江苏省兴化中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学模拟练习卷

**基本信息** 高三开学数学试卷注重基础巩固与创新应用结合，解三角形考查面积最值（基础）、新定义数列探究无穷项性质（创新），梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数实部、集合运算、正态分布等|基础概念辨析，如圆柱外接球表面积计算| |多选|3/18|统计数据特征、抛物线与圆综合|多选项分层，如统计题结合极差与方差分析| |填空|3/15|分配问题、椭圆定义、函数极值零点|情境简洁，如5本练习册分配考查计数原理| |解答题|5/77|解三角形、数列求和、函数导数、双曲线、新定义数列|综合性强，函数导数证明极值点关系（数学思维）、双曲线定点平分角（数学眼光）|

2026-2027学年高三（上）开学考试试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.若复数，则的实部为 A. B. C. D. 2.设全集，集合，集合，则 A. B. C. D. 3.已知随机变量，且，则 A. B. C. 7 D. 8 4.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球表面积是圆柱侧面积的 A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5.正项等比数列满足，则 A. B. C. D. 6.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 7.定义平面向量 “反射变换”：若入射向量，关于直线反射后的向量。设向量，是经反射变换得到的向量，若向量满足，则的最大值为 A. B. C. D. 8.袋中有 3 个外观相同的盒子，第个盒子装有 1 个黑球、个白球。从每个盒子各取一球，记取出黑球的个数为，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分。 9.统计某门店一周内每日线下到店人数：，下列结论正确的是 A. 该组数据极差为 B. 该组数据平均数等于 C. 该组数据中位数为 D. 去掉最大值后，方差变小 10.已知点在抛物线上，圆与抛物线恰有两个公共点，则 A. B. 若在圆上，则 C. D. 若在圆上，则 11.定义在上的奇函数满足：时,；且，均为奇函数，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 对任意恒成立 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.现有 5 本不同的练习册全部分给甲、乙两名同学，要求每人至少分到 1 本练习册，则不同的分配方法共有_____种。 13. 椭圆左右焦点，为椭圆上动点，延长至使，为中点，且则4______。 14. 函数，恰好有 2 个极值点、3 个零点，则的取值范围为______。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 内角对边，已知。 (1) 求角； (2) 若，面积最大值为，求。 16.（15 分） 已知等差数列公差，等比数列公比，，，。 (1) 求通项公式； (2) 设，求前项和； (3) 若对任意，恒成立，求实数最大值。 17.（ 15 分） 已知函数。 (1) 若存在两个极值点，求证：； (2) 若，且恒成立，求整数的最小值。 18.（17 分） 双曲线左顶点，为双曲线右支第一象限点，关于轴对称。 (1) 若，求面积； (2) 设，直线交于点。 (ⅰ) 用表示点横坐标； (ⅱ) 证明：存在定点，使得始终平分。 19.（17 分） 设数列各项为正整数，对正整数，定义集合 (1) ，数列仅 4 项且，直接写出集合； (2) 若（为给定正整数），存在使得，求正整数； (3) 若数列有无穷多项，且对任意，均有。 (ⅰ) 求证：； (ⅱ) 求前项和。 参考答案与解析 一、单项选择题 1.答案：C 解析： 共轭复数，复数实部为，故实部为。 2.答案：A 解析：全集 解不等式，正整数解 补集， 交集，答案选 A。 3.答案：D 解析：，正态曲线关于对称，故。 由，得。 ，所以，答案选D。 4.答案：D 解析：设圆柱底面半径，轴截面为正方形，则高。 外接球直径等于轴截面对角线：。 球表面积： 圆柱侧面积： 比值，答案选 D。 5.答案：B 解析：正项等比数列：，条件。设公比，，代入得： ，故答案选B。 6.答案：C 解析：平面，，三条两两垂直线段，可将三棱锥补形为长方体：即以为长宽高构造长方体，三棱锥的外接球与长方体外接球完全相同。 所以， 求得 所以，，答案选 C。 7.答案：A 解析：反射变换：，。 数量积公式：，为两向量夹角。 ，，。 最大值：，答案选 A。 8.答案：B 解析：记第个盒子中取出黑球的概率为第个盒子中取出白球的概率为。 盒 1：；盒 2：；盒 3：。 取值分、四类： 所以，答案选B。 二、多项选择题 9.答案：ACD 解析：数据排序：，共 7 个数据。 A：极差，正确； B：平均数，错误； C：7 个数中位数为第 4 项，正确； D：最大值偏离均值最远，去掉后数据离散程度降低，方差变小，正确。 10.答案：ABD 解析： A：代入抛物线得，A 正确； B：将代入圆方程：， 因为，我们来研究上半部分，则有，求导，得 时,抛物线斜率为， 所以，此时斜率为， 由于,所以，圆心,B和D正确； C：根据选项B的求解过程可以发现：可以小于，C 错误； 11.答案：BC 解析： 推导核心性质： 为奇函数：； 为奇函数； 为奇函数； 时。 A：因为， 所以， ,选项A错误； B：因为，， 所以，, 又因为时，故 取则有 取则有 所以，选项B正确； C： ，选项C正确。 D：举反例，取，，不等式不恒成立，选项D错误； 三、填空题 12.答案：30 解析： 方法 1：排除法 每本书 2 种分配选择，总分配方式种； 减去全给甲、全给乙 2 种不符合条件的分法：。 方法 2：分类组合。 13. 答案： 解析：椭圆，根据定义。 。 分别为中点，是中位线：。 所以，。 14. 答案： 解析：令，。 恰好 2个极值点、3 个零点，结合正弦函数图像临界点列不等式： 化简：。 四、解答题 15.（13 分） (1) 求 由正弦定理，代入条件： ，约去得，。 ，故。 (2) 求 面积公式：。 ，均值不等式，等号当且仅当。 余弦定理： ，故。 16.（15 分） (1) 求通项 ，，条件 代入得，，。 (2) 错位相减求 两式相减： 等比数列求和，代入整理、有理化分母即可得到显式表达式。 (3) 恒成立求最大值 ，故严格单调递增，最小值。 对所有恒成立，故。 17.（15 分） 函数，定义域。 (1) 求证：若有两个极值点，则 有两个极值点，等价于方程有两个不等正根： 令，则与图像有两个交点，横坐标为，不妨设。 由根满足方程： 两式变形： 相加： 相减： 将 (2) 代入 (1)： 令，则，代入上式： 目标证 即只需证明：时，。 令，求导： ，分母恒正；分子在时为正，为负。 ；时；在递减，递增。 计算极小值，故时恒成立。 命题得证。 (2) ，对恒成立，求整数最小值 。 令，问题转化为求，大于等于最大值。 当：，单调递增； 当：，单调递减。 时取极大值，也是全局最大值： ，题目约束，满足条件的整数最小为。 验证： 时，，令，，，故，时，满足恒成立。 18.（17 分） 双曲线，，左顶点。 (1) 求面积 ，。 代入双曲线：，第一象限。 底，高。 (2)(ⅰ) 求横坐标 直线；直线。 交点同时满足两式，约去： 交叉相乘整理，解出： (ⅱ) 证明存在定点使平分 角平分线判定：直线平分等价于倒角公式： 设，代入坐标化简，令等式对任意恒成立，多项式系数全为 0，解得定点。 将代入到角公式验证，对任意第一象限点，交点均满足角平分条件，故存在这样的定点。 19.（17 分） 定义：，数列各项为正整数。 (1) ，，数列 ：，，不等； ：，，不等； ：，无定义； 故。 (2) ，存在，求 条件，整理： 等式左侧含变量，右侧为常数，仅当系数即时等式有解： 。 (3) 无穷数列，，即。 (ⅰ) 反证法证明 假设： ① ，，数列严格递增； ② ，，严格递增数列，迭代后数值无限膨胀，无法满足无穷递推自洽； 假设矛盾，故。 (ⅱ) 求前项和 ，时； 数列严格递增，唯一满足无穷正整数递推的通项为（取时恒成立）。 自然数列前项和： 学科网（北京）股份有限公司 $