周期，利用正弦函数的图象和性质求解函数的单调递增区间； （2）首先求出，再利用已知，可求出的取值范围，又在上的值域为，结合正弦函数的图象，建立的不等式，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 由向量，，得 ； 函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，， 由在上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是. 18. 已知且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）令，写出的单调区间（只需写出结论）； （3）在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 为奇函数.证明如下： 由，得或， 即函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，无减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法即可证明函数的奇偶性； （2）根据对数复合函数的单调性的应用即可求解； （3）由函数的单调性可知且，进而，则是方程在的两个不同的根，解不等式组即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，由，解得或， 即的定义域为， 又函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 此时的减区间为，无增区间； 当时，在上单调递增， 此时的增区间为，无减区间. 【小问3详解】 由，，得， 又，得，所以. 所以在上单调递减，则在上的值域为， 得，即， 所以是方程即在的两个不同的根， 则，解得. 所以存在满足题意的，此时a的取值范围为. 19. 在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. （1）求角； （2）求证：； （3）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：因为，所以是边上靠近的三等分点， 由向量三等分线定理得， 两侧同时平方得， 则， 而，故， 可得，即原命题得证. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理角化边，再运算得到，进而结合三角形内角的性质求解即可. （2）结合题意得到是边上靠近的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可. （3）先构造，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出的范围，再对合理变形，得到，最后利用三角形面积公式表示出，最后结合对勾函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以， 两侧同乘，可得， 则，可得， 故，而，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知得，则， 且设，因为是锐角三角形，所以，， 由余弦定理得，， 则，， 我们先求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故， 我们再求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故，综上，， 因为，所以，，而， 故，则， 可得，故， 则， 由三角形面积公式得， 令，则， 由对勾函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，当时，， 当时，，故， 则，故面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2025-2026学年度第一学期开学考高二数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 4. 已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 5. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有且仅有一个零点，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若互斥，则 D. 若相互独立，则 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的正切值为 B. 当时，截面S的形状为等腰梯形 C. 当时，S与交于点R，则 D. 当时，直线与平面的夹角正弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 13. 已知命题：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________. 14. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值． （2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数． 16. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点． （1）求证； （2）求三棱锥的体积． （3）求点到平面的距离． 17. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18. 已知且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）令，写出的单调区间（只需写出结论）； （3）在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. （1）求角； （2）求证：； （3）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $