湖南株洲市醴陵市第一中学2026届高三下学期一模检测数学试题

**基本信息** 融合《九章算术》文化传承与A系列纸张生活应用，梯度覆盖函数、立体几何等高考核心模块，适配高三一模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、等比数列、函数零点|第8题以刍甍模型考查空间几何体体积，体现数学眼光| |多选题|3/18|统计回归、三角函数图象、正方体动态问题|第9题结合广告收益数据，培养数据意识与推理能力| |填空题|3/15|向量投影、函数性质、球截面面积|第14题正方体与外接球综合，强化空间观念| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明、统计、双曲线、函数导数|第18题双曲线综合题含最值与定值证明，第19题导数应用考查逻辑推理，契合高考命题趋势|

绝密★启用前 醴陵市第一中学2026年高三下学期一模模检测试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 命题人：周倩 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数（）在内恰好存在4个，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．复印纸张按照幅面的规格分为系列，系列，系列，其中系列的幅面规格分为，所有规格的纸张的长度和幅宽的比例关系都为．将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，如此对开至规格．现有 纸各一张，若纸的幅宽为，则这张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．某公司给一款新产品投放广告，根据统计，投入单位：万元的广告费与该产品的收益单位：万元的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得到经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A．与的样本相关系数 B． C．当投入万元的广告费时，该产品的收益一定是万元 D．时，残差为 10．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．图象关于对称 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 11．如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（   ） A．若点是的中点，则 B．满足的点的轨迹长度为 C．若动点满足，则PM的最小值为 D．若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 13．已知函数满足，则______． 14．已知正方体的棱长为2，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若的周长为，面积为，求． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且，. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分）在某次书展上随机抽取100名观众，调查他们每个月的阅读时长（单位：），得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，）.    (1)若用分层抽样的方式从中随机抽取9人，则内应抽取多少人？ (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）. (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”，通过频率分布直方图，估计阅读时长至少为多少小时，才能被认定为“阅读王者”. 18．（17分）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，M为E上的动点，且M到两焦点的距离的差的绝对值为2． (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为和的直线，分别与E交于点G、H，求的最小值； (3)过点的直线交E于A、B两点，过点的直线交E于C、D两点，与交于点P，且与的斜率之积为．证明：与面积的乘积为定值． 19．（17分）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求实数a的取值范围； (3)令，证明：（）. 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A Q B A C c AB ACD 题号 11 答案 ACD 12. 12144)(12144 13’65和1365 13.x+1 13π13 14.66π asin AcosC+csin Acos A 15.(1)因为 s(4+ 由正弦定理可得mB =sin A(sin AcosC+sin Ccos A)=sin Asin B 又B∈(0，元，所以sinB0,则2咖44日 2 cos 4=sin ,得到tanA=V3, 又A∈(0，)，所以A= 31 A、 -besin4 bc=3 (2)由(1)知3，所以°2 4 ,得bc=4, 又因为 a+-2bccosA-6+-be=(b+e)-3be b4(+)-12 由△4BC的周长为25+6)】 所以d=[2(3+6)-a-12,整理得到241+2)-451+2)a=0, 解得42V5 16.(1) 证明：因为△PAB为正三角形，点M为PB的中点，所以PB⊥AM: 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB LAC,ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面PAB. 又PBC平面PAB,所以PB⊥AC 因为ACNAM=A,AC,AMc平面MAC, 所以PB⊥平面MAC. (2)如图，取AB的中点O,BC的中点，连接OP,O0 易知OP⊥AB,O0∥AC,则OB⊥O0,O2⊥平面PAB, 又OPC平面PAB,所以OP⊥OQ, 故以O为原点，OB,O0,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系0-， ZA 易知AB=4,则B(20,0）,P00,25),A(-2,00).c(-2,45,0）.D(5,35,0) PW=PD元∈[0，] 则V(-5,3v3,23-2v5) 故BN=(51-2,352,25-2V3) 由(1)可知PF=(2,0-23) 是平面MAC的一个法向量， PB·BN 故由题可知cos PB,.BW 12元-16=V30 PB BN 46422-42+168,又1e[0,l] 解得入= 2 0.004+x+0.02+0.008+0.002)×20=1 17.(1)由 ,得x=0.016 因为圆读时长在区间120,40)，[0,60)，[6@，80），[80,10,00,120l内的频幸分别为00s,032,040.016. 0.04. 所以阅读时长在区同40,60).[60,80)内的人数分别为32,40， 所以用分层拍样钓方式从[0则)中E机拍取人，0,6侧内应袖取号4人 (2)设闲读时长的平均数为由， x=0.08×30+0.32×50+0.40×70+0.16×90+0.04×110=65.2 则 即估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数为65.2h. (3)设阅读时长至少为h,才能被认定为“阅读王者”， 因为0.04+0.16=0.2>0.1,0.04<0.1， 所以100-)x0.008+0.04=0.1 ，解得少=92.5 所以估计阅读时长至少为92.5h,才能被认定为“阅读王者” 18()根据题意2a=2:a=1又e=2,所以c-2:则6=--5， a x2、y2 =1 所以双曲线方程为3 段.测8-苔=1.3 点线MG的方短为-水古红-小， x2_y =1 3 由 设G点坐标为 x,)则，xG是上述方程的解， ,则 25 V3） 3%-3 所以x+xG= ,整理得 8 _V3y%-5x 3 XG=- 4 直线Mm的方程为-%=吉-》. r'_y =1 3 c2小j-o 设H点坐标为 xH,yH） ,则 ,H是上述方程的解， 23.3. 所以，+x4=- 3%+ 3 8 整理得 3 5%-5水 4 。-n=5%56-5,-5-5 4 4 水，同理+= Γ2， %%%-方0+w9+小25()2-2 2古 所以=x+0-wP-=+子。 又云-号1，即对=城-3 所以lo-0-+6=听-. 因为≥1，所以GH≥9-927 4=4，x=1时取等号， 273V3 所以G4-2, H B D (3)由山得(-2,0,52,0，设P(,）, 6ks=A2五2=3 则 +2x-2,化简得3x-片=12， 所以P在双曲线 3x2-y2=12 上， So-Sc2P4 PDsinA∠PD-sin.∠BrPC 直线服，CD(即凸)相交于点P,则∠APD与∠C互补（或是对顶角） 所以sin∠APD=sin∠BPC,设直线与的夹角是9，则sim∠MPD=sin∠BPC=sin9, 所以SnSx=PCPDsin20, x=-2+icosa 直线过(-2,0)，设直线的参数方程为y=tsina,其中t为参数，表示点F到对应点的有向距离，设 A,B,P aslBlp 对应参数分别为 x=-2+tcosa 把y=tsina代入双曲线方程3x2-y2=3得3(-2+tcosa)2-(tsin a)2=3, (3cos2 a-sin2a)t2-12tcosa+9=0 化简得 12cosa 9 所以4+a3cosa-9im2a,'4a3cosa-sina' P,)在直线1上，1，=2=6+2 cosa cosa' PAlPB=r-tallir-tal=(tp-1)(ip-in)=Gi-(t+im)ir+tta =5+2_6+2.12cosa 9 cosacosa 3cos2 a-sin2a 3cos2a-sin2a (xo+2)2(3cos2a-sin2 a)-12(xo+2)cos2a+9cos2a cos2 a(3cos2a-sin2a) (x+2)2(4c0s2a-1)-12(x+2)cos2a+9cos2a cos2a(4cos2a-1) =2x,+cos2a-+2y2 cos2 a(4cos2a-1), 又心o%)满足3戏-坊=12：6=3-12云-4=兰， 3 级在2ma am2a=片。=3x-12-3-2) (x+2)2(x+2)+2, 1 1 +2 osa-+ma143624k-0. 0+2 2x+y.无+2-6+2y 所以PAPB= (2x+1)2cos2a-(+22 4(x-1) cos2 a(4cos2a-1) +2卤+2-0 =3x-1, 4(x-1)x-1 同理可得PCPD=3%+1 所以P4 PRPCPD=3-3k+1=9l- 直线马的斜率为+2，直线马的斜率为。-2，kk2=3, m---” 3 3 3)2 sin20=tan'o tan20 yo 9 9 3 1 1+tan20 3 )2 片+93x6-12+9x场-1， cos20 1+ Yo) w成e4网np0-K--号 所以 19.解：由西数)=+血1+)，可得其定义域为-L四)， 且/倒-h+动0+文h+. 令（四=0.即n(1++1=0,解得x=1, e 当1<x<。1时，因)<0，因在-。》上单调遥减 当>。1时，了>0，了问在日+四)上单调道增。 所以面数付在x。1处取得极小值。 E/-D=(-1+DIm(-1+D)-1--1 eee 所以函数f(x)的极小值为。，无极大值 (2)解：由f)58)对任意(1+切)恒成立， 即++≤+-aK-0对任查xe(仁+切)福成立， 即+h+小-1-a)x+a≤0对任盒el+o)恒成立， 即+儿a(++网s0对任意x∈L+o)恒成立， 因为(o),可得l+x>0,所以n+x+a≤0对任意e-Lo)恒成立， 令A-h0+rae1+o,可得到-中：1= 1+x, x=0,解得x=0 令(x)=0,即1+ 当1<x<0时，()>0，在1,0)上单调递增： 当>0时，)k0,)在0+四)上单调适减。 则)在=0处取得极大值，也时最大值，且0)=h0+0)-0+a=a, 因为(1+)-x+a≤0对任忘r∈仁切)恒成立， 可符（≤0，即a≤0，所以实数4的取值范国为m,0 (3)解：由(2)知，当a=0时，n+)-x≤0，即+)≤x对任意∈(1o)恒成立， 1 令x=.则n0+s写 5”, na1+lna2+lna3+…+lhan=n(aa2a3…an) 又由 因为ha-+行，可得haa4)s兮+与++行 令b.=5,可得数列{私，}构成首项为6=5，公比9=5的等比数列， 可得55+5+…+ 山0安m以a 5 又因为y=lhx在(0，+oo)上为单调递增函数，可得aa,4…a,<e4, 所以对于任意neN,总有aa2a…an<e4成立