精品解析：湖南常德市石门县第一中学2026届高三第一次模拟考试数学试题

石门一中2026届高三第一次模拟考试数学试卷 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 1. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行的坐标表示得出的方程，求解的值，再分别判断充分性和必要性是否成立，从而确定与的条件关系. 【详解】 若平面向量，，则等价于， 又因为 ， 所以 ， 化简可得：，解得或. 若，则一定满足，充分性成立， 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，选A. 2. 集合 的真子集的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 3. 已知函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由的解析式对其求导可得，令可得：，可解得的值，即可得函数的解析式，进一步可判断各个选项. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 4. 已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（ ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A. 经验回归直线必过点 B. C. 对应的样本点的残差为 D. 当时，预测值 【答案】D 【解析】 【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D. 【详解】由题意得：， 所以经验回归直线必过点，故A错误； 由，故B错误； 所以，当时，， 所以对应的样本点的残差为，故C错误； 当时，，故D正确. 5. 将5个互不相同的球全部放入3个彼此不同的盒子中，每个盒子至少1个球，则不同的放球方法共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，将5个不同的球按照（3，1，1）和（2，2，1）的方式分组，求出分组的方法种数，然后再全排列即可. 【详解】若每个盒子中球的个数分别为2、2、1，则有 种分法， 再把这3组分别放入3个盒子中，有 种方法，共有 种方法， 若每个盒子中球的个数分别为3、1、1，则有种分法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 种方法，共有种方法，总共有 种方法. 6. 已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设得 ，进而得，利用椭圆的定义得，又，由，利用二倍角的余弦公式得，最后由离心率的公式即可求解. 【详解】设，由，所以 ， 所以 ，， 所以 ，所以， 又，所以 ， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 8. 已知正方体 的棱长为 2，点 分别是正方形 和 的中心，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面周长即可. 【详解】正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，    侧面的中心，侧面的中心，且，则， 显然点M在平面与平面的交线上， 设为这条交线上任意一点，则， 而平面，则，即， 令，得点，令，得点， 连，平面与平面必相交， 设为这条交线上任意一点，则， 由，即， 令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点，与直线平行， 过作交于，则， 由得，即， 显然平面与平面都相交，则平面与直线相交， 令交点为，，由 得， 连接 得截面五边形 ， 则， 所以截面五边形 的周长为. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 9. 已知复数 ，且 ，则（ ） A. 是纯虚数 B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 是实数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据共轭复数、复数模、复数方程几何意义对各选项进行判断. 【详解】在A选项中，的共轭复数为， 则： ，  已知，该复数实部为0、虚部不为0，符合纯虚数定义，A正确， 在B选项中，算得： ， ， 若二者相等，需要满足且， 即推出，与题设矛盾，B错误， 在C选项中， 即 ， 整理得 ，满足该方程的有无数组， 对应有无数种可能，不只有 ，C错误， 在D选项中，若 ，则 ， 因此，则： ，， 因此结果为实数，D正确. 10. 若函数 的部分图象如右图所示，且，则（ ） A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题得得即可判断A，再由定义域得，进而判断B，由结合诱导公式即可求得进而判断D，计算结合诱导公式即可判断C. 【详解】由题意得：，故A正确； 由 ，所以 ，又 ， 当时，， 所以，所以， 所以 是 的一个对称中心，故B正确； 又 ， 所以，故D正确； 所以， 所以， 又， 所以 ，故C错误. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（ ） A. 直线 斜率的取值范围是 B. 当直线 过原点时， 的面积为 C. 若 ，则 D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据双曲线性质确定基本参数，再结合直线方程与双曲线方程联立，几何性质、定义等知识逐一分析各选项. 【详解】因为双曲线 ，所以 ，焦点  ， 渐近线斜率，离心率，在A选项中，设直线 ， 联立双曲线得： ，  故 , 故，而直线与双曲线左、右支各有一个交点， 故 ,故 ，所以，A正确， 在B选项中，当直线过原点时，斜率，则直线，代入双曲线得：  ，则，面积，B错误， 在C选项中，设，满足，设​， 则：，​​ 由二倍角公式： ，  又  ，故 ， C正确， 在D选项中，因为直线的斜率为，且过点 ，则直线方程为， 因为 ，所以它们的中点坐标为 ， 斜率，与直线的斜率乘积为， 故直线是的垂直平分线，因此直线上任意点到和的距离相等， 即 ，由双曲线定义可得：在左支 ， 在右支 ，故 ， 因此 ，D正确. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 【答案】40 【解析】 【详解】在等差数列中，若，则， 由，可得 ， 根据等差数列求和公式可得： . 13. 在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】先通过向量加法法则用、和参数表示与，再根据向量数量积分配律展开并结合已知条件得到关于的二次函数，最后利用二次函数性质求出最小值. 【详解】为上一点，设，， ，， ， 根据二次函数性质，当时， . 14. 某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 【答案】50 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合每个箱子中第三次抽到物理题的概率，求出第三次抽取的题目恰为物理题的概率表达式，再根据已知概率值求解. 【详解】设表示“选到第个箱子” ，则， 设表示“第三次抽取得题目恰为物理题”，则， 不放回抽样中，每次抽到物理题的概率与抽样顺序无关， 因此第个箱子中第三次抽到物理题的概率为： ，由全概率公式可得： ， ， 即，求解可得：. 四、解答题 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理以及二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角，进而可得出为直角，可得出，结合勾股定理求出、的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 由可得，所以， 因为，则，故，解得. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 因为、，所以，，可得，故. 所以，所以， 由勾股定理可得，即，解得，故， 因此，的周长为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）点在棱靠近点的三等分点处. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判断线面垂直，得到线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法表示二面角，即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是的中点，所以， 所以平面，平面， 所以； 【小问2详解】 由条件可知，，所以， 又因为，所以是等边三角形，， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，令，，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， ，解得：， 所以点在棱靠近点的三等分点处. 17. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】（1）分 （2）分布列见解析，数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，这组数据的平均值为： (分)； 【小问2详解】 以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. 【小问3详解】 由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人， 则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是. 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 18. 已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：点T在定直线上； （3）在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. 【小问3详解】 ， ， 因此， 设点到直线的距离为，，的方程为， ， 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. （1）若正实数x，y满足，且，求的值； （2）若代数式为二元轮换式，求证：； （3）若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入． （2）根据轮换式条件，可得．这是极值点偏移问题，首先构造函数，分析 单调性，然后利用该函数单调性转化不等式，简化为一个变量，最后求导证明不等式． （3）首先代入特殊值，得到范围，得到的最大整数值，然后再证明不等式成立． 【小问1详解】 由于及，，即，故． 【小问2详解】 由于为二元轮换式，即，故． 构造函数，， 故时，，单调递减， 时，，单调递增． 不妨设，由于，，故． 由于，故． 要证，只需证， 只需证， 化简得， 只需证， 构造函数，． ． 故在上单调递增，故， 即，故得证． 【小问3详解】 原不等式为 由于时不等式成立，故时不等式也成立． 令，，，左端，右端， 由必要性，故最大整数可取． 下证时，不等式成立． 记． 由于S是三元轮换式，不妨设， 令，，则且，， 代入得． 若，则；若，令， 则由得，从而 ． 令，则上式化为， ， 时，，，故， 时，，故 ，综上，时，， 故，故不等式得证，易得时取到等号． 【点睛】方法归纳：小问2是经典的极值点偏移问题，可以使用对数均值不等式证明，也可按照 小问2详解思路证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门一中2026届高三第一次模拟考试数学试卷 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 1. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 集合 的真子集的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 已知函数，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（ ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A. 经验回归直线必过点 B. C. 对应的样本点的残差为 D. 当时，预测值 5. 将5个互不相同的球全部放入3个彼此不同的盒子中，每个盒子至少1个球，则不同的放球方法共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 108种 D. 150种 6. 已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 5 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体 的棱长为 2，点 分别是正方形 和 的中心，过 的平面 与直线 垂直，则平面 截正方体 所得的截面周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 9. 已知复数 ，且 ，则（ ） A. 是纯虚数 B. C. 若 ，则 D. 若 ，则 是实数 10. 若函数 的部分图象如右图所示，且，则（ ） A. B. 是 的一个对称中心 C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，则（ ） A. 直线 斜率的取值范围是 B. 当直线 过原点时， 的面积为 C. 若 ，则 D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____. 13. 在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 14. 某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 四、解答题 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，若二面角的大小为，判断E点的位置. 17. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 18. 已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. （1）求抛物线C的标准方程； （2）证明：点T在定直线上； （3）在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 19. 若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式， 记；若三元代数式满足，则称代数式 为三元轮换式，，. （1）若正实数x，y满足，且，求的值； （2）若代数式为二元轮换式，求证：； （3）若对任意的正实数x，y，z均有，求整数m的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $