湖南常德市石门县第一中学2026届高三第一次模拟考试数学试卷

**基本信息** 试卷以核心素养为导向，覆盖函数、几何、统计等模块，解答题融合统计与概率、抛物线切线交汇及创新轮换式问题，层次分明适配一模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|向量充要条件、集合真子集等|基础题考查抽象能力与运算能力| |选择题（多选）|3/18|复数性质、三角函数图像等|中档题需推理分析，体现逻辑思维| |填空题|3/15|等差数列求和、向量最值等|注重空间观念与数据意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何二面角、统计与概率、抛物线切线、轮换式证明|综合题层次递进，统计题结合频率分布直方图与分布列，轮换式问题创新考查数学抽象与证明能力|

石门一中2026届高三第一次模拟考试数学试卷 命题人 舒娅 审题人 潘君君 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 1. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 集合 的真子集的个数为 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 若函数 ,则 A. B. C. D. 4. 已知变量 和 有较强的线性相关关系,根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则 2 3 5 6 5 7 9 15 A. 经验回归直线必过点 B. C. 对应的样本点的残差为 -0.4 D. 当 时,预测值 5. 将 5 个互不相同的球全部放入 3 个彼此不同的盒子中，每个盒子至少 1 个球，则不同的放球方法共有 A. 36 种 B. 72 种 C. 108 种 D. 150 种 6. 已知函数 在 上单调递减,则 的最小值是 A. B. 2 C. D. 5 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与椭圆交于 两点,与 轴交于点 ,若 ,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8. 已知正方体 的棱长为 2,点 分别是正方形 和 的中心,过 的平面 与直线 垂直,则平面 截正方体 所得的截面周长为 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 9. 已知复数 ,且 ,则 A. 是纯虚数 B. C. 若 ,则 D. 若 ,则 是实数 10. 若函数 的部分图象如右图所示,且 ,则 A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ,则 A. 直线 斜率的取值范围是 B. 当直线 过原点时, 的面积为 C. 若 ,则 D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 记等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____. 13. 在等边三角形 中, ,点 在边 上,且满足 ,点 是边 (包括端点)上的一个动点，则 的最小值为_____. 14. 某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动,该学校准备了 个相同的箱子,其中第 个箱子中有 个数学题, 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子, 依次抽取三个题目(每次取出不放回)，若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 四、解答题 15．记的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 16．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)证明：； (2)若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 17．为了普及足球知识，某市开展了“湘超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)当成绩不低于80分的学生被评为“湘超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“湘超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； (3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“湘超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“湘超达人”的概率. 18．已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 19．若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. (1)若正实数x，y满足，且，求的值； (2)若代数式为二元轮换式，求证：； (3)若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门县第一中2025-2026学年高三下学期一模数学试卷答案 一、选择题： ACCD DBDA 二、选择题 ： 9. AD 10.ABD 11.ACD 三、填空题 ： 12. 40 13.2 14.50 15．(1)(2) 【详解】（1）由可得，所以， 因为，则，故，解得. （2）由及正弦定理得， 因为、，所以，，可得，故. 所以，所以，由勾股定理可得，即，解得，故，因此，的周长为. 16．(1)证明见解析(2)点在棱靠近点的三等分点处. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是的中点，所以， 所以平面，平面，所以； （2）由条件可知，，所以， 又因为，所以是等边三角形，， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，令，，， 所以平面的法向量为，平面的法向量为， ，解得：，所以点在棱靠近点的三等分点处. 17．(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3) 【详解】（1）由频率分布直方图，这组数据的平均值为 （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“湘超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“湘超达人”的概率为； 易知，所以，， ，. 所以X的分布列为 X的数学期望是. （3）由三校学生在活动中“湘超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“湘超达人”中随机抽选一人，则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是.已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，这名学生是“湘超达人”的概率为. 18．(1)(2)证明见解析(3)， 【详解】（1）抛物线的准线方程为，由题意可知，准线方程为，即，解得，因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且，联立直线方程和抛物线方程可得，化简可得， 根据韦达定理可得，，对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. （3）， ， 因此，设点到直线的距离为，，的方程为，，因此，因为，所以当时，取到最小值1，因此的最小值为，此时直线的方程为. 19．(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）由于及，，即，故． （2）由于为二元轮换式，即，故． 构造函数，，故时，，单调递减， 时，，单调递增．不妨设，由于，，故． 由于，故．要证，只需证， 只需证，化简得， 只需证，构造函数，． ．故在上单调递增，故， 即，故得证． （3）原不等式为由于时不等式成立，故时不等式也成立．令，，，左端，右端， 由必要性，故最大整数可取．下证时，不等式成立． 记．由于S是三元轮换式，不妨设，令，，则且，， 代入得．若，则；若，令，则由得，从而 ．令，则上式化为，， 时，，，故， 时，，故 ，综上，时，， 故，故不等式得证，易得时取到等号． 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $