2.3一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第07讲2.3一元二次方程的根与系数的关系暑假预习讲义同步训练 北师大版2026—2027学年九年级数学上册 一、选择题 1．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 4．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（） A．， B．， C．， D．， 5．已知，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 6．若一个一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根是另一个的2倍，则称这个方程为“倍根方程”，关于x的一元二次方程（其中，）是“倍根方程”，则m与n应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 8．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 10．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 11．已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 12．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为______； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为______． 三、解答题 13．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 15．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 16．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 17．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 18．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 参考答案 1．A 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9． 10．15 11． 12．或 13．(1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 14．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 15．【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； (3)证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 16．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 17．【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 18．【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $