培优01 投影与视图章末9种题型归类（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

培优01投影与视图章末9种题型归类 题型1 投影的识别 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交，若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影；若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. 1．（2025·河南周口·二模）下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、C进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对B、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误； C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误． D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确； 故选：D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 【答案】A 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影与视图是解题的关键．根据投影和视图的定义进行判断即可． 【详解】解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意； 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意； 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意； 故选A． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 【详解】解：皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，它的投影属于中心投影． 故选B． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键． 根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可． 【详解】解：根据题意，作图如下， 表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯， 当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，， 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短； 小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长； ∴小颖在地上的影子先变短后变长， 故选：A ． 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． (1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置； (2)画出影子为的竹竿（用线段表示）； (3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题） A．变长    B．不变    C．变短    D．无法确定 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)C 【分析】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． （1）作射线与射线，交点G即为所求； （2）作射线，作交于点C，即为所求； （3）画出升高后的光源，再作出的影子即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点为光源的位置； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：由图可知，影子的长度变短． 故选：C． 题型2 投影与相似三角形综合 物体的投影分为中心投影和平行投影.一般来说，中心投影中，物体影子的长短主要取决于物体所处的位置，而平行投影中，影子的长短主要取决于物体的高度.投影中难度较大的题目往往是与相似三角形、解直角三角形等知识相结合的综合题.其主要解题思路是由投影的特点构造相似三角形，并利用相似三角形、直角三角形的性质求解相关问题. 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)2，1 (2)见解析 (3)3.6米 【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【详解】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 【答案】6 【分析】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． 8．（24-25九年级上·宁夏·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，． (1)线段与线段之间的位置关系为_________； (2)已知小军的身高为米，求旗杆的高． 【答案】(1)平行 (2)米 【分析】本题考查两直线的位置关系，相似三角形判定及性质等． （1）根据题意可知两线段位置关系为平行； （2）先证明，继而求出，再证明，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵太阳光线是平行光线， ∴， 故答案为：平行； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， 过点作交于， ， 同理得：， ∴， ∴（米）， ∴旗杆的高为米． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，、均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，已知太阳能电板，测得电板上两个支撑点的距离，钢架连接点．若某一时刻的太阳光线垂直照射，求太阳能电板的影子的长． 【答案】太阳能电板的影子的长为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，得出．在中，由，进而得，，过点作于，易证四边形是矩形，由矩形的性质得出，即，再根据，得出，进而得出，根据相似三角形的判定可证，利用相似三角形的性质即可解答，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意，得，，，，， ，， 四边形是矩形， ，， ． 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理， 得， ，解得 答：太阳能电板的影子的长为． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) (3)旗杆的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； （3）如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】(1) (2)①见解析；②3 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型3 判断简单几何体三视图 12．（2025·安徽·中考真题）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图，熟练掌握主视图的定义（从物体正面观察得到的平面图形）是解题的关键．主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，据此分析该“阳马”正面看到的形状 ． 【详解】解：主视图是从物体正面看所得到的图形．观察水平放置的“阳马”，从正面看，看到的是一个三角形．对比四个选项，只有选项符合从正面看到的图形特征，其他三项都不符合题意． 故选：． 13．（2025·安徽淮南·二模）如图是由四个同样大小的正方体搭建的几何体，下列结论正确的是（    ） A．它的主视图和左视图相同 B．它的主视图与俯视图相同 C．它的主视图、左视图和俯视图都相同 D．它的主视图、左视图和俯视图互不相同 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，据此结合图形画出对应的三视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体的三视图如下所示： ∴它的主视图、左视图和俯视图互不相同， 故选：D 14．（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据该几何体的三视图逐一判断即可． 此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是能正确区分几何体的三视图． 【详解】解：A、该图是左视图，故此选项不合题意； B、该图不是几何体的三视图，故此选项符合题意； C、该图是主视图，故此选项不合题意； D、该图是俯视图，故此选项不合题意； 故选：B． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个空心圆柱，它的左视图为(    )   A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而存在的线画虚线．根据从左边看得到的图形是左视图． 【详解】解：从左边看是矩形，中间空心圆柱看不到用虚线， 故选：C． 16．（2023·山东聊城·中考真题）如图所示几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图如下：    故选：D． 【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 题型4 已知一种或两种视图判断其它视图 17．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）超市货架摆放着某品牌方便面盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图判断几何体，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解． 【详解】解：观察图形可知，最底层有盒方便面， 因为共盒方便面，所以由主视图可知，第二层有盒，第三层有盒方便面， 故它的左视图可能是C选项． 故选：C． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图1是由几个大小相同的小正方体所搭几何体的主视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．四名同学根据自己还原的几何体，试画出如图2所示的4个不同的左视图，其中可能正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查作图-三视图、由三视图判断几何体．结合三视图的定义可得答案． 【详解】解：如图2， 由几何体的主视图可知，其左视图可能是②④， ∴可能正确的有2个， 故选：B． 19．（2025·河南焦作·三模）如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三种视图之间的关系是解答本题的关键． 依据俯视图即可确定出左视图共有列，以及每列上的小正方体个数分别为、，由此，即可得到答案． 【详解】解：由俯视图和小正方形中的数字可知，该几何体从左到右有三列，第一列有个小正方体，第二列有个小正方体，则该几何体的左视图是 ， 故选：B． 20．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题中所给的俯视图可知，该几何体的主视图有列，最左边有个正方形叠在一起，中间有个正方形叠在一起，最右边有个正方形叠在一起，即可求解． 【详解】解：由题中所给的俯视图可知，该几何体的主视图有列，最左边有个正方形叠在一起，中间有个正方形叠在一起，最右边有个正方形叠在一起， 故选：C． 题型5 画三视图 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 21．（24-25九年级下·全国·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握三视图中看得见的用实线，看不见的用虚线是解题的关键．根据看得见的用实线，看不见的用虚线画图即可． 【详解】解：题图1、题图2中几何体的三视图分别如图1、图2所示：      22．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画三视图，根据图形画出三视图即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：画三视图如下： 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 【答案】(1)见解析； (2)该几何体的体积为． 【分析】（）根据主视图和左视图画图即可； （）根据体积等于立方体的个数单个的体积即可； 本题考查了从不同方向看物体，几何体体积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：该几何体的体积为 ， 答：该几何体的体积为． 24．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）请你在右边的方格中画出如左图所示几何体的三视图： 【答案】见解析 【分析】此题考查了三视图，分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的图形求解即可． 【详解】如图所示， 25．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查作图-三视图、简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画图即可． （2）根据题意，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以在第一列最底层最前面添加一个相同的正方体，或在第三列最底层最前面添加一个相同的正方体， ∴可以有2种添加方法． 故答案为：2. 题型6 由三视图还原几何体及其计算 由三视图还原几何体，一般先根据各视图想象几何体可能的形状，然后综合起来确定几何体的形状， 解题过程中要注意左视图的高、主视图的长、俯视的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正,高平齐,宽相等”，即主视图的长与俯视图的长相等，从而确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸. 26．（23-24九年级上·山东淄博·期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，． (1)求出m，n的值； (2)求该三棱柱的体积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根据三视图求几何体的体积．掌握三视图的特点，是解题的关键． （1）根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等，结合正切值的定义，进行求解即可； （2）根据三视图，得到几何体为直三棱柱，利用直三棱柱的体积公式：底面积乘以高进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作于D， 由题意可知，这个三棱柱的高为6，． ，， ， ，， ，即； （2）俯视图中的三角形的底边，高， ， ． 27．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可； （2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案； （3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案； （4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案． 【详解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后， 主视图中应补充两条虚线， 补充完整如图所示： （2）解：俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作于，于， ，俯视图为等腰梯形， ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 左视图中矩形的面积为：， 故答案为：8； （4）解：由题意得： 这个四棱柱的体积为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 28．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及求几何体的侧面积，解题的关键是根据三视图确定几何体的形状，并明确其侧面展开图的特征。 （1）根据主视图、左视图和俯视图的形状来判断几何体的名称； （2）先明确三棱柱侧面展开图的形状，再根据已知条件求出侧面积。 【详解】（1）解：主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，符合三棱柱的三视图特征，所以这个几何体是三棱柱； （2）解：三棱柱的侧面展开图是三个长方形，长方形的长为三棱柱的高 3 cm ，长方形的宽为俯视图中三角形的边长 2 cm ， 一个侧面长方形的面积为， 三棱柱有三个侧面， 侧面积为。 这个几何体的侧面积为 29．（24-25九年级上·江西抚州·期末）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一圆柱体构成的几何体，该玩具的两个视图如图所示，（本题所有小题结果均保留）． (1)求该几何体体积； (2)求该几何体前后两个面的面积之和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式． （1）由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积． （2）计算出前面面积=（正方形面积+长方形面积+圆柱侧面积）即可． 【详解】（1）解：解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积， 则该几何体的体积． （2）解： 30．（24-25九年级下·全国·随堂练习）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，，， 所以可设． 根据勾股定理，得，解得， ∴， 由三视图，可知． （2）解：直三棱柱的体积为． 题型7 三视图的相关计算 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 31．（2025九年级下·浙江·专题练习）把边长为个单位的个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)直接写出该几何体的表面积为______________； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查作图—三视图、几何体的表面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． （）利用三视图的画法画图即可； （）利用几何体的形状计算其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：几何体的表面积为：， 故答案为：； （3）解：如图，最多可以再添加个正方体， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不包含下底面）涂上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)96 (3)3个 【分析】本题考查作图三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图： （2）解：（克）， 故答案为：9； （3）在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，因此最多可添加3块， 故答案为：3． 33．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)；． 【分析】本题考查了作图——三视图以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出三视图以及由视图判断几何体的形状． （）根据三视图的看法作出三视图即可求解； （）根据图可得每个正方体的体积为，即可解答； （）由俯视图易得最底层小立方块的个数，再根据主视图即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的体积是， 故答案为：； （3）解：搭这样的一个几何体最少需要小立方块个，第一层个，第二层，搭这样的一个几何体最多需要小立方块个，第一层个，第二层， 故答案为：；． 34．（2021九年级·广东·专题练习）用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）这个几何体的体积为　 　cm3． （2）请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图，俯视图． （3）这个几何体的表面积为　 　cm2． 【答案】（1）7；（2）见解析；（3）28 【分析】（1）直接利用几何体的形状得出几何体的体积； （2）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1．据此可画出图形； （3）根据几何体的形状得出其表面积． 【详解】解：（1）这个几何体的体积为4+2+1=7cm3； 故答案为：7； （2）如图所示： ； （3）这个几何体的表面积为：2×（4+6+4）＝28（cm2）． 故答案为：28． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 题型8 由三视图判断小立方体个数 35．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)这个几何体由______个小正方体组成； (2)在方格内画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)8 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了画三视图，三视图相关的计算，考查了学生空间想象能力； （1）根据图形进行分析即可得到答案； （2）正视图有3列，从左到右，每列小正方形数目分别是3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别是2，3，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别是2，1，2；据此可画出图形． 【详解】（1）解：由图可得：这个几何体由8个小正方体组成， 故答案为：8； （2）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示： 36．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图，是由一些大小相同的小正方体搭建的几何体，从三个不同方向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题：    (1)请在从上面看到的形状图中填入该位置小正方体的个数． (2)该几何体是由______块小正方体搭建的． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状； （1）根据从上面看得到的图形，结合从正面和左面看到的图形解答即可； （2）根据俯视图中正方体的层数进行解答即可； 解题的关键是分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：（块）， ∴该几何体是由9块小正方体搭建的． 故答案为：9． 37．（22-23六年级上·山东淄博·期中）如图，是由一些棱长为的正方体小木块搭建成的几何体的从正面看、从左面看和从上面看的形状图． (1)该几何体是由多少块小木块组成的？ (2)求出该几何体的体积； (3)求出该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)10块； (2)； (3)． 【分析】（1）根据俯视图可得出底层正方体个数，根据主视图和左视图可得中间层和上层正方体个数，进而可得答案； （2）求出10个小正方体的体积和即可； （3）根据该几何体的摆放方式结合表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：由俯视图可知底层有6个正方体，由主视图和左视图可知中间层有3个正方体，上层有一个正方体，具体如图所示： ∴该几何体是由块小木块组成的； （2）解：该几何体的体积为：； （3）解：该几何体的表面积为：． 【点睛】本题考查由三视图判定几何体，几何体的体积，表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 38．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）一个几何体是由若干个棱长为2cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状如图所示： (1)在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)该几何体的体积为80． 【分析】（1）根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答即可得解； （2）根据每个正方体的体积乘正方体的个数即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：该几何体的体积为：×（2+3+2+1+1+1）=8×10=80（）． 答：该几何体的体积为80． 【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 题型9 已知三视图求最多或最少得小立方体的个数 39．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． (1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查简单组合体的三视图；．解题的关键是熟知三视图的定义． （1）根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案 （2）根据题意可以拿走第二列和第三列以及第4列中的1个，根据俯视图画出能拿走的小正方体，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示， ， 故答案为：． 40．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块？ 【答案】(1)见解析 (2)4个 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可； （2）在从上面看到的图形上的相应位置标注可能添加的最多时的小正方体的个数即可． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图1所示； （2）解：在从上面看的图形的相应位置标可能摆放的最多小正方体的个数，所以最多可添加4个小立方块． 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）用多个相同的小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，______． (2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成． (3)若，，请画出这个几何体的左视图． 【答案】(1)，， (2)， (3)见解析 【分析】此题考查了小立方体组成的几何图形， （1）根据主视图结合俯视图直接解答即可； （2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，当 时，小立方体个数最多； （3）根据三视图的要求画图即可． 【详解】（1）解：根据主视图可知第一列的高度为，故，第二列的高度为，故， 故答案为：，，； （2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，最少个数为：； 当时，小立方体个数最多，最多个数为：； 故答案为：，； （3）左视图如图： 42．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图．（打上阴影） (2)若每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积（包含底面）为 ． (3)在（2）的基础上，将该几何体放置在墙角，使得该几何体的右面和后面靠墙，底面在地上，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积为多少？ (4)若允许从该几何体中拿掉部分小立方块，使得其左视图和俯视图保持不变，则最多可拿掉 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查作图—三视图、由三视图判断几何体、几何体的表面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据三视图的定义画图即可； （2）根据表面积的定义计算即可； （3）由题意得主视方向有个小正方形需要喷漆，左视方向有个小正方形需要喷漆，俯视方向有个小正方形需要喷漆，右视方向有个小正方形需要喷漆，计算即可， （4）要使得其左视图和俯视图保持不变，则可以拿走第一列的个或者第二列最后面的个，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：该几何体的表面积为， 故答案为：； （3）解：主视方向有个小正方形需要喷漆，左视方向有个小正方形需要喷漆，俯视方向有个小正方形需要喷漆，右视方向有个小正方形需要喷漆， 故需要喷漆的面积为； （4）解：若使得其左视图和俯视图保持不变，则可以拿走第一列的个或者第二列最后面的个， 故答案为：． 43．（24-25七年级上·山东淄博·期中）用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，试回答下列问题： (1)从上面看到的形状图中______，_____； (2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)请在图2所给的网格图中，画出小立方块最多时从左面看到的该几何体的形状图 （为便于观察，请将形状图中的小方格用2B铅笔进行阴影标注，示例：） 【答案】(1)， (2)， (3)见解析 【分析】本题主要考查了从不同的角度观察几何体，根据主视图、左视图、俯视图的定义即可解决问题． 根据主视图中各位置小立方块的个数确定、； 结合从正面看到的图形和从上面看到的图形，在俯视图中标注出当所用的小立方块最少和最多时各位置小立方块的个数，计算即可求出最少和最多是多少个小立方块； 根据用小立方块最多时各位置小立方块的个数画出从左面看到的形状． 【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知：，， 故答案为，； （2）解：结合从正面看到的图形和从上面看到的图形， 当所用的小立方块最少时，各位置小立方块的个数如下图所示，         几何体最少由10个小立方块搭成， 结合从正面看到的图形和从上面看到的图形， 当所用的小立方块最多时，各位置小立方块的个数如下图所示， 几何体最多由15个小立方块搭成， 故答案为:，； （3）小立方块最多时，从左面看到的该几何体的形状图如图所示： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01投影与视图章末9种题型归类 题型1 投影的识别 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交，若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影；若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. 1．（2025·河南周口·二模）下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（   ） A．先变短后变长 B．逐渐变短 C．先变长后变短 D．逐渐变长 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）． (1)根据竹竿和灯光下的影子，确定光源的位置； (2)画出影子为的竹竿（用线段表示）； (3)若将光源竖直向上移动，则影子的长度__________（单选题） A．变长    B．不变    C．变短    D．无法确定 题型2 投影与相似三角形综合 物体的投影分为中心投影和平行投影.一般来说，中心投影中，物体影子的长短主要取决于物体所处的位置，而平行投影中，影子的长短主要取决于物体的高度.投影中难度较大的题目往往是与相似三角形、解直角三角形等知识相结合的综合题.其主要解题思路是由投影的特点构造相似三角形，并利用相似三角形、直角三角形的性质求解相关问题. 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 8．（24-25九年级上·宁夏·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高度．如图所示，已知建筑物的高为15米，某一时刻，他们在阳光下分别测得的影长为24米，小军的影长为米，其中四点在同一直线上，三点在同一直线上，且，． (1)线段与线段之间的位置关系为_________； (2)已知小军的身高为米，求旗杆的高． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）太阳能光伏发电因其消洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，、均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，已知太阳能电板，测得电板上两个支撑点的距离，钢架连接点．若某一时刻的太阳光线垂直照射，求太阳能电板的影子的长． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 题型3 判断简单几何体三视图 12．（2025·安徽·中考真题）“阳马”是由长方体截得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽淮南·二模）如图是由四个同样大小的正方体搭建的几何体，下列结论正确的是（    ） A．它的主视图和左视图相同 B．它的主视图与俯视图相同 C．它的主视图、左视图和俯视图都相同 D．它的主视图、左视图和俯视图互不相同 14．（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是一个空心圆柱，它的左视图为(    )   A．   B．   C．   D．   16．（2023·山东聊城·中考真题）如图所示几何体的主视图是（    ）   A．   B．   C．   D．   题型4 已知一种或两种视图判断其它视图 17．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）超市货架摆放着某品牌方便面盒，它们的主视图和俯视图如图，则它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图1是由几个大小相同的小正方体所搭几何体的主视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．四名同学根据自己还原的几何体，试画出如图2所示的4个不同的左视图，其中可能正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2025·河南焦作·三模）如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 题型5 画三视图 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线，看得见的部分的轮廓线应画成实线. 21．（24-25九年级下·全国·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 22．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 24．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）请你在右边的方格中画出如左图所示几何体的三视图： 25．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使主视图、左视图都不发生变化，可以有 种添加方法． 题型6 由三视图还原几何体及其计算 由三视图还原几何体，一般先根据各视图想象几何体可能的形状，然后综合起来确定几何体的形状， 解题过程中要注意左视图的高、主视图的长、俯视的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正,高平齐,宽相等”，即主视图的长与俯视图的长相等，从而确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸. 26．（23-24九年级上·山东淄博·期末）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，． (1)求出m，n的值； (2)求该三棱柱的体积． 27．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 28．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)若俯视图中三角形的边长都为，求这个几何体的侧面积． 29．（24-25九年级上·江西抚州·期末）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一圆柱体构成的几何体，该玩具的两个视图如图所示，（本题所有小题结果均保留）． (1)求该几何体体积； (2)求该几何体前后两个面的面积之和． 30．（24-25九年级下·全国·随堂练习）张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 题型7 三视图的相关计算 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. 31．（2025九年级下·浙江·专题练习）把边长为个单位的个相同小正方体摆成简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)直接写出该几何体的表面积为______________； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体 32．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不包含下底面）涂上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需______克漆； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 33．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是由大小相同的个小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出从正面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长均为，这个几何体的体积是________． (3)用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要________个小立方块，最多要________个小立方块． 34．（2021九年级·广东·专题练习）用若干个棱长为1cm的小正方体搭成如图所示的几何体． （1）这个几何体的体积为　 　cm3． （2）请在方格纸中用实线画出该几何体的主视图，左视图，俯视图． （3）这个几何体的表面积为　 　cm2． 题型8 由三视图判断小立方体个数 35．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． (1)这个几何体由______个小正方体组成； (2)在方格内画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 36．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图，是由一些大小相同的小正方体搭建的几何体，从三个不同方向观察得到的图形如图所示，试回答下面的问题：    (1)请在从上面看到的形状图中填入该位置小正方体的个数． (2)该几何体是由______块小正方体搭建的． 37．（22-23六年级上·山东淄博·期中）如图，是由一些棱长为的正方体小木块搭建成的几何体的从正面看、从左面看和从上面看的形状图． (1)该几何体是由多少块小木块组成的？ (2)求出该几何体的体积； (3)求出该几何体的表面积（包含底面）． 38．（21-22七年级上·宁夏银川·期末）一个几何体是由若干个棱长为2cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状如图所示： (1)在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数； (2)求该几何体的体积． 题型9 已知三视图求最多或最少得小立方体的个数 39．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． (1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 40．（2025九年级下·浙江·专题练习）一个由10个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示． (1)在给定的虚线方格图中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)给这个几何体添加一些相同的小立方块，如果从左面和上面看到的形状图保持不变，请直接写出最多可以添加多少个小立方块 41．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）用多个相同的小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题： (1)______，______，______． (2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成． (3)若，，请画出这个几何体的左视图． 42．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图．（打上阴影） (2)若每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积（包含底面）为 ． (3)在（2）的基础上，将该几何体放置在墙角，使得该几何体的右面和后面靠墙，底面在地上，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积为多少？ (4)若允许从该几何体中拿掉部分小立方块，使得其左视图和俯视图保持不变，则最多可拿掉 个小立方块． 43．（24-25七年级上·山东淄博·期中）用小立方块搭一个几何体，使从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，试回答下列问题： (1)从上面看到的形状图中______，_____； (2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成； (3)请在图2所给的网格图中，画出小立方块最多时从左面看到的该几何体的形状图 （为便于观察，请将形状图中的小方格用2B铅笔进行阴影标注，示例：） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $