25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何图形问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程——几何图形问题”，通过生活情境导入，上承一元二次方程解法，下启复杂应用，搭建低门槛学习支架，助力学生掌握面积、周长类问题的建模方法。 亮点在于“先碰壁再讲解”的渐进式教学，希沃动画动态展示交叉部分面积，课堂游戏强化验根意识，分层练习覆盖三类题型，培养数学建模、逻辑推理素养，帮助学生克服畏难情绪，教师可直接使用实现考点全覆盖。

25.3.1 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 一、基本信息 项目 内容 课题 25.3 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 课型 新授课 课时 1课时（40分钟） 教材版本 人教版九年级数学上册（2024新版）第二十一章 授课对象 九年级学生（基础薄弱班） 教学工具 希沃白板5 + 两块黑板 教学方法 情境引入 + 小组讨论渐进式 + 教师讲授 + 希沃课堂游戏 + 适度训练 作业形式 ①作业本（手写基础题）②《名校课堂》对应页码 二、教材分析 本节课是人教版九年级数学上册第二十五章"一元二次方程"的第一节应用课，是在学生已经掌握了一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）之后，学习用一元二次方程解决实际问题的起始课。 教材中几何图形问题是一元二次方程应用的重要题型，主要涉及面积问题和周长问题两大类。本节课聚焦三类典型几何应用： 题型 核心等量关系 考点地位期中/期末必考 ① 十字道路面积问题 花圃面积 = 总面积 - 路面面积（注意交叉部分） 高频考点，几乎每年必出一道 ② 靠墙围栏问题 面积 = 长 × 宽，周长 = 栅栏总长（注意墙长限制） 中频考点，验根的最佳载体 ③ 纸盒制作问题 底面积 = 底面边长²（注意剪去后的边长变化） 中低频考点，压轴选做 本节课承上启下：上承一元二次方程的解法，下启后续"面积/利润/动点"等更复杂的应用问题。核心数学思想是数学建模——从生活情境中抽象出方程模型。 三、学情分析 维度 分析 知识基础 学生已学完一元二次方程四种解法，能解基本方程。但对"应用题"存在畏难情绪——从文字到方程的"建模"过程是最大障碍。 能力水平 班级整体基础薄弱，方程应用题正确率偏低。具体表现：①读不懂题意，找不到等量关系；②能列方程但忘记验根；③计算能力不足导致解方程出错。 学习氛围 课堂参与度偏低，主动发言少。需要用生活情境+互动游戏激发兴趣，用"低起点、小台阶"的方式引导。 已有经验 在七年级学过一元一次方程应用（行程/工程/利润问题），在八年级学过分式方程应用。几何图形面积计算有基础（矩形/正方形面积公式），但"交叉部分重复计算"是新难点。 考试压力 需面对全市期中/期末统考，几何图形应用题是必考题型（通常占8-10分）。必须在降低起点的同时保证考点全覆盖。 分层情况 班内差距较大：约30%学生能跟上基础题，50%需讲解后才能做，20%基本跟不上。需要课内分层让各有所学双减要求。 四、教学目标（三维目标·核心素养导向） 1. 知识与技能 能从几何图形实际问题中找出等量关系，正确列出一元二次方程 掌握解实际问题的"设→列→解→验→答"五步法 理解验根的必要性，能正确舍去不符合实际意义的解 掌握三类典型几何应用题的建模方法：十字道路面积问题、靠墙围栏问题、纸盒制作问题 ▶ 核心素养：数学建模（从生活情境抽象方程模型）、数学运算（解方程与验根） 2. 过程与方法 经历"生活情境→画图分析→找等量关系→列方程→求解→验根"的完整建模过程 通过小组讨论"碰壁"和教师针对性讲解，体会"先尝试再学习"的探究式学习方法 通过希沃课堂游戏互动，巩固验根意识和图形与方程的对应关系 ▶ 核心素养：逻辑推理（等量关系分析）、直观想象（几何图形面积分析） 3. 情感态度与价值观 体会数学与日常生活的紧密联系（手机屏幕、校园花坛、教室地面），增强用数学眼光观察生活的意识 在小组讨论和希沃游戏中体验合作与竞争，激发学习兴趣和参与热情 通过"验根"环节培养严谨求实的数学态度——数学不能只算出答案，还要检验合不合理 ▶ 核心素养：数学抽象（从实际情境提炼数学问题）、应用意识（学以致用） 五、教学重难点 项目 内容 突破策略 教学重点 从几何图形实际问题中找出等量关系，列出一元二次方程并求解 五步法板书全程保留；例题分步板演；希沃几何画板动画辅助理解 教学难点 ①交叉部分面积的识别与处理（学生易多减或漏减）②验根意识——理解为什么必须检验实际意义并正确舍去 希沃动画红色闪烁交叉部分+拖出演示；希沃超级分类游戏强化验根；作业不验根扣分 六、教学过程（40分钟·六环节） ① 情景导入 (3 min) ② 新知探究 (7 min) ③ 教师讲解 (12 min) ④ 课堂游戏 (5 min) ⑤ 巩固练习 (8 min) ⑥ 课堂小结 (5 min) ① 情景导入 3 min 教师活动 学生活动 工具 生活情境引入（希沃动画）： ① 展示手机图片："同学们天天用手机，手机从旧款到新款，屏幕变大了、边框变窄了，屏幕面积到底变了多少？" ② 希沃动画：一块矩形空地（校园花坛照片），中间修一条横路和一条纵路，路宽可拖拽调整 ③ 提问："花坛种花面积怎么算？修路占了多少面积？" ④ 不解答，制造悬念引出课题 观看动画，思考问题，产生好奇 希沃动态几何 用手机和校园花坛两个学生熟悉的情境引入，降低心理门槛。基础薄弱班的学生对"纯数学"有畏难情绪，但看到手机和花坛会自然产生代入感。 ② 新知探究 7 min 教师活动 学生活动 工具 抛出问题，小组讨论（不讲解，让学生"碰壁"）： 希沃展示问题：校园有一块16m×7m的矩形空地，要修两条等宽的十字形道路，道路总面积为42m²，求道路的宽。 巡视各组，抛出3个递进问题（不给答案）： ① "已知量有哪些？未知量是什么？" ② "横路和纵路有交叉部分吗？把两条路的面积加起来，交叉部分被算了几次？" ③ "试着列方程看看（允许出错）" 教师在右板记录各组的典型错误（不讲评，留着环节③用） 小组讨论3个递进问题： ① 在草稿纸上列出已知量和未知量 ② 画图标出交叉部分 ③ 尝试列方程（出错也没关系）允许碰壁——基础差的学生可能直接20x+15x=42，忽略交叉部分 希沃倒计时7min右板记录错误 让学生先"碰壁"再听讲，是渐进式教学的核心。基础差的学生如果直接听老师讲，往往听完就忘；但自己先试过、出过错，再听讲解时会有"原来如此"的顿悟感。教师记录的错误是环节③的最佳教学素材。 ③ 教师讲解 12 min 教师活动 学生活动 工具 第1步：回顾讨论中的"坑"（2min） 展示右板记录的典型错误："有同学写了16x+7x=42，但大家看——交叉部分被算了两次！"第2步：希沃几何画板分步演示（3min） · 蓝色高亮横路面积（20x） · 绿色高亮纵路面积（15x） · 红色闪烁交叉部分（x²）——"这一小块被加了两遍！" · 拖拽交叉部分"移出"，让学生直观看到第3步：板书五步法（1min）（左板，全课保留）设 → 列 → 解 → 验 → 答；第4步：示范完整例题（6min）（右板板演）例题：16m×7m矩形空地，十字等宽路，路面面积42m²，求路宽。设：路宽为 x m列：16x + 7x - x² = 42解：x² - 23x + 42 = 0 → 验：x₁ ≈ 2 ✅（合理，路宽2m小于空地宽15m）       x₂ ≈ 21 ❌（路宽21m > 空地宽15m，舍去！）答：道路的宽约为 2m。⚠️ 验根必须单独写一步！很多同学解出两个解就写答案了，但 x₂≈21 意味着路比地还宽——这显然不合理。实际问题的解必须符合实际意义！ 听讲、对照自己的讨论结果 在作业本上抄写例题完整过程 理解"验根"的含义关键动作：用红笔在"验"这一步画圈 几何画板分步动画左板写五步法右板写例题过程 讲授环节基于学生刚才的"碰壁"经验进行针对性讲解——不是从零开始讲，而是"修复"学生刚才的错误。12分钟是全课核心，时间不能被压缩。例题必须完整板演五步，让学生有标准格式可抄。 ④ 课堂游戏 5 min 教师活动 学生活动 工具 组织两个希沃课堂游戏（完整设计见第七部分）：游戏1（2min）：超级分类——"该不该验根？"游戏2（3min）：知识匹配——"几何图形找朋友" 每组派代表上台拖拽，答对加分 游戏后追问："为什么这么分类/匹配？说出理由才计分" 参与游戏，上台操作，为小组加分回答教师追问 希沃课堂活动×2 游戏不是"为玩而玩"。超级分类强化验根意识（本课最大难点），知识匹配降低建模门槛（从"认出"对应关系到"独立列出"方程）。追问环节确保学生不只是看热闹，还要说出理由。双减：用游戏替代机械练习，提质增效 ⑤ 巩固练习 8 min 教师活动 学生活动 工具 分层练习（希沃展示题目，学生抄在作业本上做）：基础题（所有人必做，4min）： 练习1：8m×6m教室地面，中间修一条横路（与宽边平行），路宽1m，求剩余面积。（单条路，无交叉部分，为基础最薄弱学生铺垫） 练习2：12m×9m矩形空地，修十字等宽道路，路面面积54m²，求路宽。（与例题同类型，检验是否掌握）提高题（基础好的同学继续做，3min）： 练习3：利用15m长的墙为一边，用36m栅栏围矩形花圃，面积80m²，求两边长。（靠墙围栏题型，考点覆盖）选做题（最快的学生做，1min）： 练习4：20cm×20cm正方形纸片，四角剪去小正方形折成无盖盒，底面积128cm²，求剪去的边长。最后1min：希沃拍照上传1份"验了根"的作业和1份"没验根"的作业，分屏对比 分层完成： · 基础薄弱生：完成练习1+2 · 中等生：完成练习1+2+3 · 优等生：完成全部4题各有所学 抄题→画图→列方程→求解→验根→写答 在作业本上完成 希沃展示题目倒计时8min拍照上传对比 练习题参考答案 [基础] 练习1 📎 参考答案：路面积 = 6×1 = 6m²（只有一条路，无交叉部分）剩余面积 = 48 - 6 = 42m²答：剩余面积为42m²。（此题无方程，为铺垫题，帮助基础最薄弱的学生理解"路面面积"概念） [基础] 练习2 📎 参考答案：设路宽为 x m。列：12x + 9x - x² = 54 → x² - 21x + 54 = 0解：(x-3)(x-18) = 0 → x₁=3, x₂=18验：x=18 时，路宽18m > 空地宽9m ❌ 舍去！x=3 时，3 < 9 ✅ 合理。答：路宽为3m。 [提高] 练习3 📎 参考答案：设垂直于墙的一边为 x m，则平行于墙的一边为 (36-2x) m。列：x(36-2x) = 80 → 2x²-36x+80 = 0 → x²-18x+40 = 0解：(x-4)(x-14) = 0 → x₁=4, x₂=14验：x=4 时，36-2×4=28m，但墙长只有15m，28>15 ❌ 舍去！   x=14 时，36-2×14=8m，8<15 ✅ 合理。答：花圃长8m，宽14m。 [选做] 练习4 📎 参考答案：设剪去的小正方形边长为 x cm。折成纸盒后底面边长为 (20-2x) cm。列：(20-2x)² = 128 → 20-2x = ±8√2解：x = 10-4√2 ≈ 4.34 或 x = 10+4√2 ≈ 15.66验：x≈15.66 时，20-2×15.66 < 0 ❌ 舍去！x≈4.34 时，20-2×4.34 > 0 ✅ 合理。答：剪去的小正方形边长约为4.34cm。 ⑥ 课堂小结 5 min 教师活动 学生活动 工具 第1步：希沃思维导图逐步展开（3min） 中心：几何图形问题与一元二次方程 ├─ 五步法：设→列→解→验→答 ├─ 三类题型：①十字道路 ②靠墙围栏 ③纸盒制作 ├─ 关键：交叉部分不能重复计算 └─ 验根：不符合实际意义的解必须舍去！第2步：提问回顾（1min） "今天学的方法分几步？""哪一步最容易忘？""为什么要验根？"第3步：布置作业（1min） 作业本4题 + 《名校课堂》P17 第1-12题 强调"每道题必须验根，不验根扣分！" 思维导图截图保存，发班级群供复习 跟随思维导图回顾本课要点回答提问记录作业要求 希沃思维导图 七、希沃课堂游戏完整设计 以下三个游戏均在希沃白板5中提前制作。打开希沃白板5 → 顶部菜单"课堂活动" → 选择对应模板 → 按下述内容填写 → 保存。课堂环节④直接调用。 🎮 游戏一：超级分类——"该不该验根？"希沃课堂活动·超级分类 ⏱ 时长：2分钟 ｜ 👥 形式：每组派1人上台拖拽 ｜ 📊 计分：每对1分 📍 制作步骤 希沃白板5 → 课堂活动 → 超级分类 → 填入以下内容 → 完成 📂 分类框（2个） ✅ 需要验根（实际问题） ❌ 不需要验根（纯数学计算） 🃏 分类卡片（6张，含2张干扰项） 序号 卡片文字 正确分类 设计意图 1 花坛修路，解出路宽 x=2 ✅需要验根 基础：路宽不能超过空地尺寸 2 纸盒制作，解出剪去边长 x=3 ✅需要验根 基础：剪去的不能超过边长一半 3 解方程 x²-5x+6=0 ❌不需要 干扰：纯方程无实际背景 4 围栏围花圃，解出栅栏长 x=10 ✅需要验根 基础：围栏不能超过总长 5 化简 x²+2x+1 ❌不需要 干扰：纯代数运算 6 花坛修路，解出路宽 x=21，空地宽15m ✅需要验根 核心：21>15，必须舍去！ ▶ 课堂操作流程 教学价值：基础差的学生最容易跳过验根。6张卡片中4张是"需要验根"的实际问题，2张是"不需要"的纯数学——通过对比让学生形成条件反射：只要来自实际问题，就必须验根。第6张是"王炸"——直接对应本课例题的舍根情境。 🎮 游戏二：知识匹配——"几何图形找朋友"希沃课堂活动·知识匹配 ⏱ 时长：3分钟 ｜ 👥 形式：每组派1人上台连线 ｜ 📊 计分：每对1分 📍 制作步骤 希沃白板5 → 课堂活动 → 知识匹配 → 填入以下内容 → 完成 📋 左侧：几何图形描述（4个） （在希沃中可用简笔画或文字描述，建议文字+简图） 序号 图形描述 难度 A 20m×15m矩形，横纵各一条等宽十字路 基础 B 8m×6m矩形，仅一条横路（无交叉） 基础 C 靠墙围栏，墙长15m，用36m栅栏围三边 中等 D 20cm正方形纸片，四角剪去x折成无盖盒 提高 📋 右侧：对应方程（4个，打乱顺序） 序号 方程 对应左 ① 8x = 12 B ② 20x + 15x - x² = 42 A ③ x(36-2x) = 80 C ④ x(20-2x)² = 128 D ▶ 课堂操作流程 教学价值：基础差的学生从"图形"到"方程"的建模能力弱。这个匹配游戏降低门槛——不要求自己列方程，只要求"认出"对应关系。通过追问"为什么"，引导学生说出等量关系，为后续独立列方程打基础。 八、板书设计 🟡 左黑板（全课不擦 · 核心保留区） ① 课题 25.3 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 ② 五步法流程图 设 → 列 → 解 → 验 → 答 ③ 核心公式 花圃面积 = 总面积 - 路面面积 + 交叉部分 ④ 三类题型 十字道路 | 靠墙围栏 | 纸盒制作 ⑤ ⚠️ 验根提醒 实际问题必须验根！不符合实际意义的解要舍去！ 🔵 右黑板（随用随擦 · 活动区） 上半区（环节②③使用）： · 记录小组讨论典型错误 · 例题完整解题过程：   设：路宽为x m   列：20x+15x-x²=42   解：x²-35x+42=0   验：x₁≈2 ✅ x₂≈21 ❌（舍去）   答：路宽约2m 下半区（环节⑤使用）： · 学生板演练习题 · 拍照对比标记 （用完即擦） 板书设计原则：左板：全课核心内容保留，学生抬头就能看到五步法和验根提醒——基础差的学生需要反复视觉强化右板：例题板演 + 学生上台练习，随用随擦，保证书写空间希沃白板：动态展示（动画/拖拽）、互动游戏、拍照对比——与黑板互补，不重复 九、课后作业 双减要求 作业分两部分：作业本（手写基础题，巩固课堂所学）+《名校课堂》（对应页码，覆盖考点变式）。总量控制在30分钟以内。 📝 第一部分：作业本作业（必做） 要求：用作业本书写，每题按"设→列→解→验→答"五步完成，不验根扣分。 题号 难度 题目 考点 1 基础 一块10m×8m的矩形花圃，中间修一条横路（与宽边平行），路宽1m，求花圃剩余面积。期末常考 单条路面积 2 基础 一块12m×9m的矩形空地，修两条等宽的十字形道路，路面总面积54m²，求路宽。期中常考 十字道路+验根 3 基础 手机屏幕长16cm、宽9cm，边框等宽，屏幕面积比手机正面面积少48cm²，求边框宽度。变式题 面积差+生活情境 4 提高 利用18m长的墙为一边，用40m栅栏围矩形花圃，面积150m²，求花圃两边长。（注意：墙长只有18m！）高频考点 靠墙围栏+验根；仅4班做 作业本参考答案 📎 参考答案： 第1题：路面积 = 8×1 = 8m²，剩余面积 = 80-8 = 72m²。答：剩余面积72m²。（单条路无交叉，铺垫题） 第2题：设路宽 x m。12x+9x-x²=54 → x²-21x+54=0 → (x-3)(x-18)=0 → x₁=3, x₂=18。验：18>9 ❌舍去。答：路宽3m。 第3题：设边框宽 x cm。屏幕面积 = (16-2x)(9-2x)，手机正面面积=16×9=144。列：144-(16-2x)(9-2x)=48 → 4x²-50x+48=0 → (x-1)(x-12)=0 → x₁=1, x₂=12。验：x=12时，9-2×12<0 ❌舍去。答：边框宽1cm。 第4题：设垂直于墙的一边为 x m，平行于墙的一边为(36-2x)... 不对，36m栅栏围三边，所以(40-2x)... 重新审题：用40m栅栏围三边。设垂直于墙的一边为x，则平行于墙的一边为(40-2x)。列：x(40-2x)=150 → 2x²-40x+150=0 → x²-20x+75=0 → (x-5)(x-15)=0 → x₁=5, x₂=15。验：x=5时，40-2×5=30>18 ❌舍去（墙长只有18m）；x=15时，40-2×15=10<18 ✅。答：花圃长10m，宽15m。 📖 第二部分：《名校课堂》对应练习 十、教学反思（课后填写） 以下为教学反思框架，课后根据实际教学情况填写。 反思维度 反思问题 记录 目标达成 ① 学生能否独立完成"设→列→解→验→答"五步？② 验根意识是否建立？作业中有多少学生忘记验根？③ 三类题型是否全部覆盖？哪个题型学生掌握最差？ 教学策略 ① "碰壁"讨论环节效果如何？学生是否真的发现了交叉部分问题？② 希沃游戏是否激发了参与度？有没有"看热闹不思考"的现象？③ 分层练习是否做到"各有所学"？基础薄弱生是否完成了2题？ 时间控制 ① 哪个环节超时了？哪个环节可以压缩？② 40分钟是否够用？是否需要调整环节时间分配？ 学生反馈 ① 哪些学生有明显进步？哪些学生仍需辅导？② 学生对希沃游戏的反馈如何？下次课是否继续使用？ 改进方向 ① 下次课需要调整什么？② 是否需要增加一节练习课巩固？③ 哪些考点还需补充训练？ 学科网（北京）股份有限公司 $