考点02 二次函数的图像与性质（2考点+11题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以二次函数五种形式为基础，通过表格对比、口诀提炼构建从图像性质到变换应用的完整方法体系，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本形式与性质|5题型（y=ax²等）|图像对比法、顶点最值规律|从简单到复杂形式逐步拓展，建立对称轴与增减性关联| |图像变换|平移/翻折/旋转|“左加右减自变量”等口诀|通过变换规则实现不同形式间转化，强化几何直观| |对称性与最值|对称点/区间最值|中点公式法、对称轴位置分类|结合图像对称性推导函数值关系，培养推理意识| |系数符号与综合|符号判断/函数综合|“左同右异”等口诀|代数系数与图像特征互推，提升数学表达能力|

考点02 二次函数的图像与性质 考点一 ：二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点一 ：二次函数的图象变换 1.二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解题技巧： 抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 4、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 题型一：y=ax²的图象和性质 1．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴ 故选：A． 4．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 5．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 6．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 7．（2026·上海松江·一模）已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 【答案】向上 【详解】解：∵抛物线经过第二象限， ∴存在点在第二象限，即，， 代入抛物线，得， ∵， ∴， ∴抛物线的开口方向向上． 故答案为：向上． 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 【答案】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点为， 当时，开口向上，时，经过第二象限； 当时，开口向下，时，不经过第二象限； 故答案为：． 9．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 【答案】 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 题型二：y=ax²+k的图象和性质 10．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴抛物线的开口向下， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 【答案】 【详解】解：∵ ∴开口向下，有最大值，且对称轴为轴， ∴越靠近轴，值越大， ∵， ∴， 故答案为：＞． 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 16．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴； 故答案为： 17．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 【答案】 【详解】解：对于二次函数， 当时，； 当时，； 当时，； ． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点、都在二次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 19．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 20．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点B坐标为， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线． 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大，且， ∴． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：抛物线的二次项系数为． ∵抛物线开口向下， ∴，解得； 故答案为：． 23．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如果是抛物线图像上的两点，那么__________．（填“>”、“＜”或“＝”） 【答案】> 【详解】解：点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵抛物线开口向上，且， ∴． 故答案为：>． 题型五：y=ax²+bx+c的图象与性质 24．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ， ， ∵ m为常数， ∴． 故选：B． 25．（25-26九年级上·上海青浦·期末）二次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，，故所有的点均满足，故图象在第二象限，而不在第三象限， 该函数图象一定不经过第三象限． 故选：C． 26．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴对称轴方程为， 解得，代入得， 当时，， ∴顶点坐标为． 故答案为． 27．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，有最低点． ∴， 解得． 故答案为：． 28．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是______． 【答案】 【详解】∵ 抛物线 的开口向上， ∴ 二次项系数 ． 故答案为：． 29．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是____． 【答案】 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴， 解得，， 故答案为： ． 题型六：二次函数图象与各项系数符号 1. 系数a：看开口方向与宽窄 ：抛物线开口向上，函数有最小值； ：抛物线开口向下，函数有最大值； 越大，抛物线开口越窄、图像越陡；越小，开口越宽。 2. 系数b：看对称轴（左同右异口诀） 依据对称轴判断，核心口诀：左同右异 对称轴在y轴左侧（）：同号； 对称轴在y轴右侧（）：异号； 对称轴为y轴（）：。 3. 系数c：看与y轴交点位置 交点在y轴正半轴：； 抛物线过原点：； 交点在y轴负半轴：。 30．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由抛物线的开口向下知， 与轴的交点在轴的负半轴上， ， 对称轴为， 、同号，即． 故选：D． 31．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 32．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 题型七：一次函数、二次函数图象综合判断 33．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 34．如果函数的图像经过第一、二、四象限，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵函数的图象经过一、二、四象限， ∴，， ∵时，抛物线开口向下，，在y轴上的截距为正， 只有选项D符合题意， 故选：D． 35．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 题型八：已知抛物线上对称的两点求对称轴 一般式：直接套用公式； 两点法：若抛物线上两点纵坐标相等，两点横坐标的中点即为对称轴。 36．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 37．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线_______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 38．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是__． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、两点， 故设函数式为，对称轴为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵点在该函数图象上，且， 故点在轴的上方， 即， 当时，， 即二次函数的顶点坐标为， 故； 故的取值范围是． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的自变量和函数值的部分取值如下表所示： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 5 ．．． 那么___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，， ∴二次函数对称轴为， 设二次函数解析式为， 把，；，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，顶点处函数值最小， ∵时，，时，对称轴为， ∴． 故答案为：． 40．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 题型九：根据二次函数的对称性求函数值 41．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 42．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为____． 【答案】 【详解】解：∵、时的函数值都是，相等， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴， 故答案为：． 43．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：∵的对称轴为直线， 关于的对称点为：， 故答案为：． 44．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 题型十：二次函数图象的平移 左加右减自变量，上加下减常数项 注意：平移问题必须先将一般式化为顶点式，仅对自变量x进行加减，严禁直接改动项。 示例：向右平移2个单位、向上平移3个单位，得。 45．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线向上平移个单位， ∴得到新抛物线的表达式是． 46．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么______． 【答案】4 【详解】解：将函数 的图像向左平移2个单位后，得到新函数 ，由于平移后的图象经过原点， 把点代入得 ， 即， 解得 ， 故答案为：4 47．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 【答案】 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为． 沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ． 因为顶点落在y轴上， 所以横坐标， 解得． 故答案为：． 48．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 【答案】 【详解】解：设平移后抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为： ， 把代入得：， 整理得：， 设方程的两根为，，且，则： ，， ∵抛物线的“反碟长”恰好为4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 故答案为：． 49．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 题型十一：y=ax²+bx+c的最值 （1）全体实数范围 最值直接取顶点纵坐标： （2）限定区间（区间最值易错点） 对称轴在区间左侧：函数在区间内单调，最值直接取区间两端点； 对称轴在区间内部：顶点取一个最值，区间远端端点取另一个最值； 对称轴在区间右侧：函数在区间内单调，最值反向取两端点。 50．（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：∵不等式的解集为一切实数， 即对于任意的，都有函数始终大于0， 当时，函数为满足题意； 当时，函数的对称轴为直线， ∴当时，函数值应大于， 故，解得； 综上，的取值范围为． 51．（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 【答案】 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 所以． 因为抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值，即， 解得． 故答案为：． 52．（2026·上海静安·三模）已知实数为方程 的根，且的值中有且仅有1，2，3，4，则的方差的最大值为_________． 【答案】 【详解】解：设重复的数为， 1或2或3或4． 五个数的和为： ， 平均数． ∵ ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴直线越远的点，函数值越大， ∴当 或 时，取得最大值， 将 代入得：， 即的方差的最大值为． 一、单选题 1．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果将抛物线向右平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（    ） A．持续向上 B．持续向下 C．先向上再向下 D．先向下再向上 【答案】C 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴令，则，即此时图象与y轴的交点P为． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图象向右平移m单位， ∴新图象为， ∴图象与y轴交点为， 又∵， ∴当时，的纵坐标取最大值8， 又∵， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：C． 3．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵是一次函数，且， ∴当时，，故此选项符合题意； B．∵，对任意，都有， ∴，故此选项不符合题意； C．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意； D．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 二、填空题 5．（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6．（2026·上海闵行·三模）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【答案】轴（或直线） 【详解】解：∵一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数 ∴满足， ∴这个二次函数的图像经过点和 ∴这个二次函数图像的对称轴为轴． 三、解答题 7．（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知：抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，顶点为． (1)用含的代数式表示抛物线的顶点的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线经过点，且顶点在直线上． 请在简单推理的基础上，赋予一个合适的值，并写出对应的抛物线的表达式； (3)平移抛物线：将点的对应点记为，点的对应点记为．当点落在轴上，四边形是正方形，且平移后的新抛物线依然经过点时，求的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ，对称轴为直线， ， ， 当时，， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：由（1）知：， 平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上， 设， 平移后的抛物线经过点， ， 取，则， 解得或， 若，则； 若，则； （3）解：四边形是正方形，设对角线的交点为， ，且， 点平移后的对应点落在轴上，， ，， ， ． 8．（2026·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 二次函数的图像与性质 考点一 ：二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 考点一 ：二次函数的图象变换 1.二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2.二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解题技巧： 抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 4、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 题型一：y=ax²的图象和性质 1．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 3．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，如果点都在抛物线上，那么（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 5．（2026·上海虹口·一模）如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 6．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 7．（2026·上海松江·一模）已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 8．（25-26九年级上·上海闵行·期中）若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 9．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____． 题型二：y=ax²+k的图象和性质 10．（25-26九年级上·上海·期中）二次函数的顶点坐标是______． 11．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 12．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象有最高点，那么的取值范围是____． 13．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是______． 14．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是________． 15．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）已知抛物线经过点、，那么______．（填“＞”、“＜”、或“＝”） 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 16．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a的取值范围是_______． 17．（25-26九年级上·上海·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________ 18．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： __________（填“”“”或“”）． 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 19．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 20．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 21．（25-26九年级上·上海崇明·期末）已知点、为二次函数图像上的两点，那么__________（填“”、“”或“”） 22．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 23．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如果是抛物线图像上的两点，那么__________．（填“>”、“＜”或“＝”） 题型五：y=ax²+bx+c的图象与性质 24．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·上海青浦·期末）二次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________． 27．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）如果二次函数的图像有最低点，那么的取值范围是_______． 28．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果抛物线的开口向上，那么a的取值范围是______． 29．（2025·上海静安·一模）抛物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是____． 题型六：二次函数图象与各项系数符号 1. 系数a：看开口方向与宽窄 ：抛物线开口向上，函数有最小值； ：抛物线开口向下，函数有最大值； 越大，抛物线开口越窄、图像越陡；越小，开口越宽。 2. 系数b：看对称轴（左同右异口诀） 依据对称轴判断，核心口诀：左同右异 对称轴在y轴左侧（）：同号； 对称轴在y轴右侧（）：异号； 对称轴为y轴（）：。 3. 系数c：看与y轴交点位置 交点在y轴正半轴：； 抛物线过原点：； 交点在y轴负半轴：。 30．（25-26九年级上·上海·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 32．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 题型七：一次函数、二次函数图象综合判断 33．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 34．如果函数的图像经过第一、二、四象限，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型八：已知抛物线上对称的两点求对称轴 一般式：直接套用公式； 两点法：若抛物线上两点纵坐标相等，两点横坐标的中点即为对称轴。 36．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线_______． 38．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是__． 39．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）二次函数的自变量和函数值的部分取值如下表所示： ．．． -1 0 1 2 3 ．．． ．．． 5 2 5 ．．． 那么___________（填“”“”或“”）． 40．（2025·上海青浦·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 题型九：根据二次函数的对称性求函数值 41．（2025·上海松江·一模）已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 42．（2023·上海·一模）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为____． 43．（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是______． 44．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 题型十：二次函数图象的平移 左加右减自变量，上加下减常数项 注意：平移问题必须先将一般式化为顶点式，仅对自变量x进行加减，严禁直接改动项。 示例：向右平移2个单位、向上平移3个单位，得。 45．（2026·上海浦东新·二模）将抛物线向上平移个单位，得到新抛物线的表达式是______． 46．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如果函数的图象向左平移2个单位后经过原点，那么______． 47．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 48．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是____． 49．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 题型十一：y=ax²+bx+c的最值 （1）全体实数范围 最值直接取顶点纵坐标： （2）限定区间（区间最值易错点） 对称轴在区间左侧：函数在区间内单调，最值直接取区间两端点； 对称轴在区间内部：顶点取一个最值，区间远端端点取另一个最值； 对称轴在区间右侧：函数在区间内单调，最值反向取两端点。 50．（2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 51．（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 52．（2026·上海静安·三模）已知实数为方程 的根，且的值中有且仅有1，2，3，4，则的方差的最大值为_________． 一、单选题 1．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 2．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如果将抛物线向右平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（    ） A．持续向上 B．持续向下 C．先向上再向下 D．先向下再向上 3．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 5．（2026·上海杨浦·二模）抛物线的顶点坐标是___________． 6．（2026·上海闵行·三模）定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 三、解答题 7．（25-26九年级下·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中（如图），已知：抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，顶点为． (1)用含的代数式表示抛物线的顶点的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线经过点，且顶点在直线上． 请在简单推理的基础上，赋予一个合适的值，并写出对应的抛物线的表达式； (3)平移抛物线：将点的对应点记为，点的对应点记为．当点落在轴上，四边形是正方形，且平移后的新抛物线依然经过点时，求的值． 8．（2026·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $