3.2.1双曲线及其标准方程课后练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进式设计，通过基础巩固、能力提升、素养创新三级训练，构建从双曲线定义到综合应用的完整知识链，培养数学眼光与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|双曲线定义、标准方程、焦点关系|基础选择/填空/解答题，如过点求方程、焦点距离计算，夯实概念理解| |B级|轨迹方程、最值问题、几何转化|综合题，如动圆内切轨迹、距离差最值，强化逻辑推理与数学思维| |C级|角平分线性质、创新证明|学科素养题，如外角平分线与比例关系证明，提升数学语言表达与创新意识|

3.2.1　双曲线及其标准方程 A级　必备知识基础练 1.(多选题)过点(1,1),且的双曲线的标准方程可以是(　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.y2-=1 2.(2026江西高二期中)已知F1,F2分别是双曲线C:=1的左、右焦点,P是双曲线C上一点,且|PF1|=6|PF2|,则|PF2|=(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知点M(-,0),N(,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹方程为(　　) A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-) C.-y2=1(x≥2) D.-y2=1(x≤-2) 4.已知方程=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(2,) C.(3,+∞) D.(,3) 5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=4,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,则双曲线C的方程为(　　) A.x2-=1 B.=1 C.=1 D.=1 6.(2026山东青岛期中)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.以上都不是 7.许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径AB=20米,上底直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(　　) 图1 图2 A.10米 B.20米 C.10米 D.10米 8.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,且|AB|=6,则△F1AB的周长为(　　) A.20 B.22 C.28 D.36 9.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则点F1到直线F2M的距离为　　　　　.  10.已知双曲线=1上一点M与两焦点F1,F2所成的角∠F1MF2=120°,则△F1MF2的面积为　　　　　.  11.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)以椭圆=1的短轴的两个端点为焦点,且过点A(4,-5); (2)经过点P(-3,2)和Q(-6,-7). B级　关键能力提升练 12.动圆P过定点M(0,2),且与圆N:x2+(y+2)2=4相内切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　) A.y2-=1(y<0) B.y2-=1 C.-x2=1(y<0) D.x2+=1 13.(2026湖南高二期中)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2.△PF1F2为直角三角形且其内切圆半径为3-,则双曲线的方程为(　　) A.x2-=1 B.=1 C.=1 D.=1 14.已知双曲线C:=1的左焦点为F1,M为双曲线C的右支上的任意一点,点D的坐标为(3,1),则|MD|-|MF1|的最大值为(　　) A.3 B.1 C.-3 D.-2 15.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=4的解为x=　　　　　.  16.(2026河南高三开学考试)已知双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线E上的动点,则的最小值为　　　　　.  C级　学科素养创新练 17.(2026辽宁高二期中)已知双曲线E:=1的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线E右支上一点(不与顶点重合),射线AB是∠F1AF2的外角平分线,其与x轴的交点为点B,∠AF1F2的平分线与直线AB交于点C,则=　　　　　.  答案 1.AB　由于,∴b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为=1,代入(1,1)点得a2=.此时双曲线方程为-y2=1.同理,求得焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1. 2.D　由题意得得|PF2|=2.故选D. 3.C　由点M(-,0),N(,0),可得|MN|=2. 由|PM|-|PN|=4,可得|PM|-|PN|=4<|MN|=2. 根据双曲线的定义,可得点P的轨迹表示以M,N为焦点的双曲线的右支,且2a=4,2c=2,可得a=2,c=,则b2=c2-a2=1,所以点P的轨迹方程为-y2=1(x≥2). 故选C. 4.A　由=1,得=1, 因为方程=1表示焦点在x轴上的双曲线, 所以解得m<2.故选A. 5.D　设双曲线的半焦距为c,因为|F1F2|=4,所以2c=4. 由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|-|PF2|=b,所以2a=b. 所以c2=a2+b2=a2+(2a)2=5a2=20.所以a=2,b=4,双曲线C的方程为=1.故选D. 6.C　因为N为F1M的中点,O为F1F2的中点, 所以|F2M|=2|ON|=2. 因为点P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|, 因此||PF1|-|PF2||=|F2M|=2|ON|=2<|F1F2|=4,即点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.故选C. 7.B　建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意可知D(10,20),B(10,-60),设双曲线的方程为=1, ∴ 解得|EF|=2a=20.故选B. 8.C　由题意知|AF1|-|AF2|=2a=8,|BF1|-|BF2|=2a=8, 所以|AF1|+|BF1|-|AF2|-|BF2|=|AF1|+|BF1|-|AB|=16. 又|AB|=6, 所以|AF1|+|BF1|=22. 所以△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=28.故选C. 9.　由题可得,a2=6,b2=3,c2=a2+b2=9,所以F1(-3,0),F2(3,0). 设M(-3,yM),则=1,解得yM=±, 由双曲线的对称性,不妨取M(-3,),所以|MF1|=. 根据双曲线的定义可得,|MF2|-|MF1|=2a=2,解得|MF2|=. 设点F1到直线F2M的距离为d,在直角三角形MF1F2中,|MF1||F1F2|=|MF2|d,解得d=. 10.　由=1,可得a=3,b=5,c=. 又因为||MF1|-|MF2||=2a=6,所以(|MF1|-|MF2|)2=36,即|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=36, 由余弦定理得|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|×(-)=136,解得|MF1||MF2|=, 所以|MF1||MF2|×. 11.解 (1)易知椭圆=1的短轴的两个端点坐标为(0,-3),(0,3), 所以双曲线的焦点在y轴上. 可设双曲线的标准方程为=1,且a2+b2=9,点A(4,-5)在双曲线上,即=1,解得a2=5,b2=4. 所以双曲线的标准方程为=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),将P,Q两点的坐标代入可得解得 所以双曲线的标准方程为=1. 12.A　圆N:x2+(y+2)2=4的圆心为N(0,-2),半径为2,且|MN|=4. 设动圆P的半径为r,则|PM|=r,|PN|=r-2,即|PM|-|PN|=2<|MN|. 则点P在以M,N为焦点,焦距为2c=4,实轴长为2a=2,虚轴长为2b=2×=2的双曲线上,且点P在靠近点N这一支上, 故动圆圆心P的轨迹方程是y2-=1(y<0). 故选A. 13.A　在Rt△PF1F2中,直线PF2的斜率为2,故PF1⊥PF2, 则tan∠PF2F1==2, 故|PF1|=2|PF2|. 又|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=4a,|PF2|=2a. 由勾股定理得|F1F2|==2a,所以c=a. 又△PF1F2内切圆半径为r1=3-,由三角形等面积法可得×2a×4a=(2a+4a+2a)r1,解得a=1,故c=,b2=c2-a2=4,故双曲线的方程为x2-=1.故选A. 14.C　易知双曲线C的实半轴长a=2,右焦点为F2(3,0),所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a)=(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=-4=-3,当且仅当M为DF2的延长线与双曲线的交点时,等号成立.故选C. 15.±　∵||=4, ∴||=4,其几何意义为动点P(x,0)到定点A(-4,2),B(4,2)的距离差的绝对值为4. 根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以A,B为焦点,4为实轴长的双曲线与x轴交点的横坐标”. ∵2c=|AB|=8,∴c=4.∵a=2,∴b2=c2-a2=12, ∴双曲线方程为=1. 令y=0,得=1,解得x=±. 16.　不妨设点P在双曲线的右支上, 令m=|PF1|,n=|PF2|,则m-n=2a=4,得m=n+4, 而n=|PF2|≥c-a=4-2=2, 则, 令t=n+2,t≥4,得·(t-), 而函数y=·(t-)在区间[4,+∞)上单调递增,得y=·(t-)≥,故的最小值为. 17.　由双曲线E:=1,得a=3,c=5,焦点F1(-5,0),F2(5,0). 根据双曲线的定义,|AF1|-|AF2|=2a=6. 因为AB是∠F1AF2的外角平分线,所以. 又CF1平分∠AF1F2,所以. 设|AF2|=m,则|AF1|=m+6,故,即|F1B|=|F2B|. 结合|F1B|-|F2B|=10,解得|F2B|=,|F1B|=.因此. 8 学科网（北京）股份有限公司 $