1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《空间向量及其线性运算》同步训练通过三级分层设计（基础理解-技能应用-综合探究），实现从单一概念辨析到空间几何综合应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求，突出空间观念与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量长度、共面条件等核心概念|单选1-3直接考查定义，如向量夹角计算，夯实概念理解| |技能层|共线/共面定理应用、命题辨析|多选7结合空间四边形中点性质，提升定理灵活应用能力| |综合层|空间几何体中向量表达与证明|解答题12证明四点共面，融合几何直观与逻辑推理，体现知识综合迁移|

1.1.1空间向量及其线性运算 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 2．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 3．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 4．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 5．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 6．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 二、多选题 7．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案. 【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以 ，故A不成立； ，故B成立； ，故C成立； ，故D成立. 故选：BCD.      8．在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 三、填空题 9．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得答案. 【详解】如图，． 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 四、解答题 11．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 12．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 4．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 8．在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．设是的重心，记，，则________（用，表示）． 10．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 四、解答题 11．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 12．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $