2026-2027学年 人教版数学八年级上册 几何全等模型分类

**基本信息** 以七大全等模型为核心，通过"模型解析-例题示范-分层训练"体系，系统培养几何直观与推理能力，实现从模型识别到综合应用的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线模型|15题|对称构造、垂线辅助|从角平分线性质延伸至对称全等，结合梯形、四边形综合应用| |一线三等角模型|14题|三垂直构造、AAS全等|从直角到一般角的模型迁移，渗透坐标几何应用| |手拉手模型|18题|SAS全等、旋转思想|以等边/等腰直角三角形为载体，强化图形变换意识| |倍长中线模型|15题|中线倍长、8字全等|围绕中点性质，构建线段和差关系的转化方法| |半角+对角互补模型|10题|旋转法、三点共线证明|整合半角与互补条件，培养复杂图形分解能力| |角平分线+对角互补模型|5题|双垂直构造、截长补短|综合角平分线与四边形对角互补的性质应用| |截长补短思想|13题|线段截取与延长、全等转化|贯穿各模型的通用思想，强化线段关系证明策略|

八年级上学期（人教版） 全等三角形模型 100题 教师版 目 录 一、角平分线模型（作对称） 3 二、一线三等角模型 9 三、手拉手模型 20 四、倍长中线模型 30 五、半角+对角互补模型（作旋转） 44 六、角平分线+对角互补模型（作垂直） 54 七、截长补短思想 59 一、角平分线模型（作对称） 【几何模型】 1．角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个△翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直） 基本图形： 2．角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。 基本图形： 【例题讲解】 1．如图，已知平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵ 则， ， ， ， ∵， ∴ ∵平分 ∴， ∵ ， ∴ 故答案为：D． 2．如图，，平分，，，则_____． 【答案】4 【详解】解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△BED中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS）， ∴DE＝AD，∠BED＝∠A， 又∵∠A＝2∠C， ∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴EC＝AD， ∴BC＝BE+EC＝AB+AD， ∵BC＝10，AB＝6， ∴AD＝10﹣6＝4； 故答案为：4． 3．如图，在四边形中，，若平分，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】解：在上截取，使，连接，     是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ． 4．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见解析. 【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【课堂练习】 5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 【答案】见解析 【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAF， ∵在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED，（SAS） ∴AF＝AD，∠AFE＝∠D， ∵AD∥BC， ∴∠D＋∠C＝180°， ∵∠AFE＋∠BFE＝180° ∴∠C＝∠BFE， ∵BE平分∠BAD， ∴∠FBE＝∠C， ∵在△BEC和△BEF中， ， ∴△BEC≌△BEF，（AAS） ∴BF＝BC， ∵AB＝AF＋BF， ∴AB＝AD＋BC， 即AD＝AB﹣BC． 6．如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）8cm. 【详解】 （1）证明：过点E分别作于F， ∴∠DFE=∠AFE=90°． ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°． ∴CB⊥AB，CB⊥CD． ∵DE平分∠ADC． ∴∠EDC=∠EDF，CE=EF． ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴BE=EF． 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴∠EAB=∠EAF， ∴AE是∠DAB的平分线； （2）解：∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线， ， ，， ∵∠C=90° ∴  ， ， . 故答案为（1）详见解析；（2）8cm. 7．如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中，， ， ， ． 8．如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    9．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______． 【答案】40° 【详解】解：过点P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如图： 设∠PCD=x， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN， ∴∠ACD=2x， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN， ∵∠BPC＝50°， ∴∠ABP=∠PBC=， ∴, ∴， ∴， 在Rt△APF和Rt△APM中， ∵PF=PM，AP为公共边， ∴Rt△APF≌Rt△APM（HL）， ∴∠FAP=∠CAP， ∴； 故答案为：40°； 10．已知：在中，作交于点，若，则求的度数． 【答案】 【详解】解：延长CG交AB于点E． AG平分，于， ，， ， 【强化训练】 11．如图，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE. 【答案】详见解析 【详解】延长BO，AE并交于F， ∵BD平分∠ABO，AF⊥BD， ∴∠1=∠2，∠AEB=∠FEB=90°， 在△ABE和△FBE中 ， ∴△ABE≌△FBE， ∴AE=EF， ∵∠AOB=90゜，∠AED=90°，∠ADE=∠BDO， ∴∠2=∠OAF， ∵∠AOB=90°， ∴∠DOB=∠FOA=90°， ∴在△OBD和△OAF中 ， ∴△OBD≌△OAF， ∴BD=AF， ∵AE=EF， ∴BD=2AE． 12．如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD， 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD=MD，∠ADF=∠ADM， ∵BD=DF， ∴BD=MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴ME=BE， ∵AF=AM，且AF=1.4， ∴AM=1.4， ∵AB=7.4， ∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6， ∴BE＝BM＝3， 即BE的长为3． 15．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 16．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 二、一线三等角模型 【几何模型】 （1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 同侧 两侧 模型一：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC ∴∠CEB=∠ADB=∠ABC =90° ∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 在∆ABD和∆BCE中， ∠1=∠3 ∠CEB=∠ADB =90° ∴∆ABD≌∆BCE（AAS） ∴AD=BE,EC=BD AB=BC 则DE=BE+BD= AD+ EC 模型二：如图AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 证明：∵CE⊥DE，AD⊥DE，AB⊥BC ∴∠CEB=∠ADB=∠ABC =90° ∴∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90° ∴∠A=∠CBE 在∆ABD和∆BCE中， ∠A=∠CBE ∠CEB=∠ADB =90° ∴∆ABD≌∆BCE（AAS） ∴AD=BE,EC=BD AB=BC 则DE=BE-BD= AD- EC （2）三垂直模型： 图1，已知∠AOC =∠ADB=∠CED=90°，AB=DC，得∆ADB≌∆DEC 图2，延长DE交AC于点F，已知∠DBE =∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE，得∆ABC≌∆DBE 图1 图2 （3）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 证明：以右图为例 ∵∠ACP+∠A+∠CPA=180°， ∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠α ∴∠ACP=∠DPB 又∵CP=PD ∴∆ACP≌∆BPD（AAS） 【例题讲解】 17．如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．    【答案】7 【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠CFA=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°． ∴∠EBA=∠CAF． 在△AEB和△CFA中 ∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△AEB≌△CFA． ∴AE=CF，BE=AF． ∴AE+AF=BE+CF． ∴EF=BE+CF． ∵， ∴； 故答案为：7． 18．如图，为等腰直角三角形，于点与交于点，若，则______；若，则______．    【答案】 115 5 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，5． 19．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 __________ ． 【答案】 【详解】解：作轴于点，作轴于点，如图所示， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为． 20．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为___________．    【答案】16 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 21．如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于______． 【答案】 【详解】解：且，， ， ， ， ，， ， 同理可证， ，， ， ， 故答案为：． 22．如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴，． 又∵，∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 23．如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【课堂练习】 24．（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 25．（1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【详解】证明：（1）如图1，（图2证明略） ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）如图3，过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H， ，， ，， ，x轴y轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 同理可证， ，， ， ， ，， 轴， ，， ； 故答案为：，，2； 解：（3）如图4，过点E作轴于G， 由（1）知， ，， ，轴，， 在和中，， ， ． 26．通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 27．综合与实践 在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足 (1)如图1，当时，猜想线段、、之间满足的数量关系，并进行证明； (2)如图2，当 时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行证明； (3)如图3，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是，请求出△与△的面积之和． 【详解】(1)解：， ， ， ， ， ，， 则． (2)解：仍然成立， 理由：， ， ， ， ， ，， ； （3）解：同（2）可得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， 即 ， 【强化训练】 28．如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵的垂直平分线交线段、于点、， ∴． ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 29．（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 30．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 31．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，则= ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，交延长于点N， ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上， ∵， 设， 由（1）得，则. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 当点D在线段的延长线上，过点E作，交的延长线于点N， ∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上， 由图2得， ∴不可能，舍去. 综上所述，的值为或. 故答案为：或. 三、手拉手模型 【几何模型】 手拉手模型条件：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） → BC=(左拉左=右拉右) 结论2：（利用三角形八字导角可得） 结论3：AO平分O（利用全等三角形的对应高相等，再利用角平分线性质可证明） 【例题讲解】 32．如图，在等边三角形中，点在的延长线上，以为边在射线的右侧作等边三角形，连接，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵△PAD和△ABC是等边三角形， ∴AP=AD，AC=AB，∠PAD=∠BAC=60°． ∴∠PAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠PAC=∠DAB． ∴△PAC≌△DAB（SAS）． ∴CP=BD． 33．如图，∠1=∠2，AD=AE，∠B=∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上．若∠B=60°，求证：CE=AC+CD． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵∠1=∠2 ∴∠1＋∠CAD=∠2＋∠CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE ∴AB=AC，CE=BD=BC＋CD ∵∠B=60°， ∴△ABC为等边三角形 ∴BC=AC ∴CE=AC+CD． 34．如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 35．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°． 【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 36．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 【课堂练习】 38．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【答案】6 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 39．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=4，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）8 【详解】（1）△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°， , 在与中， ， ； （2）是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，，, ， ， 则在中，， ． 40．如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 41．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50° ，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】∵DAB=CAE ∴DAB+BAC=CAE+BAC ∴DAC=EAB ∵AB=AD，AC=AE ∴△ADC≌△ABE ∴CD=BE，故①②正确； ∵△ADC≌△ABE ∴ADC =ABE 设AB与CD交于G点， ∵AGD =BGC ∴DOB=DAB=50°,故③正确； 过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点， 则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高 ∵△ADC≌△ABE ∴AF=AH ∴点A在DOE的平分线上，④正确 故选D． 42．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 43．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【强化训练】 44．如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 45．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 46．如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 47．在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 49．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N． （1）求证：∠BCM＝∠BDM； （2）求∠CMN的度数； （3）求证：AM＝BN． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】解：（1）证明：和为等边三角形，且为公共边， ， 又在和中， ， ， ； （2）， ， ， 又和为对顶角， ， 又和为全等三角形，为平角， ，， ， （3）证明：连接，如图所示： 由（1）可知： ， ， 又， ， 为等边三角形， ， 又为等边三角形， 是和重叠的部分， ， 又在和中， ， ， ． 50．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列式子是否为定值，并证明：； 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，   ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，   是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，   和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ． 51．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为，则线段CD的长度为 ___． 【答案】 【详解】解：过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，如图所示： ∵∠ABC＝90°， ∴， ∴， ∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°， ∴△EBD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD， ∵AB＝BC， ∴△BCD≌△BAE（SAS）， ∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 四、倍长中线模型 【几何模型】 1、基本模型： 2、常见模型： 【辅助线作法一】 已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE． 【辅助线作法二】 已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得AE∥BC，连接AE则：BC=AE． 3、思路点拨： 【例题讲解】 52．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 53．在中，，中线，则边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴． 故选：B． 54．如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），（2） 【详解】 （1）证明：如图延长至，使，连接， ∵为中边上的中线， ∴， 在和中： ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 在中，由三角形的三边关系可得， 即； （2）解：∵，， 由（1）可得， ∴， ∴． 55．如图所示，在中，为中线，，求的度数． 【答案】45° 【详解】解：延长AD至E，使，连结， ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC ∴， ∴EC=AB，， ∵AB=2AD， ∴AB=AE=EC ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴∠DAC=45°. 故答案为45°. 56．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵点E是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即为的角平分线 57．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为___________ 【答案】 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 58．如图，在中，是中线，是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点C作于点F，过点B作，交的延长线于点G， ． 是的中线， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 【课堂练习】 59．如图，平行四边形，点F是上的一点，连接平分，交于点E，且点E是的中点，连接，已知，则__． 【答案】4 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点是的中点， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴中，， 故答案为：． 60．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ． 【答案】详见解析 【详解】证明：延长ED至G，使，连结GC， ∵在中，为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∴， ，， ， ， ． 又， ∴， ∴. 61．如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【详解】 证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 62．如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，延长至G，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，即为等腰三角形， 则， 平分， ，则， 又， ， ． 63．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点， ∴DE=CE， ∵ ∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中 ∴△ADE≌△MCE ∴AD=MC，AE=ME ∵ ∴MC＋BC=AB ∴BM=AB 在△BAE和△BME中 ∴△BAE≌△BME ∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴ 64．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长到点F，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（AAS）， ∴， ∴． 【强化训练】 65．如图，，，，，点M为的中点，，______． 【答案】6 【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可． 【详解】证明：延长AM至N，使，连接， ∵点M为的中点，∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 66．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC 【答案】见解析 【详解】延长AM至N，使MN=AM，连接BN， ∵点M为BC的中点， ∴CM=BM， 在△AMC和△NMB中， ， ∴△AMC≌△NMB（SAS）， ∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N， ∵DE=2AM，AD=AC， ∴DE= AN，AD= BN， 在△EAD和△ABN中， ， ∴△EAD≌△ABN（SSS）， ∴∠EAD=∠ABN， ∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180， ∵AB⊥AE， ∴∠EAB=90°， ∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°， ∴AD⊥AC． 67．如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：延长至，使，连接，如下图， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 【答案】证明见详解 【详解】 延长至点，使得，连接 ∵是中线，是中线 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴，， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（同旁内角互补） ∵， ∴（等边对等角） ∴ ∵ 点共线（是的中线）， ∴（平角定义） ∴ ∵在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴ 69．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 70．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 71．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△ADC和△    EDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠EDB， AD=ED， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC=EB=6， ， ∵， ∴， ∴， （2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG， 由D为BC中点，BD=CD， 在△FDC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠FDC=∠GDB， FD=GD， ∴△FCD≌△GBD（SAS）， ∴FC=GB， ∵，DF=DG， ∴EF=EG， 在△BEG中EG<EB+BG，即， （3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG， 由是边上的中点， ∴BD=CD， 在△ADC和△GDB中， ∵CD=BD， ∠ADC=∠GDB， AD=GD， ∴△ACD≌△GBD（SAS）， ∴AC=GB，∠DAC=∠G， ∵BE=AC， ∴BE=BG， ∴∠BED=∠G=∠CAD． 72．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 73．（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 【答案】（1）；（2）4 【详解】解：（1）延长交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， （2）如图2，延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 74．如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 75．（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）， 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， ∵为边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得：， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图2中，延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴； （3）结论：，， 如图3，延长于，使得，连接，延长交于， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 76．（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析； （2）． 【详解】（1）①解：如图所示： ； ②如图，延长作，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点为中， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形的内角和为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）如图，延长作，连接，，， ∵绕点顺时针旋转得，绕点逆时针旋转得， ∴，，，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵内角和为， ∴， ， ∴． 77．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，． （1）求证； （2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）如图1所示，延长至点，使， 在与中， ， ， ， ， ， 在与中， , ， ， ； （2）如图所示，， ， 平分，， ， ，， ，作， 在与中，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ， 设， ，，． 五、半角 对角互补模型（作旋转） 【几何模型】 1、模型特征：（1）共端点的等线段； （2）共顶点的倍半角； （3）对角互补（需要证明三点一线时） 2、模型讲解： 类型一：满足对角互补的普通四边形含半角模型（初二上常用☆☆） 如图，是一个对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=∠BAD（此时半角在内部），连接EF，则有结论：EF=BE+DF. 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小，得到△ADG，易证得：△AEF≌△AFG（SAS） 思考：若半角不全在内部呢？？？ 类型二：等腰直角三角形角含半角模型（※学习初二下的勾股定理后更适用） （1） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45° 结论：①△ADE≌△AFE（SAS）； ②线段BD、CE、DE能构成直角三角形. 原图：半角在内部 作法：将△ABD旋转90°得△ACF，证△ADE≌△AFE（SAS） （2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°结论：①△ADE≌△AFE（SAS）； ②线段BD、CE、DE能构成直角三角形. 原图：半角在外部 作法：将△ABD旋转90°得△ACF，证△ADE≌△AFE（SAS） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行同样的操作处理.. 任意等腰三角形 作法：将△ABD旋转90°得△ACF，证△ADE≌△AFE（SAS） 类型三：正方形中角含半角模型（※学习初二下的勾股定理和正方形后更适用） （1） 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G， 结论：EF=BE+DF ， AG=AD. 图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° （2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° 3、半角模型辅助线的作法 1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 2、旋转的条件：具有公共端点的等线段； 3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 4、旋转法构造全等三角形需先证三点共线。 【例题讲解】 78．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE． 【详解】（1）和是等腰三角形， 延长AB至G，使得BG=CF，连接DG 在和中， BG=CF， ， 在和中， DE=DE， ， （2）在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 79．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 80．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长． 【答案】的周长为6． 【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 【课堂练习】 81．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 82．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】4+4． 【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4， 故答案为4+4． 83．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； (2)， 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 84．在等边的两边所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且．探究：当M、N分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N边上，且时，之间的数量关系是___________；此时___________； (2)如图2，点M、N在边上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1) (2)结论仍然成立，详见解析 (3)，详见解析 【详解】（1）解：如图1，之间的数量关系． 此时． 理由：∵， ∴是等边三角形. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∵， ∴， ∴； 故答案为：，． （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：， ∴； （3）， 证明：在上截取，连接． ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 85．综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【强化训练】 86．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    【答案】（1），证明见详解；（2）结论仍然成立，证明见详解；（3）280海里 【详解】解：（1），证明如下： 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长相交于点，   ， ， 又， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是280海里． 87．已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 六、角平分线 对角互补模型（作垂直） 【几何模型】 适用条件：四边形中满足对角互补，且其中一个角的顶点在它对角的角分线上 类型一：含90°的对角互补模型 （1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论： ；（初二下适用）； （初二下适用） 作法1 ：作垂直 作法2：作旋转 （2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： ；（初二下适用）； （初二下适用） 作法1 ：作垂直 作法2：作旋转 类型二：含120°的对角互补模型 （1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论： ；； （初二下适用） 作法1 ：作垂直 作法2：作旋转 （2）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论： ； ； （初二下适用） 作法1 ：作垂直 作法2：作旋转 类型三：普通的对角互补模型 作法1 ：作垂直 作法2：作旋转 【例题讲解】 88．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【详解】证明:在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．       在 和       AC平分∠BAD 在 和中 89．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC， ∵∠DAB＝∠BCD＝90°， ∴∠D+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠ABE， 在△ADC和△ABE中， ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD， ∵∠DAC+∠CAB＝90°， ∴∠BAE+∠CAB＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴△EAC是等腰直角三角形， ∵， ∴AE＝， ∴EC＝4， ∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4． 故选：B． 【课堂练习】 90．如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【详解】（1）， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作于点，，交的延长线于点．   平分， ， ，， ， ， ∴， ； （3），， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ． 91．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 【强化训练】 92．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题． （1）如图1，在四边形中，，，连接．小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程． （2）如图2，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【详解】（1）如图，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ． 平分 （2） 证明：如图，延长至，使得，连， 由（1）知， ， 在与中， ， ，， 七、截长补短思想 【几何模型】 1、思想含义：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系（即：和差倍分关系）. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解. 2、图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【例题讲解】 93．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接． ∵平分， ． ∵， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 设， 则． ∵在中，， 解得， ∴． 94．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 95．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【课堂练习】 96．如图中，分别平分相交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）∠CPD=60°；（2）详见解析 【详解】解：（1）∵∠ABC=60°， ∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°， 又∵AD、CE分别平分， ∴， ∴， 又∵∠CPD是△ACP的外角， ∴∠CPD=∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠CPD=60°． （2）如图，在AC上截取AF=AE，连接PF， ∵∠CPD=60°， ∴∠APC=120°，∠APE=60° ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠BAD=∠CAD，∠ACE=∠BCE 在△APE与△APF中 ， ∴△APE≌△APF（SAS） ∴∠APF=∠APE=60°， ∴∠CPF=∠AOC-∠APF=60°， 在△CFP与△CDP中， ∴△CFP≌△CDP（ASA） ∴CD=CF ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即． 97．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DB＝DC，∠DCB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD （SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°； （2）DE＝AD+CD， 理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM， ∵∠ADE＝60°，DM＝AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AME＝120°． ∵AE＝AB， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEM中，， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD＝ME， ∵BD＝CD， ∴CD＝ME． ∵DE＝DM+ME， ∴DE＝AD+CD． 98．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【强化训练】 99．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°， ∴∠BAD＝90°， ∵AB＝AC＝AD， ∴△ABD是等腰直角三角形； （2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF， ∵线段AC与AD关于直线AP对称， ∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC， ∵AD＝AC＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE， 在△ABF与△ACE中， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵AD＝AB， ∴∠D＝∠ABD， 又∠CAE＝∠DAE， ∴， ∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°， ∴△AFE是等边三角形， ∴AF＝FE， ∴BE＝BF+FE＝CE+AE． 100．在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上学期（人教版) 全等三角形模型 100题 学生版 目录 一、角平分线模型（作对称） n000000000 二、线三等角模型9 三、手拉手模型 20 四、倍长中线模型. ….30 五、半角+对角互补模型（作旋转） ….44 六、角平分线+对角互补模型（作垂直） 54 七、截长补短思想 .59 1 一、 角平分线模型（作对称） 【几何模型】 1.角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线就是一个对称轴，所以可以将其中 的一个△翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直) 基本图形： A D 图 图三 2.角平分线十垂线，角平分线十平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。 基本图形： E 0 图2-1 图2-2 【例题讲解】 1.如图，已知AC+DC=AB,AD平分∠BAC,∠ACD=40°，则∠B的度数为（) A B D A.50° B.40° C.30° D.20° 2.如图，∠A=2∠C,BD平分∠ABC,BC=10,AB=6,则AD=_ A D B 3.如图，在四边形ABCD中，AD=DC,若BD平分∠ABC,求证：∠BAD+∠C=180° D 4.如图，OC平分∠MON,A、B分别为OMON上的点，且BO>AO,AC=BC,求证：∠OAC+∠OBC =180°. M 3 【课堂练习】 5.如图，在梯形ABCD中，ADBC,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,且AE、BE交CD于点E.试说明 AD=AB-BC的理由， 6.如图所示，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC (1)求证：1E是∠DAB的平分线：(2)若 D=2cm,∠BAD=60 ,求4D的长。 D 7.如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠B+∠D=180O°.求证：AE=AD+BE. E 8.如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E,∠1=∠2，CA=CB.求证：∠3+∠4=180°： OA+OB=2OE」 B 3 9.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=50°， ∠CAP= 10.已知：在ABC中，作∠B1C的角平分线，并过c作CG14G交于点G,若CG-4C,∠B=50, 则求∠DCG的度数. 5 A Gh B D 【强化训练】 11.如图，OA-OB,∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D,AE⊥BD于E,求证：BD=2AE D E 0 12.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,AC平分∠DAB,BD平分∠CBA, ∠ADC+∠BCD=240° (1)求∠AOB的度数： (2)求证：OD=O0C G 6 I3.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证：AE+CD=AC A E 0 D B C 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D,过D作DE⊥BA于点E,点 F在AC上，且BD=DF. (1)求证：AC=AE; (2)若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长. C D B 5.如图，在五边形4BCDE中，B=4E,C4平分∠BCD,CAD=∠B (I)求证：CD=BC+DE； (2)若∠B=75°，求∠E的度数. B D 7 16.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点D, CE交AB于点E,若己知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() 0 B.3 D.4 二、一线三等角模型 【几何模型】 (1)一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂 线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 B 同侧 两侧 模型一：如图AB⊥BC,AB=BC,CE⊥DE,AD⊥DE,则△ABD≌△BCE,DE=AD+EC 证明：CE⊥DE,AD⊥DE,AB⊥BC∴.∠CEB=∠ADB=∠ABC=90° ∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°.∠1=∠3 在△ABD和△BCE中， r∠1=∠3 D ∠CEB=∠ADB=90° ∴.△ABDY△BCE(AAS)'.AD=BE,EC=BD AB=BC 则DE=BE+BD=AD十EC 模型二：如图AB⊥BC,AB=BC,CE⊥DE,AD⊥DE,则△ABD≌△BCE,DE=AD-EC 证明：.CE⊥DE,AD⊥DE,ABLBC∴.∠CEB=∠ADB=∠ABC=90° ∴.∠A+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE-90°∴.∠A=∠CBE 在△ABD和△BCE中， ∠A=∠CBE ∠CEB=∠ADB=90° ∴.△ABD≌△BCE(AAS)∴.AD=BE,EC=BD AB-BC 则DE=BE-BD=AD-EC (2)三垂直模型： 图1，已知∠AOC=∠ADB=∠CED=90°，AB=DC,得AADB型ADEC 9 图2，a延长DE交AC于点F,已知∠DBE=∠ABC=∠EFC=90°，AC=DE,得△ABC型ADBE A B D B 图1 图2 (3)一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 (同侧)已知∠A=∠CPD=∠B=∠a,CP-PD D C C B B (异侧)已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠a,CP=PD 证明：以右图为例 D ,'∠ACP+∠A+∠CPA=180°， ∠DPB+∠CPD+∠CPA=180°而∠CAP=∠CPD=∠PBD=∠a .∠ACP=∠DPB又，CP=PD∴，△ACP⊥BPD(AAS) B 10 【例题讲解】 17.如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°.直线1经过点A,过点B作BE11于点E,过点C作 CF⊥I于点F若BE=2,CF=5,则EF= F B 18.如图，△ABC为等腰直角三角形，AD1BD,CE⊥BD于点E,AC与BD交于点F,若∠BAD=70°，则 ∠AFB= 。BE=2,CE=7 DE= 若 ,则 D E B 19.如图，在△M8C中，∠4CB=90,AC=BC,点4的坐标为-7,3)，点C的坐标为-2,0)，则点B的 坐标是 VA 20.如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据计算FH的长为 11 E D B 6 4 G 21.如图，己知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图 形的面积S等于 E 8 D 3 4 ---- A C 22.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上， ∠I=∠2=∠BAC,若△BDE的面积为2，△ABC的面积为21，则△CFD的面积为. E B 23.如图，∠BAD=∠CAE=9O°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直 线AF交于点G.若BC=m,AF=n,则△ADG的面积为一 12 B G F 【课堂练习】 24.(1)如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D, CE⊥DE于点E,且BD=AE.求证：DE=BD+CE (2)如图②，在△ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 且α≠9O°，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由. (3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三点所在直线I上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点 F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD,CE.若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状. B B B D A E D A D A E 图① 图② 图③ 13 25.(1)【探究发现】 在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，直线I经过点C,AD⊥I,BE⊥I,D、E为垂足，则有结论 △ACD≌aCBE.请在图1、图2中任选一图给予证明. (2)【知识迁移】 如图3，已知： A(-2,O),B(O,3),BCLAB,BD⊥BE,AB=BD=BC=BE,连接CD、CE、DE, 则点C的坐标为 点E的坐标为， ,aCDE的面积为 (3)【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为 4,0),分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰aOBF与等腰 RIABE,且∠OBF=∠ABE=90°，连接EF交y轴于点P,求BP的长. B 图1 图2 图3 图4 14 26.通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图O,∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E, 求证：BC=AE: 【模型应用】如图②，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,若点E、B、D到直线AC的距离分 别为6、3、4，则五边形ABCDE面积为： 【深入探究】如图③，∠BAD=∠CAE=9O°，AB=AD,AC=AE,连结BC,DE,且BC⊥AF于点 F,DE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=12,则△ADG的面积为· B B E D A G D ⊙ 6 31 4 P A G 图① 图② 图③ 15 27.综合与实践 在直线m上依次取互不重合的三个点D、A、E,在直线m上方有AB=AC,且满足 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=L (I)如图1，当：=90°时，猜想线段DE、BD、CE之间满足的数量关系，并进行证明： C B ■ A E m 图1 (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请进行 证明： A E m 图2 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m 与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是12，请求出△FBD与△ACE的面积之和， B D AE m 图3 16 【强化训练】 28.如图，D是线段AC的中点，CF‖AB,过点D作直线交AB、CF于点E、F. (1)证明：DE=DF; (2)若EF⊥AB,BC的垂直平分线交线段BC、ED于点N、M,BC=2MN,AB=8,求线段EF的长， E M 29.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,过点B,C分别向直线I作垂线， 垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE: (2)如图2，若△ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足∠CEA=∠BAC=∠ADB」 猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，以△ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD, AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H.若AH=4,AG=10,求△DAE的面积. 17 D B H A扣 y D G 图1 图2 图3 30.如图O,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C在△ABC外作直线L,AM1I于点M,BN⊥1 于点N, (I)试说明：MN=AM+BN: (2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=a(90°<a<180°)，AC=BC,请问(1)中 的结论DE=AD十BE是否还成立？请说明理由， (3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠B,AE=3,BF=5,请直接写 出AB的长 N D C E E B B A D B 图① 图② 图③ 18 31.己知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,D为直线BC上一动点，连接AD,在直线AC右侧作 AE⊥AD,且AE=AD (I)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H,连接DE.求证：EH=AC: (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M.求证：BM=EM: S△MDB (3)当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M,若2AC=5CM,则S△ABM= E A M H B C B D B4 C 图1 图2 备用图 19 三、手拉手模型 【几何模型】 手拉手模型条件：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。特别说明：其中图一、图二 为两个基本图形等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） A(为) B(左手) A(头) B(左手)C(右手) C(右手) 图一 图二 图三 图四 图五 20 图六 图七 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：△ABC=△A'B'C'(SAS)→BC=B'C'(左拉左=右拉右) 结论2：∠BOB'=∠BAB'(利用三角形八字导角可得) 结论3：A0平分∠BOC'(利用全等三角形的对应高相等，再利用角平分线 性质可证明) 【例题讲解】 32.如图，在等边三角形ABC中，点P在BA的延长线上，以AP为边在射线BA的右侧作等边三角形 PAD,连接CP,BD,求证：CP=BD. B 33.如图，∠1=∠2，AD=AE,∠B=∠ACE,且B、C、D三点在一条直线上.若∠B=60°，求证： CE=AC+CD. 21 2 34.如图，D为△ABC内一点，AB=AC,∠BAC=50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合. (1)求证：EB=DC: (2)若∠ADC=125°，求∠BED的度数. A E D B C 35.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向 旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点. (1)求证：AE=CD: (2)若∠DBC=45°，求∠BFE的度数. D B 36.己知：如图，△ABD和△AEC都是等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，连结 22 CD,BE AD与BE BE⊥CD 相交于点F, 相交于点M,求证： D F B 37.如图，△ABC为任意三角形，以边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连 接CD,BE并且相交于点P. 求证：(1)CD=BE:(2)∠BPC=120° 【课堂练习】 38.两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED, 其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD.若BC=4,CE=2,则△DCE 的面积是 图1 图2 23 39.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直线上，连接 BE. (1)求证：AD=BE: (2)若∠CAE-15°，AD=4,求AB的长. C E B 40.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，连接BD,将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE,连接 AE,DE (I)求证：AE=CD； (2)若BC=12cm,BD=8Cm,求△ADE的周长 E 41.如图，AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE;②CD=BE: ③∠DOB=50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是() D A E A.1 B.2 C.3 D.4 42.如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M,连 接CE交AD于N,连接N. 24 (I)求证：BD=CE: (2)求证：△ABM≌△ACN; (3)求证：△AMN是等边三角形 D B E 43.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与 交于点0，D与BC交于点PBE与CD交于点Q,连接P0.以下五个结论：D1D=BE:② BE PO PQ∥AEAP=BQ DE=DP∠AOB=60° ；③ ；④1 ;⑤ 恒成立的结论有 (把你认为正确的序号都填上) B E 【强化训练】 44.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点D在BC上，连接CE. (I)△ABD≌△ACE吗？请说明理由； (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 25 B D 45.(I)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD,BE.若BEI‖CD,则∠BEC的度数是 (2)如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE,求证： AE=BE+CE. (3)如图3，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直线 上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系. D D M B B B 图1 图2 图3 46.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,若∠AOB=∠COD=60°，连接AC、BD交于点 26 卫 (1)求证：△AOC2△BOD (2)求∠APB的度数. (3)如图(2)，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,AB=14cm,点D是射线AB上的一 点，连接CD,在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE,连接BE,若BD=4m,求BE的 值. E B B 图1 图2 47.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点，连接AD,以AD为边向右作△ADE,使得AD=AE, ∠DAE=∠BAC,连接CE (I)①如图1，求证：△ABD≌△ACE: ②当点D在BC边上时，请直接写出△1BC,△1CD,△1CE的面积 S,cS4cD,S4E)所满足的关 系； ②)当点D在B 的延长线上时，试探究△1BC,△1CD,△1CE的面积 ,S,x,S0,S4)所满足的 关系，并说明理由， A E BD图1C B C 图2 27 48.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF的右侧 kBC+EC 作等边aDFE,连接EC,若存在实数k,使得DC为定值a,则k和a分别是(） B D E A.k= 2’a=1B.k 3,a=lc.k=1,a=2 D.k=2’a=3 49.如图，点A,M,B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形 ABD,连接CM,DM,过点M作MN=DM,交BC边于点G,交DB的延长线于点N. (1)求证：∠BCM=∠BDM, (2)求∠CMN的度数： (3)求证：AM=BN G M B 28 50.安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究： 【探究证明】 (I)如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F,求证：∠AFB=60°： 【拓展延伸】 (2)如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D,作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E,探 究CE,DC和AC的数量关系，并证明： 【思维提升】 (3)如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B,C,E三点共线时，连接PC,若BC=3CE,直接写 AP-3PD 出下列式子是否为定值，并证明： PC; A PD E B D B 图1 图2 图3 29 51.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D为三角形右侧外一点.且∠BDC=45°.连接 9 AD,若△ACD的面积为8，则线段CD的长度为一· D B 30 四、倍长中线模型 【几何模型】 1、基本模型： 类型 倍长中线 图示 AD是△ABC边BC的中线，延长AD至点E,使AD=ED, 特点 连接BE 结论 △ACD≌△EBD,AC∥BE 2、常见模型： 【辅助线作法一】 已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD,连 接AE则：BC平行且等于AE. 【辅助线作法二】 已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得AE∥BC,连 接AE则：BC=AE. 1.找模型 遇到“中线”或与中点有关的线 段可考虑倍长中线模型 31 2.用模型 通过倍长中线或作平行线构造 全等三角形，用全等的性质解决 线段相关问题 3、思路点拨： 【例题讲解】 52.如图，己知△ABC中，AB=4,AC=3,AD是△ABC的中线，求AD的取值范围. A B D 53.在△ABC中，AC=6,中线AD=10,则AB边的取值范围是 54.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC). (1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC; (2)若AB=8cm,AC=5Cm,求AD的取值范围. D 已知中点及等 利用倍长+手 证全等 腰三角形 拉手构建三角 LD 90°，AB 角、边相等 DAC 下， 在 形 为中 的度数 32 D 56.如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EFI‖AD交CA的延长线于点F,交AB于 点G,BG=CF.求证：AD为△ABC的角平分线. G B E D 57.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,若 ∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为 A E D 58.如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD上一点，且BE=AC.求证：∠BED=LDAC. 33 E B D 【课堂练习】 59.如图，平行四边形ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,∠FAD=60,AE平分∠FAD,交CD于点 E,且点E是CD的中点，连接EF,己知AD=5,CF=3,则EF=一· D 60.己知：如图所示，在△ABC中，AD为中线，BF交AD,AC分别于E,F,如果BE=AC,求证： AF=EF A E B D 34 61.如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F,AE=EF,求证：AC=BF. A E F B D 62.如图，△ABC中，D、E在BC上，AE平分∠BAC,且DE=EC,DF=AC.求证：ABIDE. B E 63.如图，己知AP//BC,点E是DC的中点，且AD+BC=AB,求证：AE⊥BE. P E 64.如图，在△ABC中，AB=AC,BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD,BC平分 ∠EBD. 35 (I)求证：∠ABE=∠D: (2)求证：BD=2BE. E 【强化训练】 65.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，AM=3,DE=一 M 66.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,DE=2AM,点M为BC的中点，连接AM.求证：AD⊥AC E D A M 36 67.如图所示，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EFI‖AD交CA的延长线于点F,交AB 于点G,若BG=CF,求证：∠BAC=2∠BAD. D B 68.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC,求证：CE=2CD 69.如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=I0,点E是BD的中点，连接 CE,∠ACB=∠ABC+2LBCE,则CD= E D B 70.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=8, AD=5,求边AC的取值范围.小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E, 使DE=AD,连接BE,请根据小琪的方法思考： (I)由已知和作图能得到△EDB≌△ADC,依据是一·A.SSSB.SASC.AAS 37 (2)由“三角形的三边关系”可求得边AC的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【感悟方法】 (3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,AC=BF.试说明：AE=EF. D E 图1 图2 71.阅读理解： (1)如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如 下方法：延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形 三边关系即可判断中线AD的取值范围是 (2)解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于 点F,连接EF,求证：BE+CF>EF (3)问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E,使得AC=BE,求证： ∠CAD=∠BED E E E B 图2 B 图1 图3 38 72.已知，在RtAABC中，∠BAC=9O°，点D为边AB的中点，AE⊥CD分别交CD,BC于点F,E. (1)如图1，①若AB=AC,请直接写出∠EAC-∠BCD=一： ②连接DE,若AE=2DE,求证：∠DEB=∠AEC: (2)如图2，连接FB,若FB=AC,试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由. A D B E 图1 图2 39 73.(I)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB‖CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分 线，试判断AB,AD,CD之间的等量关系. 解决此向题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=CF,从 而把AB,AD,CD转化在一个三角形中即可判断：AB,AD,CD之间的等量关系为-： (2)如图②，在△ABC中，∠B=90°，AB=1,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=3,且 ∠ADE=90°，求AE的长； E A D C E B B C D R 图① 图② 40 74.如图1，已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC内部，连接BD,CD,在CD的右侧构造等边三角 形△CDE,连接AE, (I)求证：AE=BD: (2)如图2，当B,D,E三点共线时，求∠AED的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，取BC中点F,连接AD,DF,试判断AD与DF之间的数量关系并证明. E E E D D B B B F C 图1 图2 图3 41 75.(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=3,AC=5.求BC边上的中线AD的取值范围，小聪 同学是这样思考的：延长AD至E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利 用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ，中线AD的取值范围是： B E D 图1 (2)问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN.DM交AB于点M,DN交AC于 点N.求证：BM+CN>M: B M D A C N 图2 42 (3)间题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB,AC为直角边向△ABC外作 Rt△ABM和R1△ACN,其中∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM,AC=AN,连接MN,请你探索AD与 MN的数量与位置关系。 M 图3 76.(1)凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，E为AB上一点，AD=AE ①如图1，连AC,将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AH,连EH,画线段AH,EH: ②连AC,将CD绕C点逆时针旋转90°得到CF,连EF,取EF中点G,连CG,AG,如图2，请判断 △AGC的形状，并说明理由. (2)如图3，凸四边形ABCD中，将AD绕点A顺时针旋转m°，使点D的对应点E在AB上，将CD绕C 点逆时针旋转n°，使点D的对应点F在BC上，连EF并取其中点G,连AG,CG,若CG⊥AG于点G, 直接写出m，n满足的数量关系，不需要说明理由. G B A E B A 图1 图2 图3 43 比 阁 N T阁 N 0e 8 N W 即明O￥OY=dD·0zI=OW7某0学土O8卒d学土WDDN7杰dNz园呼() do N8=OP严半(I) “ND=WO元‘N学上彩斗8F卒WO87=NO87‘彩中明项8F音NO‘中O8F?!‘I园4‘LL 五、半角+对角互补模型（作旋转） 【几何模型】 1、模型特征：(1)共端点的等线段； (2)共顶点的倍半角； (3)对角互补（需要证明三点一线时） 2、模型讲解： 类型一：满足对角互补的普通四边形含半角模型（初二上常用☆☆） 如图，是一个对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD,∠BAD+∠C180°，点E,F分别在边 1 BC,CD上，∠EAF=2∠BAD(此时半角在内部)，连接F,则有结论：EF=BE+DF 45 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小，得到△ADG,易证得：△AEF≌△AFG(SAS) 思考：若半角不全在内部呢？？？ 类型二：等腰直角三角形角含半角模型（※学习初二下的勾股定理后更适用） (1)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，且∠DAE=45 结论：①△ADE≌△AFE(SAS): ②线段BD、CE、DE能构成直角三角形. D E 原图：半角在内部 作法：将△ABD旋转90°得△ACF,证△ADE≌△AFE(SAS) (2)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE-45结 论：①△ADE≌△AFE(SAS); ②线段BD、CE、DE能构成直角三角形. 46 D D 原图：半角在外部 作法：将△ABD旋转90得△ACF,证△ADE≌△AFE(SAS) (3)如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行同样的操作处理. D D 任意等腰三角形 作法：将△ABD旋转90°得△ACF,证△ADE≌△AFE(SAS) 类型三：正方形中角含半角模型（※学习初二下的勾股定理和正方形后更适用） (1)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF-45°，连接EF,过点A作AG⊥于 EF于点G, 结论：EF=BE+DF,AG=AD. F D 图示(1) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° (2)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF,则： EF-DF-BE. G 47 图示(2) 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90° 3、半角模型辅助线的作法 1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角： 2、旋转的条件：具有公共端点的等线段： 3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 4、旋转法构造全等三角形需先证三点共线。 共顶点的倍半 角+共端点的 利用手拉手模 型构建三角形 证全等 角、边相等 等线段 【例题讲解】 78.如图①，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC,BD=CD,∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D 为顶点作一个5O°角，角的两边分别交边AB,AC于点E、F,连接EF. (I)探究BE、EF、FC之间的关系，并说明理由： (2)若点E、F分别在AB、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE、EF、FC之间存在什 么样的关系？并说明理由， 分 B B C D D 图① 图② 79.如图.在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且 ∠EAF= 2∠BAD,求证：EF=BE-FD. D E 80.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求△AMN的周长， 49 【课堂练习】 81.如图，梯形ABCD中，ADI2C,AB=BC=DC点A,P分别在AD、AB上，且∠PCE=)∠BCD (1)求证：BF=EF-ED: (2)连结AC,若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数. A ED B 50 82.如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC-90°，BC=8,AB=AC,∠CBD=30°，BD=4 5 ,M,N分别在BD,CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为一、 C B M 83.【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若四边形 ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决 “半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法. (I)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN.用 等式写出线段DM,BN,MN的数量关系一 (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD, BC的延长线上，∠MAW=45°，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由： (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数 量关系，并说明理由 51 D M E B N B C W 图1 图2 图3 84.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且 ∠MDN=6O°，∠BDC=12O,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NCMN 之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系. (I)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 0 此时 (2)如图2，点MN在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？若成立请直 接写出你的结论；若不成立请说明理由 (3)如图3，当MN分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证 明. 52 M M B B M D D D 图1 图2 图3 85.综合与实践 (I)如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，则N,M,CN的数量 关系为 (2)如图2，在四边形ABCD中，BCAD,AB=BC,∠A+∠C=180°，点M、N分别在AD、CD上，若 1 ∠MBN=2∠ABC,试探索线段MN、AMCV有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC+LADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上， 若∠MBN=2∠ABC,试探究线段N、AM、CW的数量关系为一， 53 D M D A M B B C 图1 图2 图3 【强化训练】 86.(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F 分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系. 54 G B E 图1 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是； (2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的 点，且∠EAF=)∠BAD,上述结论是香仍然成立，请说明理由， B E 图2 (3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心 南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小 时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙 两舰艇分别到达E,F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程. 图3 87.己知：边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF= 45°，连接EF.求证：EF=BE+DF 55 思路分析： (1)如图1，，正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90, ∴.把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE,则F、D、E在一条直线上， ∠EAF= 度，… 根据定理，可证：△AEF≌△AEF. ∴EF=BE+DF 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程： 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,D、E在BC上，∠BAC=2∠DAE.若SABC=14,SADE=6,求线段 BD、DE、EC围成的三角形的面积. A D D B E B E B D 图1 图2 图3 六、角平分线+对角互补模型（作垂直） 【几何模型】 56 适用条件：四边形中满足对角互补，且其中一个角的顶点在它对角的角分线上 类型一：含90°的对角互补模型 (1)如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB,则有以下结论： ①CD=CE ②0D+0E=√20C(初二下适用)； ③S4OcD+S.ocE-=Sg边形0m=S正方形oc= 0c 1 (初二下适用) A D D 0 B NE 作法1：作垂直 作法2：作旋转 (2)如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以 下结论： ①CD=CE ②0E-0D=V20C(初二下适用)； 1 ③SOCE-S0CD-SE方形Moc=2 0c2 (初二下适用) A M 作法1：作垂直 作法2：作旋转 类型二：含120°的对角互补模型 57 (1)如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,则有以下结论： ①CD=CE ②OD+OE=OC」 ③SCD+S.oCE=S等边s0cF4 0C2 (初二下适用) D B E F 作法1：作垂直 作法2：作旋转 (2)如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有 以下结论： ①CD=CE ②0D-OE=0C: ③S.ocD-S0cE-S等t边.0cr4 0C2 (初二下适用) A D E O E O F 作法1：作垂直 作法2：作旋转 类型三：普通的对角互补模型 4 D D ◆B 0 58 作法1：作垂直 作法2：作旋转 【例题讲解】 88.如图所示，己知AC平分∠BAD,∠B+∠D=18O°，CE⊥AB于点B,判断AB、AD与BE之间有怎样 的等量关系，并证明 A D E B 89.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD,若这个四边形的面积是4，则BC+CD等 于() 口 A.2 B.4 C:2② D.4 【课堂练习】 90.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),C(6,0),B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且 BC⊥CD,CA平分∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°. (1)直接写出B点坐标： (2)求证：AB=AD； (3)求四边形ABCD的面积. 59 y个 C D 91.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.求证： DA=DC 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题， 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明。 (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60°时，探究线段AB,BC,BD之间 的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为 点E,请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系. B B D A B D E 图1 图2 图3 60 【强化训练】 92.本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角 形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，连接AC.小明发现，此时AC平分 ∠BCD.他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E,使得BE=CD,连接AE,证明 △ABE≌△ADC,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD.请你参考小明的想法，写出 完整的证明过程 (2)如图2，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C,点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC=18O° ,请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明. D B A B D E 61 七、截长补短思想 【几何模型】 1、思想含义：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系（即：和差倍 分关系).这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与己知线段相等，然后 证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等.然后求出延 长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 2、图解：已知线段AB、CD、EF,简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 A B A G B A B C D C D C D H E F EP E F 截长法 补短法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD,判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H,使DH=EF,判断线段AB和线段GH长度是否相等 【例题讲解】 62 93.如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,若AC+CD=AB,求∠C的度数. B D 94.如图，己知AP‖BC,∠PAB的平分线与LCBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D,求证： AD+BC=AB E B 95.如图，己知：在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O求证： AC=AE+CF, 63 B F 【课堂练习】 96如图△1BC中， ∠ABC=60,AD,CE ∠BAC、∠ACB,AD、CE 分别平分 相交于点P (1)求∠CPD的度数： (2)求证：AE+CD=AC p B D 64 97.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC,∠DCB=30°，点E是 BD延长线上一点，AE=AB (1)求∠ADB的度数： (2)线段DE,AD,DC之间有什么数量关系？请说明理由. E 98.在△ABC中，∠ABC=60°，点D、E分别在AC、BC上，连接BD、DE和AE;并且有AB=BE, ∠AED=∠C (1)求∠CDE的度数： (2)求证：AD+DE=BD. A B E c 65 【强化训练】 99.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线 AP的交点 (1)若∠DAE=15°，求证：△ABD是等腰直角三角形： (2)连CE,求证：BE=AE+CE. A B 100.在等腰△ABC中，AB=AC,点D是AC上一动点（不含端点），点E在BD的延长线上，且 AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接FC. (1)如图1，求证：∠ABE=∠ACF (2)如图2，若∠ABC=45°，AEI‖BC,求证：BD=2EF. A A A E D D B B B 图1 图2 备用图 66 3