精品解析：安徽省六安市独山中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学测试 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出的值. 【详解】∵， ∴，∴． 故选：D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后通分，将其转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 7. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可． 【详解】对于①，且成立，可能平行，异面或者相交，①错误； 对于②，由且，得，又，则，②正确； 对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 而，于是，，③正确； 对于④，若，，可能平行，也可能相交，④错误. 故选：B 8. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、多选题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，求出复数，根据共轭复数，复数的乘方，和复数与复平面内点的对应关系，分别判断各选项正误. 【详解】，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； 在复平面上对应的点在第四象限，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列叙述中，正确的有（ ） A. 正弦定理的变式： B. 余弦定理： C. 球体体积公式为： D. 棱台的体积公式为： 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正余弦定理和球体和台体的体积公式即可判断. 【详解】，则正弦定理的变式：，故A正确； ，故B正确； 球体体积公式为：，故C正确； 棱台的体积公式为：，故D错误； 故选：ABC 11. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 13. 已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内两条相交直线，则； ②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线； ③若，且，则； ④若且，则； ⑤若，且，则． 其中正确命题的序号是_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②⑤，可举出反例；对于③考虑的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确． 【详解】对于①，由线面垂直的判断定理可知，若l垂直于a内的两条相交直线，则，故①正确， 对于②，若，如图1， 可知，与是异面关系，故②不正确， 对于③，若，且，无法得到，故无法得到，故③不正确， 对于④，根据面面垂直的判断定理可得，若且，，则，故④正确， 对于⑤，如图2，满足，且，则异面， 故⑤不正确， 故正确命题的序号是 ①④． 故答案为：①④ 14. 已知则满足的x的值为____. 【答案】3 【解析】 【分析】分析出使成立，有或两种情况，再分别解方程组即可得解. 【详解】若，则有①或②， 由解得，与矛盾，故①无解，舍去； 由解得，满足，故②解得， 所以满足的x的值为3. 故答案为：3 四、解答题 15. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 【答案】（1）2 （2）奇函数，证明如下： ∵函数的定义域为， 又， ∴函数是奇函数． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式求解； （2）由奇函数的定义证明． 【小问1详解】 解：∵函数的图像过点， ∴，∴； 【小问2详解】 略 16. 已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时 或 解得1≤a≤5或a=（舍） ②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 解得a5或a<（舍） 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为[1, +∞) 17. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值的大小． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解. 【小问1详解】 因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC. 【小问2详解】 因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为. 18. 在中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得. （2）利用面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由，得， 在中，， 在中，. 【小问2详解】 ， 由余弦定理得， ，， 的周长为. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1），最大值为，最小值为 （2）偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，再利用周期公式和三角函数性质求最值得到答案. （2）代入计算得到，再根据奇偶函数的定义判断奇偶性. 【小问1详解】 ， 故， 当，即时，函数有最大值为； 当，即时，函数有最小值为. 【小问2详解】 ， ，函数为偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测试 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 二、多选题 9. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 是实数 D. 在复平面上对应的点在第二象限 10. 下列叙述中，正确的有（ ） A. 正弦定理的变式： B. 余弦定理： C. 球体体积公式为： D. 棱台的体积公式为： 11. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题 12. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 13. 已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l垂直于α内两条相交直线，则； ②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线； ③若，且，则； ④若且，则； ⑤若，且，则． 其中正确命题的序号是_______． 14. 已知则满足的x的值为____. 四、解答题 15. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 16. 已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围． 17. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值的大小． 18. 在中，内角所对的边分别为.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及最值； （2）令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $