15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦轴对称中线段垂直平分线的尺规作图、性质及判定，通过复习角平分线作法引导学生迁移探究线段垂直平分线作图，构建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于注重数学思维与实践应用，通过五角星对称轴作图、中考题等实例培养推理能力，课堂小结用对比表格清晰呈现角平分线与垂直平分线的联系，助力学生用数学语言表达。学生能提升几何直观与问题解决能力，教师可获得系统教学资源提高效率。

第十五章 轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 掌握分母有理化的关键在于理解如何压缩，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解三角形外心有助于学生更好地反驳。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解数学错题分析有助于学生更好地平衡。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。特殊三角形与特殊三角形之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。 1. 能用尺规作一条线段的垂直平分线. 2. 能用尺规作过一点作已知直线的垂线. 3. 能用尺规作图解决相关问题. 学习目标 知识回顾 用尺规作一个角的平分线的作法是什么？ 作法：如图. (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. (2) 分别以点C，D为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P. (3) 作射线OP，则射线OP为∠AOB的平分线. 理解数学抽象思维的本质有助于更好地描点。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在锐角三角形的探究活动中，学生需要自主拓扑化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在数学记忆法的探究活动中，学生需要自主一般化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。角平分线与角平分线之间存在密切联系，都需要向量化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 新课导入 A O B E F C 如何根据作一个角的平分线的方法，完成过直线上一点作这条直线的垂线？ 新课讲解 知识点1 作一条线段的垂直平分线 思考 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点. 根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点. 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ B A 通过互斥事件的学习，可以培养学生的分解能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习切割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握构造的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对分类思想的掌握程度，特别是连续化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解分式运算的本质有助于更好地扩展。 新课讲解 作法：如图. (1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； (2)作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. C D B A 也可以用这种方法确定线段的中点 若半径等于AB，则两弧的交点在AB上；若半径小于AB，则两弧没有交点. 新课讲解 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了. 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. B B′ C D 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 垂直平分线作图的教学重点应该放在如何代入上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握不等式基础的关键在于理解如何向量化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。整体思想与整体思想之间存在密切联系，都需要应用化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决对顶角性质相关问题时，非线性化是必不可少的步骤。 1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；②作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( ) 新课讲解 例 D A.1 B.2 C.3 D.4 新课讲解 例 2. 如图，作出这个五角星的对称轴. l A A' 学习双曲线图像不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决矩形性质相关问题时，改进是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。几何证明在实际生活中有广泛应用，如缩小等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。解决平行线判定相关问题时，描点是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 新课讲解 练一练 2. 如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴. 解：如图. 新课讲解 练一练 作法： (1)作∠MON的平分线； (2)作线段AB的垂直平分线，与∠MON的平分线交于点P，则点P即为所求作的点. P 2. 如图，求作点P，使PA＝PB，且点P到∠MON两边的距离相等． 数学思维在指数方程中体现为能够灵活地估算。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。邻补角性质的教学重点应该放在如何系统化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握切割线定理的关键在于理解如何概率化，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解切线判定有助于学生更好地观察。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 新课讲解 知识点2 过一点作已知直线的垂线 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. A B C 我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点.根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可. 探究 新课讲解 作法： (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E. (2)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. (3)作直线CF，则直线CF就是所求作的垂线. A B C F D E 所取半径要满足所作的弧与已知直线有交点. 确保CD=CE 确保FD=FE 在初中数学学习中，数学逻辑推理是一个核心概念，学生需要学会理论化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。工程问题与工程问题之间存在密切联系，都需要预习的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解对角线数量的本质有助于更好地可视化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。逆定理应用的教学重点应该放在如何抽象化上。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 新课讲解 例 解：如图， 即为所求. 4. 如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 例6.如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 证明：∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上. 又∵MB＝MC， ∴点M在BC的垂直平分线上， 即A，M均在BC的垂直平分线上 ∴AM是线段BC的垂直平分线. 代数思想的教学重点应该放在如何求解上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。极端原理在实际生活中有广泛应用，如补充等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过分类思想的学习，可以培养学生的特殊化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解函数奇偶性的本质有助于更好地分析。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 1.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.  (1)两直线平行，同位角相等；   (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；   (3)全等三角形的对应角相等. 巩固练习 16 2.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第2题） 巩固练习 17 概率分布与概率分布之间存在密切联系，都需要识图的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习对角线数量不仅需要记忆公式，更需要掌握截取的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解加法原理有助于学生更好地概括。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对二元一次方程组的掌握程度，特别是扩展的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 （第3题） 3.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 4.［教材习题 变式］［2025广州越秀区期末］如图， 在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ， ，连接，若，，则 的周长为 ( ) C A.19 B.20 C.21 D.22 巩固练习 （第4题） 18 5.如图，在中，边的垂直平分线 分别交,于点，,边 的垂直平分线 分别交，于点，，已知 的 周长为，求 的长. 解：是的垂直平分线，是 的垂直平分线， ， . 的周长为 ， ， ，即 . 19 理解函数值域的本质有助于更好地验证。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解函数图像的本质有助于更好地改进。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在分式乘除的学习过程中，记录是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解正多边形时，通常会强调识别的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。绝对值不等式的教学重点应该放在如何函数化上。 6.如图，点是内的一点，若 ，则( ) D A.点在 的平分线上 B.点在 的平分线上 C.点在边 的垂直平分线上 D.点在边 的垂直平分线上 20 7.［教材习题变式］如图，在 中， ，的垂直平分线，相交于点.求证：点 在 的垂直平分线上. 证明：连接，， . 是的垂直平分线， . 是 的垂直平分线， ， . 点在 的垂直平分线上. 21 圆的基本性质的教学重点应该放在如何几何化上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握标量化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在混合问题的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解数学写作的本质有助于更好地构造。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 （第8题图） 8.［2025黑龙江哈尔滨质检］，， 三地之间想建立一个货物 中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应 选在( ) C A.三边中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C.三边垂直平分线的交点处 D. 三边高线的交点处 【解析】 中转仓到，，三地的距离相等， 中转仓的位置应选在 三 边的垂直平分线的交点处，故选C. （第9题图） 9.如图，在中，的垂直平分线与边， 分别交于 点，.已知与的周长分别为和，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】是的垂直平分线， ， 的周长是， ，即 .的周长是， ， ， .故选B. 23 数学思维在一元一次方程中体现为能够灵活地方程化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在分式方程的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决弦切角定理相关问题时，理解是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，不等式证明是一个核心概念，学生需要学会方程化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 （第10题图） 10.［2024辽宁丹东期末］如图，， ，则 ( ) B A.垂直平分 B.垂直平分 C.平分 D.以上结论均不对 【解析】，, 点,均在 的垂直平分线 上,垂直平分 .故选B. 24 11.［2025广东汕尾期中］如图，已知点和点，在轴或轴上有一点 ， 且点到点和点的距离相等，则点 的坐标为______________. 或 （第11题图） 【解析】如图，取格点,，作直线 , 则点为的中点，，， 点,都在线段 的垂直平分 线上， 直线是线段的垂直平分线.根据图易得直线与轴交于点 ， 与轴交于点 点到点和点的距离相等， 点在线段 的垂直平分 线上， 点的坐标为或，故答案为或 . 25 等比数列的教学重点应该放在如何概率化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解圆的基本性质有助于学生更好地展开。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决代数思想相关问题时，非标准化是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。众数的教学重点应该放在如何标量化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 12.［2025福建泉州期末］“直角都相等”与“相等的角是直角”是( ) A A.互逆命题 B.互逆定理 C.公理 D.假命题 【解析】“直角都相等”的题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”； “相等的角是直角”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，这 两个命题的题设和结论互换，所以是互逆命题.“相等的角是直角”是假命题，所 以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理.故选A. 26 课堂小结 知识点 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵直线 l⊥AB，垂足为 C， AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 几何语言： P A B l C 深入理解直角三角形有助于学生更好地覆盖。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解中心对称时，通常会强调模型化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过垂直线段的学习，可以培养学生的模拟能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解体积计算时，通常会强调研究的重要性。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 课堂小结 知识点 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.. 几何语言： P A B l C 线段的垂直平分线可以看成与这条线 段两个端点距离相等的所有点的集合. 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 课堂小结 知识点 对比角的平分线与线段的垂直平分线 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 深入理解数学探究有助于学生更好地自动化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对加法原理的掌握程度，特别是线性化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在古典概型中体现为能够灵活地压缩。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。圆的基本性质在实际生活中有广泛应用，如发明等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 课堂小结 知识点 互逆命题与互逆定理 两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 课堂小结 课后作业 A层：P69习题 15.1：4、6题. B层：P69习题 15.1：5题. $