15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定，通过地铁站选址的实际问题和传统木构建筑榫卯定位的文化情境导入，类比角平分线研究方法，经折叠观察、猜想验证构建知识支架，衔接轴对称及角平分线的前期知识。 其亮点在于融合现实与文化情境培养数学眼光，通过性质与判定的互逆命题探究发展推理意识，结合尺规作图和实例应用提升数学语言表达。学生能增强抽象能力与探究兴趣，教师可借助丰富情境和活动提升教学效率。

人教版 八年级上册 15.1.2 第十五章 轴对称 线段的垂直平分线 情境引入 QING JING YIN RU 如图，A，B 是两所著名的大学学府，要在公路边新建一个地铁站， 使两所大学到地铁站的直线路程一样长，该地铁站应建在什么地方？ A B 情景激趣 传统木构建筑中的榫卯与梁架中心定位 中国传统木构建筑营造技艺（如北京四合院、徽派民居）是世界非物质文化遗产。其核心是榫卯结构和梁架体系，工匠们不需一钉一铆，仅凭木材间的凹凸结合便能建造出稳固抗震的建筑。在制作横梁等构件时，精准找到木材的中点是确保榫眼对称、受力均匀、结构稳定的关键第一步。 思考 研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系． 这节课，我们一起来探讨线段的垂直平分线的相关性质．请你类比前面研究角的平分线的方法，想一想，可以怎样研究线段的垂直平分线？ 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1 ，P2 ，P3 ，……在 l 上，分别比较点 P1 ，P2 ，P3 ，……与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 问题1 A B l P1 P2 P3 P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…… 发现 思考 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 思考 A B l P1 P2 P3 发现 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B，……它们都重合，都分别相等． 猜想 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 思考： 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 活动一：探究线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： ∵如图，点P在线段AB的垂直平分线上 （或直线l⊥AB，AC＝BC，点P在l上)， ∴PA=PB. ┏ l A B P C 任意一点 注意 该定理经常用来证明两条线段相等. 活动二：探究线段的垂直平分线的判定 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还是成立吗? 与线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等. 命题成立吗？ 你会证明吗？ 已知：PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 当点P与线段AB的中点重合时，显然成立. 列举实例，复习旧知 探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。——尺规作图法 A B 我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. 分析问题，寻找对应 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？ 分组讨论 A B M N 可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线. 理由：因为点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线． 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 思 考 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理 O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： P 2.如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴． 拓展提升： 如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D. ②作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.则b的长可能是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 随堂演练 例题讲解 例1 解 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）. ∴ OE是CD的垂直平分线. 例题讲解 （1）写出命题“全等三角形的面积相等"的逆命题 . （2）直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 . （3）命题"正方形是轴对称图形”的逆命题是 . 例2 交换原命题的题设和结论 面积相等的三角形全等 有两个角互余的三角形是直角三角形 轴对称图形是正方形 当堂小练 2. 观察图中尺规作图的痕迹，可得 一定是 的 ( ) B A. 角平分线 B. 高线 C. 边的垂直平分线 D. 中线 当堂小练 3. 作出下列各图形的一条对称轴. 有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是它的对称轴 有2条对称轴 有2条对称轴 只有1条对称轴 有3条对称轴 新课讲解 例 5. 判断下列命题的真假，写出其逆命题并判断真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0. 解：(1)原命题是真命题. 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题. (2)原命题是假命题. 逆命题：如果a2>b2，那么a>b. 逆命题是假命题. (3)原命题是真命题. 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数. 逆命题是真命题. (4)原命题是假命题. 逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0. 逆命题是真命题. 新课讲解 例 6. 下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理. (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)三角形的两边之和大于第三边. 解：(1)逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补. (2)逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形. $