微专题 定理：平均值不等式与“1”的妙用教材解读与拓展 讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学平均值不等式（基本不等式）及“1”的妙用，先明确定理核心（正数算术平均数≥几何平均数，取等条件“一正、二定、三相等”），再讲解“1”代换技巧（将已知等式化为“1”并乘目标式构造定值），通过7类典型题型构建从原理到应用的学习支架。 特色是以“问题情境—方法提炼—分层应用”为主线，13道例题系统展示“1”代换变形策略（如常数构造、换元法），培养数学抽象能力（抽象定值关系）和逻辑推理能力（验证取等条件）。课中助力教师精准教学，课后学生可借解析版和练习题巩固，提升用数学语言解决问题的能力。

【原卷版】 微专题 定理：平均值不等式与“1”的妙用 沪教版高中数学的平均值不等式（基本不等式）规定：任意的两个正数、的算术平均数≥几何平均数，也就是，取等前提为：；解题必须遵守一正、二定、三相等，即变量为正数、和或积是定值、可以达成等号条件； 常规题型常缺少定值，这时便用到 “的代换” 技巧；先把题干已知的定值等式整理成整体等于；再将待求最值的式子整体乘上该 “”，展开多项式，拆分出乘积固定的两组正数项，套用均值不等式算出最值； 例如已知：，求解分式最小值时，所求式子乘“”展开配凑；做题时要检验取等条件能否同时成立；已知常数不为，可等式两边同除定值构造出；该方法能够快速构造定值，规避复杂配凑，是多元代数式求最值最常用的手段。 定理：平均值不等式与“1”的妙用的本质是：利用已知的等于1的等式，将目标式中的1整体替换为已知等式，从而进行“拼凑”与“化简”，以便运用平均值不等式或变式；用已知等式表示1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1；乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的1或可视为1的部分）替换成该表达式；变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。 一般适用以下几种题设或目标式； 1、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”问题；可以先将转化为，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 2、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”问题；可以先将转化为，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 3、形如：“已知：（为不等于0的常数）”，【注：满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型】，可以通过同除化为 （为不等于0的常数），然后再用平均值不等式求最值方法解之； 4、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型，可以通过凑配 ，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 5、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型，可以通过凑配 ，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 题型1、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值” 型 例1、若，且，则的最大值（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、设，，若，则的最小值为______. 题型2、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值” 型 例3、若正实数，满足，则的最小值为___________. 例4、已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型3、形如：“已知：（为不等于0的常数）”型 例5、若，且，则的最小值为（ ） A．6 B．9 C．4 D．8 例6、设，则的最小值为____________． 题型4、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型 例7、若正实数满足，则的最小值为______． 例8、已知，，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型5、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型 例9、已知且，则的最小值为_____________. 例10、已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 题型6、定理：平均值不等式“1”的妙用与恒成立问题的交汇 例11、正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例12、正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 题型7、定理：平均值不等式“1”的妙用与换元法的交汇 例13、已知，，则的最小值为______. 1、定理：平均值不等式与“1”的妙用“即：常数代换法”求解最值的基本步骤； （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为“1”的表达式； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用平均值不等式求解最值； 2、常数代换法求解最值应注意的问题 （1）条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； （2）已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； （3）利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．　　 1．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（ ） A．6 B．3 C．3 D．3 5．设正数满足，则的最小值为_____． 6．设，则的最小值为____________． 7．已知，，，则的最小值为 8．已知，，则的最小值为 9．已知，，，则的最小值为 10．已知，，且，则的最小值为 11．已知 （1）若，求的最小值及此时的值； （2）若，求的最小值及此时的值； （3）若，求的最小值及此时的值. 12．已知，，完成下列各题： （1）讨论与的大小关系； （2）若，求的最小值； （3）若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析版】 微专题 定理：平均值不等式与“1”的妙用 沪教版高中数学的平均值不等式（基本不等式）规定：任意的两个正数、的算术平均数≥几何平均数，也就是，取等前提为：；解题必须遵守一正、二定、三相等，即变量为正数、和或积是定值、可以达成等号条件； 常规题型常缺少定值，这时便用到 “的代换” 技巧；先把题干已知的定值等式整理成整体等于；再将待求最值的式子整体乘上该 “”，展开多项式，拆分出乘积固定的两组正数项，套用均值不等式算出最值； 例如已知：，求解分式最小值时，所求式子乘“”展开配凑；做题时要检验取等条件能否同时成立；已知常数不为，可等式两边同除定值构造出；该方法能够快速构造定值，规避复杂配凑，是多元代数式求最值最常用的手段。 定理：平均值不等式与“1”的妙用的本质是：利用已知的等于1的等式，将目标式中的1整体替换为已知等式，从而进行“拼凑”与“化简”，以便运用平均值不等式或变式；用已知等式表示1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1；乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的1或可视为1的部分）替换成该表达式；变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。 一般适用以下几种题设或目标式； 1、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”问题；可以先将转化为，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 2、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”问题；可以先将转化为，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 3、形如：“已知：（为不等于0的常数）”，【注：满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型】，可以通过同除化为 （为不等于0的常数），然后再用平均值不等式求最值方法解之； 4、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型，可以通过凑配 ，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 5、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型，可以通过凑配 ，然后再用平均值不等式求最值方法解之； 题型1、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值” 型 例1、若，且，则的最大值（ ） A． B． C． D． 【提示】根据题意，化简，结合平均值不等式，求得，进而得到答案； 【答案】A； 【解析】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A； 【说明】本题考查了“定理：平均值不等式” “1”的妙用求最值； 例2、设，，若，则的最小值为______. 【提示】由条件可得，然后可得，利用平均值不等式求解即可； 【答案】4； 【解析】因为，所以 所以 当且仅当，即时等号成立 故答案为：4； 【说明】本题考查了“定理：平均值不等式” “1”的妙用求最值； 题型2、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值” 型 例3、若正实数，满足，则的最小值为___________. 【提示】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件； 【答案】16； 【解析】由题设，， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为16. 故答案为：16； 【说明】本题考查了“定理：平均值不等式” “1”的妙用求最值； 例4、已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【提示】整理可得，利用乘“1”法结合平均值不等式运算求解； 【答案】D； 【解析】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式“1”的妙用求最值 题型3、形如：“已知：（为不等于0的常数）”型 例5、若，且，则的最小值为（ ） A．6 B．9 C．4 D．8 【提示】根据条件得到，然后将原式变形为，再利用平均值不等式求解出最小值； 【解析】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9， 故选：B. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式“1”的妙用求最值 例6、设，则的最小值为____________． 【提示】根据给定条件，利用平均值不等式“1”的妙用求出最小值； 【答案】4； 【解析】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 【说明】本题考查了定理：平均值不等式“1”的妙用求最值 题型4、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型 例7、若正实数满足，则的最小值为______． 【提示】由得，将转化为， 整理，利用基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】因为，所以. 所以 当且仅当，即：时，等号成立． 所以的最小值为. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求和与“1”妙用求最小值；同时考查了构造法及转化思想 例8、已知，，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【提示】由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解； 【答案】B； 【解析】因为，，，所以， 则， 当且仅当且，即时取等号， 故选：B. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值；其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力； 题型5、形如：“已知：（为不等于0的常数），求：的最值”型 例9、已知且，则的最小值为_____________. 【提示】依题意可得，利用乘“1”法及平均值不等式计算可得； 【答案】； 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求和的最小值、平均值不等式的应用、平均值不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值； 例10、已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【提示】根据平均值不等式“1”的妙用即可求解； 【答案】； 【解析】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 【说明】本题主要考查了定理：平均值不等式求和的最小值、平均值不等式“1”的妙用求最值； 题型6、定理：平均值不等式“1”的妙用与恒成立问题的交汇 例11、正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】利用平均值不等式求出的最小值16，将所求问题转化为对任意实数x恒成立的问题即可； 【答案】D； 【解析】因为，当且仅当时，等 号成立，故不等式对任意实数x恒成立，转化为 对任意实数x恒成立，又的最大值为6，所以. 故选：D. 【说明】本题考查了定理：平均值不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、平均值不等式“1”的妙用求最值；考查了利用平均值不等式求最值以及不等式恒成立求参数范围的问题，考查学生等价转化及运算能力； 例12、正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【提示】利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可； 【答案】A； 【解析】因为，, 所以，，且a,b为正数， 所以，， 当且仅当，即时，， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为，， 所以，， 故选：A 【说明】本题主要考查了恒成立问题，平均值不等式求最值，二次函数求最值； 题型7、定理：平均值不等式“1”的妙用与换元法的交汇 例13、已知，，则的最小值为______. 【提示】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值； 【答案】12； 【解析】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：12； 【说明】本题主要考查了定理：平均值不等式“1”的妙用与换元法的交汇求最值； 1、定理：平均值不等式与“1”的妙用“即：常数代换法”求解最值的基本步骤； （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为“1”的表达式； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用平均值不等式求解最值； 2、常数代换法求解最值应注意的问题 （1）条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； （2）已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； （3）利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．　　 1．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A； 【解析】由条件可知， 所以， 当且仅当，时取等号． 故选：A． 2．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】因为为正数，所以， ， 当且仅当，即时取等号, 由和解得，此时取得最小值. 故选：A 3．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 4．已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（ ） A．6 B．3 C．3 D．3 【答案】B； 【解析】由题意得，当且仅当，即时等号的成立的，所以的最小值为，故选B． 5．设正数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】由题设，， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 6．设，则的最小值为____________． 【答案】4 【解析】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 7．已知，，，则的最小值为 【答案】6； 【解析】因为，，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为6， 8．已知，，则的最小值为 【答案】4 【解析】由，， 当且仅当，即，时等号成立. 9．已知，，，则的最小值为 【答案】； 【解析】根据题意，， ∴，当且仅当且时等号成立， ∴的最小值为， 10．已知，，且，则的最小值为 【答案】； 【解析】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 11．已知 （1）若，求的最小值及此时的值； （2）若，求的最小值及此时的值； （3）若，求的最小值及此时的值. 【提示】（1）根据可得，然后根据基本不等式结合系数“1”的应用即可得到结果； （2）根据可得，然后根据基本不等式结合系数“1”的应用即可得到结果； （3）根据可得，然后结合基本不等式即可得到结果； 【答案】（1）最小值为1，此时 （2）最小值为，此时 （3）最小值为3，此时 【解析】（1）， 当且仅当时，等号成立，解得； 的最小值为1，此时 （2），即 当且仅当时，等号成立，解得； 的最小值为，此时； （3），由，可得 当且仅当时，取号 的最小值为3，此时 12．已知，，完成下列各题： （1）讨论与的大小关系； （2）若，求的最小值； （3）若，且恒成立，求实数λ的取值范围． 【提示】（1）根据题意，利用作差比较法，分，和，三种情况讨论，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）将原式变形为，两次运用基本不等式，即可求解； 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）； 【解析】（1）解：由， 因为，可得， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． （2）解：因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． （3）解：由 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 故实数λ的取值范围为. 第14页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $