3.2 第一课时　函数的零点、三个“二次”间的关系 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高中数学“函数的零点、三个‘二次’间的关系”新授课同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，覆盖从概念理解到创新应用的知识路径，培养数学抽象、推理与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（零点定义、不等式解集）|选择/填空题，直接考查概念辨析（如1题零点定义）| |中档|综合应用（二次函数性质、含参不等式）|填空/解答题，融合多知识点运算（如9题含参二次不等式求解）| |提升|拓展创新（函数性质综合、零点个数讨论）|解答题，结合函数性质与分类讨论（如14题奇函数零点个数分析）|

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第一课时　函数的零点、三个“二次”间的关系 1.函数y＝1＋的零点是（　　） A.（－1，0） B.－1 C.（0，1） D.0 2.关于x的不等式ax－b＞0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b）（x－3）＞0的解集是（　　） A.（－∞，－1）∪（3，＋∞） B.（－1，3） C.（1，3） D.（－∞，1）∪（3，＋∞） 3.要使关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜－1＜a＜2} B.{a｜－2＜a＜1} C.{a｜a＜－2} D.{a｜a＞1} 4.≥1的解集是（　　） A.{x｜1＜x≤2} B.{x｜－1≤x＜0或2＜x≤3} C.{x｜0≤x≤4} D.{x｜0≤x＜1或2＜x≤4} 5.（多选）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3） D.函数有y＝f（｜x｜）四个零点 6.若f（x）＝则函数g（x）＝f（x）－x的零点为　　　　. 7.不等式（x＋1）（x2－9）≥0的解集是　　　　. 8.若关于x的方程＝1的根均为负数，则实数a的取值范围是　　　 　. 9.已知二次函数f（x）＝x2－（a＋2）x＋2a，a∈R. （1）若函数f（x）只有一个零点，求a的值； （2）解关于x的不等式f（x）≤0. 10.已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围为（　　） A.a≤0 B.a＜0 C.a≤－1 D.a＜－2 11.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有　　　　个零点，这几个零点的和等于　　　　. 12.二次函数y＝ax2＋（b－2）x＋3（a≠0）. （1）当a＝1，b＝6时，求此函数的零点； （2）若不等式y＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，求实数a，b的值； （3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0在R上恒成立，求实数a的取值集合. 13.已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，则实数λ的值是（　　） A. B. C.－ D.－ 14.若函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2－4x＋3. （1）求f（x）在R的解析式； （2）若a∈R，g（x）＝f（x）－a，试讨论a取何值时，g（x）零点的个数最多？最少？ 第一课时　函数的零点、三个“二次”间的关系 1.B　令y＝1＋＝0，∴x＝－1.∴函数y＝1＋的零点是－1.故选B. 2.A　由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以（ax＋b）（x－3）＝a（x＋1）（x－3）＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）. 3.B　由题意可得1＋（a2－1）＋a－2＝a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.故选B. 4.D　由≥1可得1－＝＝≤0，如图所示： 由图可知，原不等式的解集为{x｜0≤x＜1或2＜x≤4}.故选D. 5.ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确； 由根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；对于C选项，f（－1）＝1＋2＋a＝3＋a，f（3）＝9－6＋a＝3＋a，所以f（－1）＝f（3），故C选项正确；对于D选项，当a＝0时，由y＝f（｜x｜）＝0得｜x｜2－2｜x｜＝0，所以x1＝0，x2＝－2，x3＝2，故有三个零点，则D选项错误.故选A、B、C. 6.1，1＋　解析：由f（x）＝x，得或 解得x＝1＋或x＝1. 7.{x｜－3≤x≤－1或x≥3}　解析：原不等式可化为（x＋1）（x＋3）·（x－3）≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3. 如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过.由图可知不等式（x＋1）·（x2－9）≥0的解集为{x｜－3≤x≤－1或x≥3}. 8.（－∞，－4）∪（－4，－2） 　解析：方程＝1，则x＋2≠0，x≠－2， 即＝0， 所以x－（a＋2）＝0，x＝a＋2，又因为方程＝1的根均为负数， 所以所以a＜－2且a≠－4.所以实数a的取值范围是（－∞，－4）∪（－4，－2）. 9.解：（1）函数f（x）只有一个零点，则Δ＝0， 即（a＋2）2－4×2a＝0，（a－2）2＝0， 所以a＝2. （2）不等式x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－2）（x－a）≤0， ①当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}， ②当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}， ③当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}. 综上所述：当a＞2时，不等式的解集为{x｜2≤x≤a}， 当a＝2时，不等式的解集为{x｜x＝2}， 当a＜2时，不等式的解集为{x｜a≤x≤2}. 10.A　解得x∈（2，3），因为x∈（2，3）是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，故f（x）＝x2－3x＋a要满足：解得a≤0，故选A. 11.3　0　解析：因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，所以f（0）＝0.又因为f（－2）＝0，所以f（2）＝－f（－2）＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0. 12.解：（1）当a＝1，b＝6时，y＝x2＋4x＋3，令y＝0，则x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3， 所以此函数的零点是－1，－3. （2）依题意，不等式ax2＋（b－2）x＋3＞0的解集为{x｜－1＜x＜1}，则－1，1是方程ax2＋（b－2）x＋3＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得a＝－3，b＝2， 所以实数a，b的值分别为a＝－3，b＝2. （3）当b＝1－a时，不等式y－1＞0化为ax2－（a＋1）x＋2＞0， 依题意，不等式ax2－（a＋1）x＋2＞0在R上恒成立， 因为a≠0，则解得3－2＜a＜3＋2， 所以实数a的取值集合是{a｜3－2＜a＜3＋2}. 13.C　依题意，函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）的零点，即方程f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0的根， 由f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0得f（2x2＋1）＝－f（λ－x），因为f（x）是R上的奇函数， 从而有f（2x2＋1）＝f（x－λ），又f（x）是R上的单调函数，则有2x2＋1＝x－λ， 而函数y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，于是得2x2－x＋1＋λ＝0有两个相等实数解， 因此得Δ＝1－8（1＋λ）＝0，解得λ＝－，所以实数λ的值是－.故选C. 14.解：（1）当x＝0时，f（0）＝0； 当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋4x＋3）＝－x2－4x－3， 故f（x）＝ （2）在坐标系中，作出函数f（x）的图象. 当a＝0时，g（x）＝f（x）－a有5个零点； 当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g（x）有4个零点； 当a＝±1时，g（x）有3个零点； 当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g（x）有2个零点； 当a≤－3或a≥3时，g（x）有1个零点； 故a＝0时，g（x）＝f（x）－a零点的个数最多；a≤－3或a≥3时，零点的个数最少. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $