考点11 投影与视图（2考点+6题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“概念-原理-应用”为主线，构建投影与视图专项训练体系，提炼6类核心题型解题模板，强化空间观念与几何直观，培养推理意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投影基础|3典例+4变式|光线/场景/影子规律辨析法|从投影定义到平行/中心投影分类，以正投影为桥梁衔接三视图| |三视图核心|3典例+3变式|定方向-拆图形-分虚实三步法|通过“长对正、高平齐、宽相等”准则串联视图绘制与判断| |投影计算|2典例+3变式|平行投影相似比例模板|结合实际场景应用相似三角形解决高度测量问题| |三视图作图|2典例+3变式|主俯长对正-主左高平齐-俯左宽相等作图法|规范三视图绘制步骤，强调虚实线区分| |三视图还原与计算|3典例+4变式|俯视图打底-行列高标注法|从视图逆向推导几何体构成，结合表面积体积公式综合应用|

考点11 投影与视图 考点一：投影基础概念与分类 1. 基本定义 光线照射物体，在地面、墙面等平面上形成的影像即为投影。其中，照射的光线为投影线，承接影子的平面为投影面。 2. 两大投影类型（必考辨析） 投影类型 光源特点 典型场景 核心规律 平行投影 投影线互相平行（太阳光） 日影、建筑测绘、户外光影 ①同一时刻，物高与影长成正比，比值固定（可利用相似计算）；②等高平行物体，影子长度一致；③倾斜放置的平面图形，投影会拉伸变形 中心投影 投影线汇聚于一点（点光源） 路灯、台灯、手电筒、室内灯光投影 ①物体离光源越近，影子越长；离光源越远，影子越短；②无固定物高影长比例，不能套用相似比例公式 3. 正投影（三视图核心理论依据） 正投影属于特殊的平行投影，特指投影线垂直于投影面的投影，规律如下： 物体平面平行于投影面：投影形状、大小与原图形完全一致，无变形； 物体平面倾斜于投影面：投影缩小、变形，形状相似但尺寸改变； 物体平面垂直于投影面：投影收缩为一条线段或一个点。 4. 视点、视角与盲区（拓展小题） 视点：人眼的观察位置；视角：两条视线的夹角；盲区：视线无法覆盖、观察不到的区域； 核心规律：观测点距离物体越远，视角越小，盲区范围越大；距离越近，视角越大，盲区越小。 考点二：三视图核心知识点 1. 三视图定义与观测维度 主视图：从物体正前方往后观察，反映物体的长、高； 俯视图：从物体正上方往下观察，反映物体的长、宽； 左视图：从物体左侧往右观察，反映物体的高、宽。 2. 三视图黄金三等法则（画图、解题核心准则） 长对正、高平齐、宽相等 长对正：主视图与俯视图上下对齐，水平长度完全相同； 高平齐：主视图与左视图左右对齐，竖直高度完全相同； 宽相等：俯视图的竖直宽度与左视图的水平宽度数值相等。 3. 三视图线条绘制铁律（高频扣分点） 看得见的棱、外部轮廓：用实线绘制； 被物体遮挡、看不见的内部棱、轮廓：用虚线绘制； 圆柱、圆锥的中心对称轴：用细点划线绘制； 圆锥俯视图必须标注圆心，无圆心视为作图错误。 4. 基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 球体 圆 圆 圆 题型一：投影类型辨析（选择基础题） 1.看光线特征：光线平行无交点→平行投影；光线汇聚于一点→中心投影； 2.看场景特征：日光、户外日影为平行投影；灯光、点光源照射为中心投影； 3.看影子变化规律：固定比例变化为平行投影，无固定比例、近长远短为中心投影。 【典例1-1】小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【典例1-3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式1-3】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 题型二：平行投影+相似三角形计算（高频计算题） 万能解题模板 同一时刻、同一地点，不同物体的物高与影长成正比例： 解题步骤 1.明确已知物体高度、影长，找准对应未知量； 2.代入比例公式列方程； 3.解方程并检验，写出最终答案。 中心投影（灯光下）无固定比例，严禁套用此公式！ 【典例2-1】【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【典例2-2】某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【变式2-1】鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【变式2-2】如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子； (2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【变式2-3】综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题： (1)请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 题型三：几何体三视图判断（必考选择题） 1.定方向：明确题干要求的观察方向（正面、左面、上面）； 2.拆图形：将组合几何体拆解为正方体、圆柱、圆锥等基础几何体； 3.分虚实：外部可见轮廓画实线，内部遮挡、不可见轮廓画虚线。 长方体挖去圆柱、正方体开槽类组合体，内部镂空轮廓为遮挡线条，必须画虚线，不可画实线。 【典例3-1】如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【典例3-3】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示的几何体，其中间部分有一个圆孔，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 题型四：三视图规范作图题 1.先画主视图，确定物体整体长宽高基准； 2.在主视图正下方绘制俯视图，严格遵循“长对正”； 3.在主视图正右侧绘制左视图，严格遵循“高平齐”； 4.核对俯视图与左视图宽度，保证“宽相等”，补全虚实线、对称轴； 5.整体检查，修正线条错误、比例偏差。 【典例4-1】画出下面立体图形的三视图． 【典例4-2】如图是一个长方体截成的几何体，请画出这个几何体的三视图．    【变式4-1】如图，添线补全各物体的三视图． 【变式4-2】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【变式4-3】如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，画出它的三视图．    题型五：三视图还原小正方体堆叠几何体（填空压轴） 1.俯视图打底：画出俯视图网格，确定几何体底层所有方块的分布范围； 2.主视图定列高：根据主视图每一列的最大层数，标注在俯视图对应列的格子中； 3.左视图定行高：根据左视图每一行的最大层数，修正俯视图对应行的最大层数； 4.求和计数：俯视图所有格子标注的数字相加，即为小正方体总个数。 【典例5-1】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 【典例5-2】小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 【典例5-3】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图主视图俯视图所示．搭这样的几何体最少需要_______个小立方块，最多需要_______个小立方块． 【变式5-1】如图，是由若干个小正方体拼成的几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体中小正方体的个数是______． 【变式5-2】下图是由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数是_________． 【变式5-3】若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最多为______个． 【变式5-4】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 题型六：三视图求几何体表面积、体积 1.根据三视图，提取几何体的长、宽、高、底面半径等核心参数； 2.套用基础几何体体积、表面积公式计算； 3.组合几何体需扣除贴合、重合的面，避免重复计算面积。 【典例6-1】如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【典例6-3】把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【典例6-4】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【典例6-5】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【变式6-1】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【变式6-2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__．（结果保留） 【变式6-3】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______（结果保留）． 【变式6-4】用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． (1)请在图中画出主视图和左视图； (2)这个几何体的体积是______． 【变式6-5】下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 2．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 3．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 6．一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二、填空题 7．如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 8．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 9．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 10．如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 11．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 12．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 14．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 15．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 三、解答题 16．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 17．根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ 18．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 19．在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 20．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 21．为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点11 投影与视图 考点一：投影基础概念与分类 1. 基本定义 光线照射物体，在地面、墙面等平面上形成的影像即为投影。其中，照射的光线为投影线，承接影子的平面为投影面。 2. 两大投影类型（必考辨析） 投影类型 光源特点 典型场景 核心规律 平行投影 投影线互相平行（太阳光） 日影、建筑测绘、户外光影 ①同一时刻，物高与影长成正比，比值固定（可利用相似计算）；②等高平行物体，影子长度一致；③倾斜放置的平面图形，投影会拉伸变形 中心投影 投影线汇聚于一点（点光源） 路灯、台灯、手电筒、室内灯光投影 ①物体离光源越近，影子越长；离光源越远，影子越短；②无固定物高影长比例，不能套用相似比例公式 3. 正投影（三视图核心理论依据） 正投影属于特殊的平行投影，特指投影线垂直于投影面的投影，规律如下： 物体平面平行于投影面：投影形状、大小与原图形完全一致，无变形； 物体平面倾斜于投影面：投影缩小、变形，形状相似但尺寸改变； 物体平面垂直于投影面：投影收缩为一条线段或一个点。 4. 视点、视角与盲区（拓展小题） 视点：人眼的观察位置；视角：两条视线的夹角；盲区：视线无法覆盖、观察不到的区域； 核心规律：观测点距离物体越远，视角越小，盲区范围越大；距离越近，视角越大，盲区越小。 考点二：三视图核心知识点 1. 三视图定义与观测维度 主视图：从物体正前方往后观察，反映物体的长、高； 俯视图：从物体正上方往下观察，反映物体的长、宽； 左视图：从物体左侧往右观察，反映物体的高、宽。 2. 三视图黄金三等法则（画图、解题核心准则） 长对正、高平齐、宽相等 长对正：主视图与俯视图上下对齐，水平长度完全相同； 高平齐：主视图与左视图左右对齐，竖直高度完全相同； 宽相等：俯视图的竖直宽度与左视图的水平宽度数值相等。 3. 三视图线条绘制铁律（高频扣分点） 看得见的棱、外部轮廓：用实线绘制； 被物体遮挡、看不见的内部棱、轮廓：用虚线绘制； 圆柱、圆锥的中心对称轴：用细点划线绘制； 圆锥俯视图必须标注圆心，无圆心视为作图错误。 4. 基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 矩形 矩形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 球体 圆 圆 圆 题型一：投影类型辨析（选择基础题） 1.看光线特征：光线平行无交点→平行投影；光线汇聚于一点→中心投影； 2.看场景特征：日光、户外日影为平行投影；灯光、点光源照射为中心投影； 3.看影子变化规律：固定比例变化为平行投影，无固定比例、近长远短为中心投影。 【典例1-1】小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 【典例1-2】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 【典例1-3】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 【变式1-1】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 【变式1-3】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 【变式1-4】如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 题型二：平行投影+相似三角形计算（高频计算题） 万能解题模板 同一时刻、同一地点，不同物体的物高与影长成正比例： 解题步骤 1.明确已知物体高度、影长，找准对应未知量； 2.代入比例公式列方程； 3.解方程并检验，写出最终答案。 中心投影（灯光下）无固定比例，严禁套用此公式！ 【典例2-1】【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影： （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 【典例2-2】某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 【变式2-1】鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， 又，（米）， ∴， ∴， 整理得：② 联立①②得， 解得， ∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． 【变式2-2】如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子； (2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【答案】(1) 解：如图，线段即为所求； （2）解：根据题意得，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：电线杆的高度为． 【变式2-3】综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题： (1)请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 【详解】（1）小明的影长如图所示， 太阳光线是平行线， ， ． ∵， ， ， ，， ∴ ． 所以，旗杆的高度为． （2）解：过点作于点，交于点． 四边形，四边形，四边形均为矩形． ， ∴，，， ，， ， ， ， ， ． ． 所以，旗杆的高度为． 题型三：几何体三视图判断（必考选择题） 1.定方向：明确题干要求的观察方向（正面、左面、上面）； 2.拆图形：将组合几何体拆解为正方体、圆柱、圆锥等基础几何体； 3.分虚实：外部可见轮廓画实线，内部遮挡、不可见轮廓画虚线。 长方体挖去圆柱、正方体开槽类组合体，内部镂空轮廓为遮挡线条，必须画虚线，不可画实线。 【典例3-1】如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：该几何体的主视图是． 【典例3-2】三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从左面看该几何体是竖直一列三个矩形，只有选项A符合． 【典例3-3】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将小正方体A移到小正方体B上方后，得到俯视图为 ． 【变式3-1】如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从正对面看到的是一个矩形的上面中间缺一个三角形，只有选项C符合． 【变式3-2】如图所示的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：左视图为： 【变式3-3】如图所示的几何体，其中间部分有一个圆孔，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从左往右看几何体时，外部轮廓为一个长方形，因为中间部分有一个圆孔是看不见的轮廓，故该几何体的左视图是： 题型四：三视图规范作图题 1.先画主视图，确定物体整体长宽高基准； 2.在主视图正下方绘制俯视图，严格遵循“长对正”； 3.在主视图正右侧绘制左视图，严格遵循“高平齐”； 4.核对俯视图与左视图宽度，保证“宽相等”，补全虚实线、对称轴； 5.整体检查，修正线条错误、比例偏差。 【典例4-1】画出下面立体图形的三视图． 【答案】画出的三视图如下: 【典例4-2】如图是一个长方体截成的几何体，请画出这个几何体的三视图．    【答案】 解：三视图如图所示．    【变式4-1】如图，添线补全各物体的三视图． 【答案】解：主视图正确， 左视图、俯视图如图②． 【变式4-2】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】 解：如图所示，即为所作的三视图． 【变式4-3】如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，画出它的三视图．    【答案】 三视图如图：    题型五：三视图还原小正方体堆叠几何体（填空压轴） 1.俯视图打底：画出俯视图网格，确定几何体底层所有方块的分布范围； 2.主视图定列高：根据主视图每一列的最大层数，标注在俯视图对应列的格子中； 3.左视图定行高：根据左视图每一行的最大层数，修正俯视图对应行的最大层数； 4.求和计数：俯视图所有格子标注的数字相加，即为小正方体总个数。 【典例5-1】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 【答案】4 【详解】俯视图是 3 个小正方形， 底层有3个小正方体， 主视图中右侧有两层，左视图显示有两层， 上层只有 1 个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方， 总共 个． 故答案为4． 【典例5-2】小明用一些大小相同的小正方体拼了一个立体图形，从左面和上面看到的都是如图所示的图形，他拼这个立体图形至少用了_____个小正方体． 【答案】 【详解】解：由题可知，每个位置的正方体数量如图， 所以至少需要6个同样大小的小正方体； 故答案为：． 【典例5-3】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图主视图俯视图所示．搭这样的几何体最少需要_______个小立方块，最多需要_______个小立方块． 【答案】 10 16 【详解】最少需要（个）小立方块， 如图①；最多需要（个）小立方块，如图②．（每个正方形上的数字表示该位置上小立方块的个数） 【变式5-1】如图，是由若干个小正方体拼成的几何体的主视图、左视图和俯视图，则该几何体中小正方体的个数是______． 【答案】6 【详解】解：如图，从俯视图可得：底层有5个小正方形，从主视图看，只有中间有2层的，结合左视图可得：中间最前面有2层，如图， 所以该几何体中小正方体的个数是6个. 故答案为：6 【变式5-2】下图是由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数是_________． 【答案】5 【详解】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体， 第二有1个小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个． 故答案为：5． 【变式5-3】若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图如图所示则组成这个几何体的小正方体最多为______个． 【答案】5 【详解】解：底层正方体最多有4个正方体，第二层最多有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有5个． 故答案是：5． 【变式5-4】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或， 故答案为：． 题型六：三视图求几何体表面积、体积 1.根据三视图，提取几何体的长、宽、高、底面半径等核心参数； 2.套用基础几何体体积、表面积公式计算； 3.组合几何体需扣除贴合、重合的面，避免重复计算面积。 【典例6-1】如图，图是图中长方体的三视图，若该长方体主视图的面积是，左视图的面积是，则其俯视图的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴． 【典例6-2】长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由从正面和从上面看到的图形可知，该长方体的长为4、宽为3、高为3， 则这个长方体的体积为． 【典例6-3】把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形状，则该立体图形俯视图的面积为（　　）平方厘米．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：这个立体图形的俯视图如下： 则该立体图形俯视图的面积为（平方厘米）， 故选：C． 【典例6-4】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【答案】 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 【典例6-5】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【答案】 【详解】解：由三视图可得，该几何体是底面为半圆的半圆柱， 底面半圆直径为，因此半径；由主视图为边长的正方形，可知半圆柱的高（母线长）， 半圆柱的表面积由三部分组成： 两个半圆形底面：两个半圆可拼接为个完整的圆， 面积：， 曲面侧面积：等于完整圆柱侧面积的一半， 面积：， 轴截面（矩形平面）：即半圆柱的截面，长为圆柱的高，宽为底面直径， 面积：， 总表面积：． 【变式6-1】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 【变式6-2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，如图： 正方体的边长为，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3， 该几何体的体积为， 故答案为∶． 【变式6-3】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______（结果保留）． 【答案】 【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半， ∴体积为：， 故答案为：． 【变式6-4】用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． (1)请在图中画出主视图和左视图； (2)这个几何体的体积是______． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的体积是：． 故答案为：12． 【变式6-5】下图所示的是由棱长为1cm的小正方体摆成的图形，第1个图形的主视图有1个正方形，其表面积为；第2个图形的主视图有3个正方形，其表面积为；第3个图形的主视图有6个正方形，其表面积为；…… (1)第6个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (2)第个图形的主视图有多少个正方形？其表面积为多少？ (3)按照上图规律摆下去，是否存在某个图形的主视图和俯视图一共有90个正方形？若存在，则这个图形一共用了多少个小正方体？若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可知，第6个图形的主视图有（个）正方形， 其表面积为． （2）解：由题意可知，第个图形的主视图有个正方形， 其表面积为． （3）解：存在． 主视图和俯视图一共有90个正方形，且这两个视图的正方形的个数是相同的， ， 解得（负值已舍去）， 这个图形一共用了（个）小正方体． 一、单选题 1．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 2．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【详解】解：将小正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图没有发生改变，俯视图发生了改变． 3．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 4．如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由题可知图中黑色正方体组成的几何体相同的是． 5．如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 【答案】A 【详解】 解：①几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ②几何体的主视图为：，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ③几何体的主视图为：，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ④几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④． 6．一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图和左视图，将搭成该几何体的小正方体个数标记在俯视图上，如下所示： ∴该几何体由7个小正方体搭成． 二、填空题 7．如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 【答案】 【详解】由主视图可知，该四棱柱的高． 由俯视图可知，底面为四边形，且，． 由左视图可知，底面四边形在垂直于方向上的投影长度为，且存在分界点． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， 根据左视图数据及图形位置关系，可知，， 在中，，则， 在中，，则， ∴， ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴底面周长 ∴这个四棱柱的侧面面积为 8．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 9．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【详解】解：根据三视图的定义，可得： 在水平方向上，线段对应的直角边长度为： ， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得： ， ， ， ． 答：主视图上线段的长度为． 10．如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 【答案】 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形，点为位似中心． ， ， ， 与的位似比为， ， ， ． 11．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 12．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 14．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 【答案】 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故答案为：． 15．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 三、解答题 16．学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 17．根据要求完成下列题目． (1)图中有______个小正方体； (2)请在网格中分别画出它的左视图和俯视图； (3)用小正方体搭一个不同于上面的几何体，使得它的左视图和俯视图与你在网格中所画的视图一致，则组成这样的几何体最少需要几个小正方体？最多呢？ 【详解】（1）解：由分析可知：图中有个小正方体， 故答案为：． (2)如图所示． （3）解：组成这样的几何体所需小正方体最少的分布情况如图所示． 共需要个小正方体； 组成这样的几何体所需小正方体最多的分布情况如图所示． 共需要个小正方体． 18．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1) 如图，光源O、线段即为所求； （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 19．在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； (2)解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 20．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距米，路灯的高度比路灯的高度低米．夜晚，身高为米的小明以米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ (3)常言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_______（用含的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的，请直接写出小明在路灯下的影子的顶端在地面上移动的速度为______米/秒； 【详解】（1）解：由题意，可知， 米， 米， 米， ，， ， ∴，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为米； （2）解：， 米， ∵米，米， ∴米，米， ， ， ∴，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； （3）解：①由（1）（2）得，， 当运动秒后，米，则米， 设米，米， ， 解得：； ， 解得； 米， 故答案为：米； ②由题意可知：影子的顶端在地面上移动的距离是， 米， 当秒时， 米， 当秒时， 米， ∴1秒时间内移动的距离为： 米， 影子的顶端在地面上移动的速度是米秒． 故答案为：． 21．为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 【详解】（1）解：为的影子，为的影子， ， ， 又， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； （2）解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； （3）解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $