专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），从求根公式推导两根和与积的公式入手，明确判别式的应用前提，构建“推导-公式-应用”学习支架，涵盖构造方程、求参数及代数式值等核心内容。 资料含逻辑图辅助抽象能力培养，题型分层设计（如对称与非对称参数问题）提升运算与推理意识，结合三角形、四边形综合题发展模型观念，新定义问题激发创新意识。课中助力教师系统教学，课后通过练习题帮助学生查漏补缺。

专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程。 2.掌握当ax2＋bx+c=0 (a≠0)，两根为时，，。 3.能根据两根构造一元二次方程；已知方程一根，求另一根以及方程中字母参数的值。 4.会利用根与系数的关系，不解方程求两根之和、两根之积，以及两根的简单代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数；在运用韦达定理求代数式的值时，体会整体代入的数学思想，提升代数变形、推理运算能力。 5.知道根与系数关系成立的前提条件：方程必须有实数根，即。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积公式。 （2）不解方程，利用韦达定理求两根之和、两根之积以及相关代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数。 （3）已知一根求另一根、求参数；根据两根构造一元二次方程。 2.难点 （1）理解韦达定理推导过程，注意公式中的负号，是高频易错点。 （2）灵活变形代数式，会整体代入。 （3）容易忽略使用前提：方程有实数根，含参数题目求出参数后要检验判别式。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。 2）常用推导变形： ② ③ 等 3）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 则：时，有; 时，有 时，有 【即学即练】 1．（2026·河北石家庄·一模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根之和为2 C．两根之积为3 D．两根之和为1 2．（2026·河北沧州·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 3．（2026·河南周口·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 4．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 5．（2026·四川乐山·模拟预测）设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． (1)若是方程的两个根，则___________，___________； (2)若是方程的两个根，求的值． 题型01 利用根与系数的关系求方程的根 【典例1】（25-26九年级下·江西南昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·月考）若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为______． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 【变式3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）下列一元二次方程中，两实数根之和为的是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用根与系数的关系求有关根的代数式的值 【典例1】（25-26·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____． 【变式1】（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值是____． 【变式3】（25-26·陕西西安·九年级校考期末）若方程的两根为，，则_____． 题型03 利用根与系数的关系及代根法综合求值 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）已知方程的两根分别为、，则的值为__________． 【变式3】（25-26九年级下·广东中山·月考）已知a、b是方程的两根，则_______ ． 题型04 利用根与系数的关系求参数值（对称型） 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 【变式1】（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值． 题型05 利用根与系数的关系求参数值（非对称型） 【典例1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于x的一元二次方程.方程两实数根分别为，，且满足，则_________． 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·月考）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【变式2】（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 【变式3】（2025·四川成都·一模）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 题型06 构造一元二次方程求代数式的值 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【变式2】（2025·成都·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式3】（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，且，求的值． 题型07 根与系数的关系与三角形综合 【典例1】（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值；(2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是___________． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 题型08 根与系数的关系与四边形综合 【典例1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 【变式1】（2026·河北衡水·模拟预测）若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 【变式2】（25-26八年级下·浙江·月考）若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______． 【变式3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【变式4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】（1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】（3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 题型09 根与系数关系中的新定义问题 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 题型09 一元二次方程根的分布（拓展） 【典例1】（2025·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，．(1)求证：的值为定值；(2)若，同号，求的取值范围． 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·成都·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·一模）若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 5．（2025·成都·校考一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 6．（2025·成都·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 8．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 9．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的值． 10．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 11．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．(3)在（2）的条件下，求的值． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 1．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏南通·自主招生）关于的方程，有下列四个命题：（   ） 甲：是该方程的根；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：该方程两根之积小于0． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2025·四川成都·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 5．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、．则：，． 请同学阅读后完成以下问题：(1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 7．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ．(1)求m的取值范围；(2)若为整数，求整数m的值． 8．（24-25八年级下·浙江金华·月考）按要求完成问题 (1)已知实数，是方程的两根，求的值； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 9．（25-26八年级下·安徽滁州·月考）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；(3)若的值为负整数，求实数的整数值． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程。 2.掌握当ax2＋bx+c=0 (a≠0)，两根为时，，。 3.能根据两根构造一元二次方程；已知方程一根，求另一根以及方程中字母参数的值。 4.会利用根与系数的关系，不解方程求两根之和、两根之积，以及两根的简单代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数；在运用韦达定理求代数式的值时，体会整体代入的数学思想，提升代数变形、推理运算能力。 5.知道根与系数关系成立的前提条件：方程必须有实数根，即。 教学重难点 1.重点 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积公式。 （2）不解方程，利用韦达定理求两根之和、两根之积以及相关代数式的值、已知两根相关的等量关系求参数。 （3）已知一根求另一根、求参数；根据两根构造一元二次方程。 2.难点 （1）理解韦达定理推导过程，注意公式中的负号，是高频易错点。 （2）灵活变形代数式，会整体代入。 （3）容易忽略使用前提：方程有实数根，含参数题目求出参数后要检验判别式。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。 1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。 2）常用推导变形： ② ③ 等 3）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根 则：时，有; 时，有 时，有 【即学即练】 1．（2026·河北石家庄·一模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根之和为2 C．两根之积为3 D．两根之和为1 【答案】B 【详解】∵原方程，移项整理得，由判别式大于零得：方程有两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：两根之和为 2，两根之积为-3，因此A，C，D错误，B正确． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）关于的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】C 【详解】解：将原方程整理为标准形式，得，∴， ∵，∴，方程有两个不相等的实数根，排除A选项； 设方程的两个实数根为，，则，可得C选项符合条件； ，为小于0的任意数，不是定值，排除D选项； 两根之和为，不可能有两个正实数根，排除B选项． 3．（2026·河南周口·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 4．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 【答案】A 【详解】解：∵ 方程有两个实数根 ∴ 解得 ， 由根与系数的关系可得， 由题意得，代入得： 整理，得，解得或 ∵ ∴ 不符合要求，舍去；因此． 5．（2026·四川乐山·模拟预测）设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 又∵，∴，解得，∴，∴． 6．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． (1)若是方程的两个根，则___________，___________； (2)若是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由题意得，在中，，，， ∴，； （2）解：由题意得，在中，，，， ∴，， ∴． 题型01 利用根与系数的关系求方程的根 【典例1】（25-26九年级下·江西南昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 【答案】2025 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系可得：， 已知，代入得：解得：． 【变式1】（25-26九年级下·江苏常州·月考）若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为______． 【答案】3 【详解】解：设原方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解得， ∴原方程的另一个根为3． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知：关于的方程有一个根是2，则__________，另一个根是__________． 【答案】 2 1 【详解】解：设方程的另一个根为， 可得 解得 ，， 【变式3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）下列一元二次方程中，两实数根之和为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、∵，∴，该选项不符合题意； 、∵，∴，该选项不符合题意； 、∵，∴一元二次方程无实数根，该选项不符合题意； 、∵，∴，该选项符合题意． 题型02 利用根与系数的关系求有关根的代数式的值 【典例1】（25-26·江苏南通市·九年级期中）方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2++2020＝_____． 【答案】2001.5 【详解】解：∵方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8， ∴+2x1x2++2020＝+2x1x2++2020＝+2x1x2+2020＝+2x1x2+2020 ＝+2×（﹣8）+2020＝﹣2.5﹣16+2020＝2001.5，故答案为：2001.5； 【变式1】（2026·山东东营·一模）若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两根，∴，， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值是____． 【答案】3 【详解】解：由题意得：m、n是一元二次方程的两个根, 根据韦达定理得：、， 则． 【变式3】（25-26·陕西西安·九年级校考期末）若方程的两根为，，则_____． 【答案】7 【详解】解：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x1+x2=-5，x1x2=-6， ∴；故答案为：7 题型03 利用根与系数的关系及代根法综合求值 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵α是方程的根，∴． 对变形，得. 同理可得，.∴原式． ∵ α，β是方程的两个根，得．∴原式． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（    ） A．12 B．10 C．2 D．0 【答案】A 【详解】解：将整理为，∵m、n是方程的两个实数根， ∴由一元二次方程解的定义得，即，由根与系数的关系得，， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）已知方程的两根分别为、，则的值为__________． 【答案】2026 【详解】解：方程的两根分别为，，，， ． 【变式3】（25-26九年级下·广东中山·月考）已知a、b是方程的两根，则_______ ． 【答案】 【详解】解：a、b是方程的两根，，， ． 题型04 利用根与系数的关系求参数值（对称型） 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】的值为或． 【详解】解：∵，∴无论取何值时，方程有两个不相等实数根， ∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，， ∵，∴， 整理得：，解得：，，∴的值为或． 【变式1】（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程两根为、， ∴，，∴，∴，故答案为：． 【变式2】（2026·河北石家庄·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个根且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根．∴，． 又∵．∴代入，得．解得． 验证得判别式，方程有两个实根，符合题意． 【变式3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求的取值范围；(2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ∵方程有两个不等实数根即，； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，， ∴ ， ；； ；；，． 题型05 利用根与系数的关系求参数值（非对称型） 【典例1】（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知关于x的一元二次方程.方程两实数根分别为，，且满足，则_________． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根分别为，，∴， 又∵，∴，∴，∴. 【变式1】（24-25八年级下·浙江金华·月考）设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的两个根，∴， ∵，∴，解得， 将代入中，则，解得． 【变式2】（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，∴， 又∵，得，解得：，∴，故答案为：． 【变式3】（2025·四川成都·一模）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴或， ∵，∴， ∵，∴，解得．故选：C． 题型06 构造一元二次方程求代数式的值 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，，∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根，，， ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根，，， ． 【变式2】（2025·成都·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【详解】解：①当时：∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时：∵a和b是方程的两个根，∴，， 原式， ∵，∴分子，分母， ∴原式，综上所述，原式的值为2或．故选：C． 【变式3】（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若实数m，n满足，且，求的值． 【答案】(1)方程必有两个不相等的实数根，理由见解析(2) 【详解】（1）证明：在一元二次方程中， ，∴， ∵，∴，即，∴方程必有两个不相等的实数根． （2）解：由，得， ∵，∴，∴m和都满足方程， 对于一元二次方程，有， ∵m和是方程的两个根，且，∴，∴． 题型07 根与系数的关系与三角形综合 【典例1】（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值；(2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴，解得． ∵，∴，∴， 整理，得，解得或（舍去），故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根，∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时，∴，，∴， 整理，得，解得， 当时，，此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，，此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时，∴，解得，∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在；综上所述，三角形周长为17． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是___________． 【答案】24或25 【详解】解：分两种情况讨论：①当为等腰三角形的底边时，两腰长为、，因此， ∵、是一元二次方程的两根，∴，，由可得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，因此； ②当为等腰三角形的腰长时，则、中有一个根为， ∴，∴方程的另一根为． 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，因此．综上，的值为或． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以，平方得： ， 代入得，即，解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以，平方得： ， 代入得： ，解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 题型08 根与系数的关系与四边形综合 【典例1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，在平行四边形中，已知，，则对角线长的最大整数值为______． 【答案】10 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，， ∴，，∴，， 在平行四边形 中，对角线的长度满足，即 ． ∴长的最大整数值为10．故答案为：10． 【变式1】（2026·河北衡水·模拟预测）若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 【答案】3 【详解】解：设平行四边形的底和其对应的高的长分别为、， 平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根， ，平行四边形的面积． 【变式2】（25-26八年级下·浙江·月考）若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是______． 【答案】8 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b， ∵长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根， ∴．∴长方形的周长为． 【变式3】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【答案】 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、． ∵,是一元二次方程的两个实数根．∴由根与系数的关系得 ． ∵菱形面积为．∴．解得 ． ∴菱形的边长为 ． 【变式4】（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】（1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】（2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】（3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【答案】（1）12，2（2）不存在，理由见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得，解得或（不符合题意，舍去），故答案为12，2； （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得，整理得， ∴，∴方程无解，∴方程组无解，∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得，整理得， ∴，∴方程有解， 又，，∴方程有正数解，∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 题型09 根与系数关系中的新定义问题 【典例1】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【详解】解：先解方程因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义．综上，的值为或． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【答案】① ③ 【详解】解：①根据倒方程的定义，方程的倒方程为. 将代入，得解得，故①正确. ②设是和它的倒方程的相同根，则 两式相减得，整理得. 因为，所以，解得，即相同根为或，故②错误. ③若一元二次方程无解，则其根的判别式. 该方程的倒方程为，其根的判别式，因此倒方程也无解，故③正确. ④和它的倒方程的根的判别式都为. 当时，若，则，此时两个方程都没有实数根，例如，满足，但，无实数根，故④错误.综上，正确结论为①③. 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 【答案】2或 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴，∴， ∵方程是“差3方程”，∴， ∴，解得：， 当时，原方程为，此时，符合题意； 当时，原方程为，此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或．故答案为：2或 【变式3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 【答案】(1)是(2)或(3)和 【详解】（1）解：∵，∴，∴，， ∴方程是倍根方程； （2）解：∵，∴，， 当时，；当时，； （3）解：∵方程是倍根方程，∴设， ∵，∴，∴，∴，∴，． 题型09 一元二次方程根的分布（拓展） 【典例1】（2025·成都·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴且， ∴，解得， ∵，，又∵，∴，， ∴，∴，即，解得， ∴a的取值范围是．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知实数，，（），且满足，．(1)求证：的值为定值；(2)若，同号，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由，，（）， ∴，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，，∴的值为定值； （2）解：由（1）知，为关于的方程的两个不相等的实数根，∴， ∵，同号，∴，解得：． 又∵，∴，∴，∴的取值范围为． 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简绝对值，分两种情况当和分别求解，当时，解出x， 不满足题意，当时，则，然后再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵，∴或， 当时，则，即， ∵，∴或，不满足题意， 当时，则，∴， ∵方程有实数根，∴当时，即，解得（舍去）或， 把代入，得，即，解得：（不是正数，舍去）， 当时，即，解得或， 设和为的两根，，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根，∴，，解得：，综上：． 【变式3】（2025·成都·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】法1：设方程的两根分别为，∴，， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，不妨设 ∴，∴，故选：A． 法2：解：设，∵，∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值，∴， 对于一元二次方程，解得，，∴，故选：A． 1．（2026·湖北·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，∴． 2．（2026·广东佛山·一模）若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， 原式． 3.（2026·山东济南·一模）若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设方程两根为，，∵方程两根互为相反数，∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴，解得：，即， ∵要使方程有两个实根，∴判别式，即， 代入得：，∴，即， ∵，，∴． 4．（2026·山西临汾·一模）关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【详解】解：∵∴，，，∴， ∵ 无论取任意实数，都有∴ ，因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根分别为，，则，∴ 两个根异号，即方程有一个正根，一个负根. 5．（2025·成都·校考一模）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】/ 【详解】解： ∵是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为 ∴根据根与系数的关系得，解得， 所以方程的另一个根为．故答案为：． 6．（2025·成都·一模）若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ． 【答案】3 【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且， ∴，解得． 又是方程的两个根，则，， ∵，∴，∴， 解得，（舍去），故．故答案为：3． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m是一元二次方程的根，∴，即． 将其代入，得，即， ∵m，n是一元二次方程的两根，∴，． 将其代入，得．解得，故答案为． 8．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴．解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得：．解得 ．∴的取值范围为． 9．（2026·四川南充·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得； （2）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得，， ，，∴， 整理得，解得，由（1）得舍去，因此． 10．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）已知关于的一元二次方程， (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求的值． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个根是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5， ∴，， ∴，整理，得，解得或； ∵是一个矩形的两边长，∴， ∴，∴，∴． 11．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．(3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得，解得； （2）解：，解得或（不符合题意，舍去）∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围；(2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∵，∴符合题意．∴． 1．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． 2．（25-26九年级下·江苏南通·自主招生）关于的方程，有下列四个命题：（   ） 甲：是该方程的根；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：该方程两根之积小于0． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：分四种情况讨论：①假设甲为假命题，乙、丙、丁为真命题， ∵乙说是方程的根，丙说两根之和为，∴另一根为， ∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，此情况不成立； ②假设乙为假命题，甲、丙、丁为真命题，∵甲说是方程的根，丙说两根之和为， ∴另一根为，两根之积为，满足丁的命题，此情况成立，只有乙为假命题； ③假设丙为假命题，甲、乙、丁为真命题，∵甲说是根，乙说是根， ∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，出现两个假命题，此情况不成立； ④假设丁为假命题，甲、乙、丙为真命题，∵甲说是根，乙说是根， ∴两根之和为，与丙说两根之和为矛盾，出现两个假命题，此情况不成立，综上，假命题是乙． 3．（2025·四川成都·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为 【答案】5或-1 【详解】解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∴异号， 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意； 当时，∵ ，∴，即，∴，解得：， 此时原方程为，解得：， 经验证， ，成立，故符合题意．综上所述，或． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 5．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，解得：，根据根与系数的关系得, ，， ，解得：，，，故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东济宁·期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、．则：，． 请同学阅读后完成以下问题：(1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵方程的两根分别为，，∴，； （2）解：∵，是一元二次方程的两个实数根，， ∴，，∴，则； （3）解：∵x的一元二次方程的两个实数根分别是，，∴， 又∵，∴，即 ，解得：，， 又∵，解得，即：． 7．（25-26九年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．(1)求m的取值范围；(2)若为整数，求整数m的值． 【答案】(1) (2)整数m的值为或． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． ，解得，∴的取值范围为； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴， ∴， ∵为整数，∴或，∵，∴整数m的值为或． 8．（24-25八年级下·浙江金华·月考）按要求完成问题 (1)已知实数，是方程的两根，求的值； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数，满足，，求的值． 【答案】(1)3(2)(3)0 【详解】（1）解：∵∴a，b是一元二次方程的两个根， ∴，，∴，，∴； （2）解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，是一元二次方程的两个根，∴，∴； （3）解：①，②， ，得，∴， ∵，∴，∴，∴③，④， 将④代入①，得，∴， 将③代入②，得，∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根，∴，∴． 9．（25-26八年级下·安徽滁州·月考）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；(3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且(2)不存在，理由见解析(3)实数的整数值为或或或 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：且，∴的取值范围为且； （2）解：不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，， ∵，∴，∴，解得：， 又∵且，∴不符合题意，舍去，∴不存在实数，使成立； （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数，∴或或或， 解得：或或或，∴实数的整数值为或或或． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】(1)不是(2)-6或-8 【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下：， 解得：，，∵，∴方程不是“差1方程”； （2）解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”，∴，∴∴ ∵，∴,∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $