3.2 函数与方程、不等式之间的关系 培优专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点判定与二分法应用，通过阶梯式题型构建“概念-定理-方法-应用”的知识逻辑链，强化数学推理与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数零点判定|单选1-2、6，多选5C，填空8|区间判断、存在性定理应用、零点个数分析|从零点概念出发，结合函数连续性与符号变化推导存在性定理，延伸至零点个数判定| |二分法应用|单选3-4，填空7|区间选取、图像适用性判断、迭代操作|基于零点存在性定理，通过二分法步骤训练，建立“逐步逼近”的数学思维| |方程与函数关系|解答题9-10|参数范围讨论、根的分布问题|将方程根转化为函数零点，运用二次函数性质分析根的正负与数量，体现函数与方程的转化思想|

2026-2027学年高一年级上册数学培优提升卷(人教B版专用) 必修第一册 第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列各个区间中，函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】 本题考查函数零点的存在性定理，属于基础题． 根据函数零点的存在性定理进行判断即可． 【解答】 解：因为连续函数， 且，，，， 所以，函数的零点所在区间是， 故选C． 2.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如表对应值表： 那么函数一定存在零点的区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】 本题考查函数零点判定定理的应用，属于基础题． 由图表中的数据可得，再由定义在上的函数的图象是连续不断的，结合函数零点判定定理得答案． 【解答】 解：由图表可知，，，，， 则， 又定义在上的函数的图象是连续不断的， 由函数零点判断定理可得，函数一定存在零点的区间是． 故本题选A． 3.在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查二分法，是基础题 【解答】 解：第一次所取的区间是， 第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，，，，故选C． 4.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(    ) A.   B.   C.   D. 【答案】C  【解析】 本题考查用二分法求方程的近似解，零点存在定理的运用，属于基础题． 利用二分法求方程的近似解时，函数存在零点且函数在零点附近的函数值的符号相反进行判断，即可求解． 【解答】 解：由函数图象可得， 中的函数没有零点，不能用二分法求零点，故排除 和中的函数有零点，但函数在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点，排除和 只有中的函数存在零点且函数在零点附近的函数值的符号相反，故能用二分法求函数的零点， 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的是(    ) A. 若集合有个元素，则的真子集的个数为 B. 函数的零点可以用二分法求得 C. 函数的零点为， D. 函数的最小值为 【答案】AD  【解析】根据集合真子集个数的公式即可判断根据二分法适用的条件即可判断根据零点的定义即可判断利用基本不等式即可判断． 对于，由题意的真子集的个数为，故A正确 对于，，且零点的两侧同号， 所以函数的零点不可以用二分法求得，故B错误 对于，令，得或， 所以函数的零点为，，故C错误 对于，因为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以函数的最小值为，故D正确． 故选：． 6.函数的零点所在的区间可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】 本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题． 利用函数的解析式，求解函数值的符号，结合零点存在性定理，判断选项即可． 【解答】 解：函数是连续函数， 由于，，，，， 所以零点在区间，内． 故选：． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.用“二分法”求方程在区间内的解，取区间中点为，那么下一个有解区间是          ． 【答案】  【解析】 根据题意，令，求出、、、的值，由二分法的步骤分析可得答案． 本题考查二分法的应用，注意二分法分析函数零点的步骤． 【解答】 解：根据题意，令， ，，，， 根据零点存在性定理，在区间有零点，所以方程下一个有解的区间是． 故答案为：． 8.函数的图象与轴的交点个数为          ． 【答案】  【解析】 本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题． 根据一元二次方程的根的判断，即可求解． 【解答】 解：由函数的零点与方程根的关系，的图象与轴的交点个数，即为方程不等根的个数， 一元二次方程有两个不等根，一元二次方程无实数根， 故有两个不等根，从而的图象与轴的交点个数为． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 设函数． 若函数的图象与轴无公共点，求实数的取值范围； 若方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围． 【答案】解：函数的图象与轴无公共点， 即对应的方程无实根，判别式， ， ， 的取值范围是； 方程有两个不相等的正根，则且两根，， ， ； 故的取值范围是．  10.本小题分 已知函数． 若的图象与轴恰有一个公共点，求的值； 若方程至少有一正根，求的范围． 【答案】 解：若，则，的图象与轴的交点为，满足题意； 若，则依题意得：，即． 故或   显然  若，，则由可知，方程有一正一负两根，此时满足题意； 若，则时，，不满足题意； 时，因为 则方程有两负根，也不满足题意． 故的范围为         学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上册数学培优提升卷(人教B版专用) 必修第一册 第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列各个区间中，函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 2.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如表对应值表： 那么函数一定存在零点的区间是(    ) A. B. C. D. 3.在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是(    ) A. B. C. D. 4.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(    ) A.   B.   C.   D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列命题正确的是(    ) A. 若集合有个元素，则的真子集的个数为 B. 函数的零点可以用二分法求得 C. 函数的零点为， D. 函数的最小值为 6.函数的零点所在的区间可能是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.用“二分法”求方程在区间内的解，取区间中点为，那么下一个有解区间是          ． 8.函数的图象与轴的交点个数为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 设函数． 若函数的图象与轴无公共点，求实数的取值范围； 若方程有两个不相等的正根，求实数的取值范围． 10.本小题4分 已知函数． 若的图象与轴恰有一个公共点，求的值； 若方程至少有一正根，求的范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $