3.2 函数与方程、不等式之间的关系（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 题型一 求函数的零点 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·宁夏吴忠·学业考试）函数的零点是（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 5．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求函数零点个数 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（22-23高一·江苏·假期作业）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．0 10．（2023高一·全国·课后作业）已知二次函数，若，则在区间内的零点情况是（    ） A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定 题型三 判断函数零点所在的区间 11．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（   ） A．(0， 1) B．(1， 2) C．(2，3) D．(3， ) 13．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 则函数一定存在零点的区间是（   ） A． B． C． D． 14．（21-22高一上·云南红河·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值如下表所示： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 题型四 用二分法求函数零点的近似值(方程的近似解) 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 16．（21-22高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A．B．C．D． 题型一 已知函数零点（方程根）个数求参数 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 题型二 已知零点所在区间求参数 5．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 . 6．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 7．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·全国·课后作业）已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 9．（22-23高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 题型三 零点之和问题 10．（2022·江西萍乡·二模）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有10个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 题型一 求函数的零点 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出零点即可. 【详解】由，得， 所以函数的零点是. 故选：C 2．（2024高二上·宁夏吴忠·学业考试）函数的零点是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】利用直接方程法求零点即可得解. 【详解】因为， 令，得，解得， 所以的零点为. 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）函数的零点是（    ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【分析】令，结合定义域求解即可. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 令,解得，又，所以. 函数的零点是1. 故选：A. 5．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性以及函数的零点情况，即可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，存在零点，A不是； 对于B，函数的定义域是，不是偶函数，B不是； 对于C，函数不是偶函数，C不是； 对于D，函数的定义域为R，，是偶函数，没有零点，D是. 故选：D 题型二 求函数零点个数 6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论证明不等式，即可得到答案. 【详解】当时，有，所以； 当时，有，所以； 这表明函数的取值恒为正数，没有零点. 故选：A. 7．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 8．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类求出函数零点即可. 【详解】当时，由，得或0（舍去）； 当时，由解得或. 故共有3个零点. 故选：C. 9．（22-23高一·江苏·假期作业）函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】C 【分析】解一元二次方程可得答案. 【详解】由，得，得或， 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为. 所以该函数的零点个数是1或2. 故选：C 10．（2023高一·全国·课后作业）已知二次函数，若，则在区间内的零点情况是（    ） A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】因为函数开口向下，又， 所以在区间内没有零点. 故选：C 题型三 判断函数零点所在的区间 11．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理，判断零点所在区间. 【详解】已知，因为都是R上的增函数， 所以函数是连续的增函数， 易知，， 可知，故函数的零点所在的区间是， 故选：C． 12．（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（   ） A．(0， 1) B．(1， 2) C．(2，3) D．(3， ) 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理,把选项代入验证即可. 【详解】因为函数是减函数,又,, 所以,由零点存在性定理可得, 包含零点的区间(2，3). 故选：C 13．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 则函数一定存在零点的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据零点的存在性定理直接得出结果. 【详解】因为，则， 又函数的图象是连续不断的， 所以在区间上一定存在零点． 故选：B 14．（21-22高一上·云南红河·期末）已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值如下表所示： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续的曲线， 且，， 所以，则函数在区间上必有零点. 故选：A 题型四 用二分法求函数零点的近似值(方程的近似解) 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 16．（21-22高一下·江苏南京·开学考试）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 17．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二分法，可得答案. 【详解】由题意，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点， 由于，则第二次需计算， 故选：C． 18．（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 题型一 已知函数零点（方程根）个数求参数 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数只有一个零点，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【分析】对进行分类讨论，结合判别式来求得的值. 【详解】当时，，有唯一零点； 当时，由题意可得，解得． 综上，实数的取值为或． 故答案为：或 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数有唯一零点，则实数k的值为 ． 【答案】1或2 【分析】结合零点定义，函数有唯一零点，即方程只有一个解.对二次项系数分类讨论： 时，令，满足只有一个解；时，令即可求解. 【详解】①当，即时， ， 令得， 所以函数有唯一零点， ②当时，函数有唯一零点， 则，解得． 综上，实数的值为1或2． 故答案为：1或2. 3．（23-24高一上·四川成都·期中）函数 (1)画出函数的图象； (2) 当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）． (3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程） 【答案】(1)图象见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可； （2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域； （3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围. 【详解】（1）由解析式得图象如下， （2） 由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减， 且，，，， 综上，在上值域为. （3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点， 所以. 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案或者利用函数图象列出不等关系可得答案. 【详解】法一：要满足题意，则，解得． 法二：令，得， 即时，与的图象有两个交点， 作如下图，可知． 故答案为：. 题型二 已知零点所在区间求参数 5．（20-21高三上·内蒙古赤峰·期中）设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据零点与对应方程根的关系以及函数零点存在性定理即可得答案. 【详解】因为存在，使得， 所以函数在上有零点. 当时，不存在零点， 当时，为一次函数形式，具有单调性， 由函数零点存在性定理知，即， 解得或. 故答案为：. 6．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可. 【详解】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可，即，解得或， 即的取值范围是∪， 故选：D 7．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 8．（21-22高一上·全国·课后作业）已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意只需对称轴大于1，即可， （2）根据题意只需即可， （3）根据题意结合零点存在性定理列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的零点均大于1， 所以，解得， （2）因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1， 所以，解得， （3）因为函数的一个零点在内，另一个零点在内， 所以，解得. 9．（22-23高三·全国·对口高考）方程在区间上有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在区间端点的正负列式求解即可. 【详解】考查，因为，且开口向上， 故在区间上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程在区间上有解， 则，即，解得. 故答案为： 题型三 零点之和问题 10．（2022·江西萍乡·二模）已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】先求解方程的根，再求和即可求解. 【详解】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 1．（24-25高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义令，解出即可求解. 【详解】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由对任意无零点，可得在上一个y只对应一个x，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】是上的增函数，则任意，，， 因此任意无零点； 由对任意无零点， 则成立或成立， 所以在上一个y只对应一个x，， 所以“任意无零点”是“是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数为上的奇函数，当时，，若函数满足，且有10个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到与的解析式，设，作出函数的图象，数形结合，分类讨论函数、与三种情况，得到对应情况下的解的个数，从而得解． 【详解】∵函数为上的奇函数，当时， 令，则，则， 又 ∴，则， 设，作出函数的图象，由图知： 对于A，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于B，当时，函数没有实数根，不满足题意； 对于C，当时，函数有六个根， 其中,，，，，； 作出与、、、、与的图象，如图， 显然这6个函数与恰有10个交点，则有10个不同的解，故C正确； 对于D，当时，函数有两个根，其中，， 与选项C同理可知与、各有一个交点， 则只有2个不同的解，不满足题意，故D错误． 故选：C． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 5．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点在区间内可得关于a的不等式组，从而可求a的取值范围. 【详解】因为，故即. 所以在R单调递增，且在内存在零点， 故，即，解得. 故选：C. 6．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，即求函数在上的图象与直线，公共点个数. 【详解】令得或. 如图，画出在上的图象与直线，直线． 由图可知，的图象与直线有5个公共点， 的图象与直线仅有1个公共点， 则的零点个数为． 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$