25.3.1 实际问题与一元二次方程-几何问题-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程解决几何问题”，涵盖边长变化、边框宽度等题型，通过回顾解应用题步骤及流感传染问题导入，搭建旧知与实际应用的学习支架，引导学生从数量关系和空间形式切入。 其亮点是以几何问题为载体，通过图形变换简化建模，如十字小路问题平移绿化区域，培养抽象能力、几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），边框问题设未知数列方程并检验解的合理性，提升学生应用意识，教师可借助结构化练习和小结高效教学，助力学生掌握方程建模方法。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.3.1 实际问题与一元二次方程（几何问题）练习题 知识点回顾：几何类一元二次方程应用题，主要利用矩形、正方形、三角形等图形的面积、周长公式建立等量关系。常见题型：边长变化求面积、截剪图形、道路过道问题、边框宽度问题。解题核心：设未知数表示变化后的边长，根据几何公式列一元二次方程，最后结合实际意义舍去负数、不合理的解。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一个正方形边长为$$x$$，边长增加2后面积为36，列方程正确的是（） A. $$x^2+2=36$$ B. $$(x+2)^2=36$$ C. $$x^2+4=36$$ D. $$2(x+2)=36$$ 2. 矩形长8、宽5，长增加$$x$$，宽不变，面积增加10，可列方程（） A. $$5x=10$$ B. $$8x=10$$ C. $$(8+x)\times5=10$$ D. $$8\times5+x=10$$ 3. 矩形草坪长20m、宽15m，四周修等宽小路，设路宽为$$x$$，则草坪加小路的总长为（） A. $$20+x$$ B. $$20+2x$$ C. $$15+2x$$ D. $$20-x$$ 4. 直角三角形两直角边和为14，面积为24，设一条直角边为$$x$$，方程为（） A. $$x(14-x)=24$$ B. $$\frac{1}{2}x(14-x)=24$$ C. $$x(14+x)=24$$ D. $$\frac{1}{2}x(14+x)=24$$ 5. 长方形画长30cm、宽20cm，镶等宽纸边后总面积为800cm²，纸边宽$$x$$，下列方程正确的是（） A. $$(30+2x)(20+2x)=800$$ B. $$(30+x)(20+x)=800$$ C. $$30\times20+2x=800$$ D. $$30x+20x=800$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 正方形面积为64，则边长为__________；若边长增加$$x$$后面积为100，方程为__________。 2. 矩形长比宽多3，面积为28，设宽为$$x$$，列方程：__________。 3. 直角三角形斜边长13，一条直角边长5，则另一条直角边长为__________。 4. 一块矩形地长40、宽30，中间留一条等宽十字小路，剩余面积816，设路宽$$x$$，化简前方程为__________。 5. 矩形周长28，面积48，则长和宽分别为__________、__________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）基础边长面积问题：一个矩形的长比宽大2cm，面积是48cm²，求矩形的长和宽。 2.（20分）边框宽度问题：现有一幅矩形画作，长40cm，宽30cm，在画作四周粘贴宽度相同的装饰边框，边框面积与画作面积相等，求边框的宽度。 3.（20分）道路裁剪几何问题：某小区有一块长32m、宽20m的矩形空地，沿平行于两边的方向修筑一条等宽的十字人行小路，剩余绿化面积为540m²，求小路的宽度。 参考答案 一、选择题：1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 二、填空题：1.8，$$(8+x)^2=100$$ 2.$$x(x+3)=28$$ 3.12 4.$$(40-x)(30-x)=816$$ 5.8、6 三、解答题：1.解：设宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+2)$$ cm。列方程：$$x(x+2)=48$$，整理得$$x^2+2x-48=0$$，因式分解得$$(x+8)(x-6)=0$$，解得$$x_1=6$$，$$x_2=-8$$（舍去）。长：$$6+2=8$$cm。答：长8cm，宽6cm。 2.解：设边框宽度为$$x$$ cm。画作面积：$$40\times30=1200\mathrm{cm^2}$$，总面积：$$2400\mathrm{cm^2}$$。列方程：$$(40+2x)(30+2x)=2400$$，整理得$$x^2+35x-300=0$$，解得$$x_1=5$$，$$x_2=-40$$（舍去）。答：边框宽度为5cm。 3.解：设小路宽为$$x$$ m。平移绿化区域得新矩形，列方程：$$(32-x)(20-x)=540$$，整理得$$x^2-52x+100=0$$，解得$$x_1=2$$，$$x_2=50$$（舍去）。答：小路宽度为2m。 25.3.1 实际问题与一元二次方程 -几何问题 学习目标 1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.(重点) 2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.(难点) 3. 通过实际问题的解答，再次让学生认识到对 方程的解进行检验的必要性 学习目标 新课导入 导入课题 问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 本节课我们学习一元二次方程的应用. 审、设、列、解、验、答 推进新课 知识点 列一元二次方程解决实际问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 你能解决这个问题吗？ 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 第一轮传染后有 人患了流感. 第二轮传染中的传染源为 人，第二轮传染后 有 人患了流感. 根据等量关系 “ ”列出方程 . x+1 x+1 x+1+x(x+1) 两轮传染后，有121人患了流感 x+1+x(x+1)=121 解方程 x+1+x(x+1)=121 化简得：x2+2x-120=0 (x-10)(x+12)=0 x1=10, x2=-12(舍) 有更简单的方法解这个方程吗？ 解方程 x+1+x(x+1)=121 提取公因式：(x+1)(x+1)=121 (x+1)2=121 x+1=±11 x1=10, x2=-12(舍) 思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？ 经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感. n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 巩固练习 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 依题意1+x+(1+x)x=81， (1+x)2=81，x+1=9或x+1=-9. 解得x=8或x=-10(舍去) 三轮感染后被感染的电脑台数为 (1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支? 解：设每个支干长出x个小分支. 根据题意，得1+x+x2=91， 即(x-9)(x+10)=0 解得x1=9，x2=-10(舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 随堂演练 基础巩固 1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=182×2 B 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64, 解得x1=7，x2=-9(舍). 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)第三轮被传染的人数为 (1+x)2·x=(1+7)2×7=448(人). 答：第三轮将有448人被传染. 应用1 边框问题 1. 软笔书法承载着中华五千年 的灿烂文化，如图①是李叔叔的软笔作 品，是长，宽 的矩形.为了 #1.1 美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边 衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图 ②，左右边衬的宽度是上下边衬的2倍，面积变成原作品的 1.21倍，求上下边衬的宽度是多少？#1 中考考法 14 【解】 设上下边衬的宽度是 ，则左 右边衬的宽度是 ， 依题意得 , 则 , 解得, （不合题意,舍去）. 因此,此作品上下边衬的宽度是 . 中考考法 15 应用2 靠墙问题 2.[2026淮南期末] 园林部门计划在某 公园建一个长方形苗圃 .苗圃的 一面靠墙（墙最大可用长度为 ） ，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开， 分成两个区域，并在如图所示的两处各留 宽的门 （门不用木栏），建成后所用木栏总长为 ，设苗圃 的一边的长为 . 中考考法 16 （1）的长为__________（包含门宽，用含 的代数式表 示） 中考考法 17 （2）若苗圃的面积为，求 的值； 【解】根据题意得 ， 即， , ， 解得， . 当时， ， 当时， , 不符合题意,舍去， . 中考考法 18 （3）苗圃的面积是否可以达到 ，请说明理由. 中考考法 19 不可以达到 .理由如下： 若可以达到，则 ， 化简得 . ， 方程 无解. 苗圃的面积不可以达到 . 中考考法 课堂小结 传播问题 两个要点： 传染源和传播速度 传染轮数与传染总人数之间的关系： 设1个人每次可以传染x人 第一轮： (1+x)人 第二轮： (1+x)+x(1+x)人 第三轮： (1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人 第n轮： (1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $