第五单元 平行四边形和梯形-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+14个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共66题）-2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理“平行四边形和梯形”单元知识，以知识梳理模块呈现平行与垂直、平行四边形、梯形及四边形关系等核心内容，用集合图直观展示概念联系，突出定义、特征、画法等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，14个高频考点讲练（如画指定长宽长方形）结合9个奥数拓展（如平行四边形切拼），真题分能力提升与思维创新层，培养几何直观与空间观念，典例精讲配变式训练助力不同学生提升，支持自主复习与教师精准教学。

2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 平行四边形和梯形『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平行与垂直 3 知识点二 平行四边形 4 知识点三 梯形 5 知识点四 四边形之间的关系 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 平行的特征及性质 6 高频考点二 垂直的特征 6 高频考点三 画垂线 7 高频考点四 点到直线的距离 7 高频考点五 画平行线 8 高频考点六 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 9 高频考点七 平行四边形的概念及特点 9 高频考点八 画平行四边形 10 高频考点九 平行四边形的切拼 11 高频考点十 梯形的概念及特点 11 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 12 高频考点十二 画梯形 12 高频考点十三 四边形的分类及关系 13 高频考点十四 数图形 14 难点突破 奥数拓展 14 奥数拓展一 垂直的特征 14 奥数拓展二 画垂线 15 奥数拓展三 画平行线 15 奥数拓展四 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 16 奥数拓展五 平行四边形的概念及特点 17 奥数拓展六 平行四边形的切拼 17 奥数拓展七 梯形的概念及特点 18 奥数拓展八 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 18 奥数拓展九 数图形 19 优选真题 实战演练 19 【能力提升练】 19 【思维创新练】 21 知识点一 平行与垂直 1.平行的定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。例如：①下图中直线a与b互相平行，记作a/∥/b，读作a平行于b。②在黑板相对的两条长边，它们在同一平面内且不会相交，就是互相平行的关系。 2.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。例如：①下图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。②像窗户的横框和竖框相交形成直角，它们就是互相垂直的。 3.同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交（包括垂直这种特殊的相交情况）。例如，在一张纸上任意画两条直线，它们只会出现这两种位置关系。 4.画平行线与垂线 （1）画平行线：可以借助直尺和三角尺来画。先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，平移三角尺，沿着三角尺与已知直线重合的直角边画出的直线就是已知直线的平行线。 （2）画垂线：同样借助三角尺，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过指定点，沿着这条直角边画直线，就是已知直线的垂线。比如要过直线外一点画已知直线的垂线，就按照这个方法操作。 5.垂直线段最短：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。生活中的伸缩门，其形状在拉伸过程中就可以看作平行四边形，它的两组对边始终保持平行。 2.特征 （1）边的特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 （2）角的特征：平行四边形的两组对角分别相等。 3.特性：平行四边形具有不稳定性，容易变形。如生活中的升降衣架，利用平行四边形的不稳定性，可以方便地调整衣架的大小。 4.底和高 （1）底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （2）高的画法：通常有两种画法，以不同的边为底，向对边作垂线。注意，画高时一定要用虚线，并标上垂直符号。 知识点三 梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。像梯子的侧面形状，一般就是梯形，它只有一组对边平行。 2.梯形各部分名称：互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3.特殊梯形 （1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。直角梯形有两个直角。 4.梯形高的画法：与平行四边形类似，从梯形上底的任意一点向下底作垂线，这条垂线就是梯形的高，梯形有无数条高，且这些高都相等。 知识点四 四边形之间的关系 1.用集合图表示：可以用一个大的集合表示四边形，在这个集合里，平行四边形和梯形是两个不同的子集。其中长方形和正方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。也就是说，正方形包含于长方形，长方形包含于平行四边形，平行四边形和梯形共同构成四边形这个大集合。 2.关系总结：所有的长方形、正方形都是平行四边形，但平行四边形不一定是长方形或正方形；所有的正方形都是长方形，但长方形不一定是正方形；梯形和平行四边形是不同类型的四边形，梯形不属于平行四边形。 高频考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）下面几组直线中，两条直线互相平行的是( )，相交的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 高频考点二 垂直的特征 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。      这样维修的理由： 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）图中有（    ）组线段互相平行，（    ）组线段互相垂直。 A．2；5 B．3；2 C．4；4 D．5；3 高频考点三 画垂线 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【变式训练】．（26-27四年级上·全国·课后作业）在同一平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 条；过直线上一点画已知直线的垂线，可以画 条。两个横线上的答案为（    ）。 ①0    ②1    ③2    ④无数 A．①② B．②② C．②③ D．④④ 高频考点四 点到直线的距离 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝( ) AD＝( ) AE＝( ) AF＝( )   AC＝( ) (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的( )。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 高频考点五 画平行线 【典例精讲】（25-26四年级上·河北邢台·期末）以下是得到一组平行线的三种方法。下面说法正确的是（    ）。 A．只有方法（1）和方法（2）正确 B．只有方法（1）和方法（3）正确 C．只有方法（2）和方法（3）正确 D．三种方法都正确 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）操作。 （1）用数对表示，体育馆在（2，4），超市在（    ），游乐场在（    ）。 （2）琪琪从实验小学出发，先向南走400米，再向西走800米到达了少年宫，请在图中用“·”标注出少年宫的位置，少年宫在图书馆的（    ）方向。 （3）经过点C画出线段AB的平行线。 高频考点六 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26四年级上·广东东莞·阶段检测）在学习了平行与垂直的知识后，小明想动手画一个长方形。请你帮助小明完成以下任务。 (1)在下方空白处画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。 (2)在所画的长方形中再画一个最大的正方形并涂上阴影。 (3)算一算所画的长方形的周长和正方形的面积分别是多少？ 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）过点A画直线AB的垂线L，再以线段AB的长为长方形的长，画宽为2厘米的长方形ABCD。 高频考点七 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）园博园一年一度的花卉展又到了，郁金香展区要设计成平行四边形。 (1)请你从图中选一个点D，并画出平行四边形ABCD。 (2)请你量一量∠ABC＝( )。 (3)从E点出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 (4)设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）有一块空地，同学们打算将草莓，西红柿和西瓜分别种在梯形、平行四边形和三角形的区域内，你能帮他们设计出三块区域的分配方案吗？请画出示意图并在图中标出每块区域的种植物。 高频考点八 画平行四边形 【典例精讲】（25-26四年级下·广东深圳·期末） (1)在下面的点子图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 (2)画出一条线段，将上面的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【变式训练】（25-26四年级下·福建泉州·期末）按要求画一画。 (1)在下面格子中画一个等腰直角三角形。 (2)在图中找到点D，使四边形ABCD是一个平行四边形，并补充完整；在平行四边形ABCD中画一条线段，把这个平行四边形分成两个完全一样的梯形。 高频考点九 平行四边形的切拼 【典例精讲】用两个三角形拼成了一个平行四边形，这两个三角形应是（    ）三角形。 A．完全一样的 B．等底等高的 C．等边的 【变式训练】一个等边三角形的周长是36厘米，用两个这样的等边三角形可以拼成的平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．12 B．48 C．144 高频考点十 梯形的概念及特点 39．（26-27四年级上·全国·单元测试）按要求在下面图形中画一条线段。 (1)分成两个相同的梯形。     (2)分成一个平行四边形和一个梯形。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）分别在梯形里画一条线段，按要求把梯形分成两个图形。 (1)两个三角形。 (2)两个梯形。 (3)一个平行四边形和一个梯形。 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 (1)同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ (2)如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上。 (1)量一量，∠B＝( )°。 (2)请在图中找一个点D，并连接AD和CD构成等腰梯形ABCD。 (3)过点B画梯形下底DC的垂线BE，并标出垂足E。 (4)在梯形ABCD中画一条线段，将它分成一个平行四边形和一个三角形。 高频考点十二 画梯形 【典例精讲】（25-26四年级下·广东揭阳·期末）在下面的方格纸上画一个等腰梯形，并在这个梯形中画一条线段，将这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【变式训练】（25-26四年级下·山东德州·期末）按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） (1)增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 高频考点十三 四边形的分类及关系 【典例精讲】（25-26四年级下·山东德州·期末）下面的包含关系表示错误的是（    ）。 A．B． C． D． 【变式训练】下列说法中，正确的有（    ）个。 ①有3盒钢笔，每盒4支，共72元，钢笔24元/盒。 ②图A中，左图可以由中间图旋转得到，右图可以由左图平移得到。 ③4□□×1□，积可能四位数，也可能五位数。 ④长方形、平行四边形、梯形的关系可以用下面右边图B表示。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点十四 数图形 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图是用七巧板拼的一个直角梯形，这个直角梯形中一共有( )个四边形。 【变式训练】（25-26四年级上·湖南张家界·期末）数一数下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 奥数拓展一 垂直的特征 【典例精讲】（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 【变式训练】数一数图中有( )组互相垂直的线段，有( )组互相平行的线段。 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】．（2026三年级下·江苏·专题练习）将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【变式训练】25-26四年级上·河北·课后作业）小明一家在公园里游玩，从公园中心湖西岸的A点出发，划船到东岸后，前往凉亭B。要使他们划船的距离最短，该怎样走呢？请在图上画一画。 奥数拓展三 画平行线 【典例精讲】草地上有一只小羊，请你画出小羊从草地走到小河的最近路线。牧羊人计划以M点为起点修一条水渠与小河相平行，请你在图上画出这条水渠的修建路线。 【变式训练】（26-27五年级上·上海·开学考试）点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 (1)请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 (2)请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 奥数拓展四 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26三年级下·贵州贵阳·期末）下面两条线段互相垂直。 (1)以线段BC为长，线段AB为宽，画出一个长方形。 (2)量一量长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 56．（19-20三年级下·江苏·期末）在下面的方格图中先画一个长8厘米、宽4厘米的长方形，再画一个与它周长相等的正方形，并分别求出正方形和长方形的面积。（每个小方格的边长表示1厘米） 长方形的面积：                 正方形的面积： 奥数拓展五 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26五年级上·山西临汾·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数不是正数就是负数。 ②等底等高的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 ③平行四边形、三角形可以看成“特殊的梯形”。可以用梯形的面积公式计算它们的面积。 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 奥数拓展六 平行四边形的切拼 【典例精讲】想一想，补好这面墙需要多少块砖？ 要( )块砖。 【变式训练】按照要求把下面的图形分一分。 分成2个三角形 分成1个正方形和1个长方形 分成4个三角形 分成5个大小形状相同的三角形 奥数拓展七 梯形的概念及特点 【典例精讲】在下图中找出平行四边形和梯形，并数一数，每种图形各有多少个？ 【变式训练】数一数，如图中有( )个三角形，有( )个平行四边形，有( )个梯形。 奥数拓展八 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对应图形。 （1）上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 （2）面积是10平方厘米的平行四边形。 【变式训练】．（25-26四年级上·福建福州·期末）操作。 （1）请在点阵图中画一个直角梯形上底是3cm，下底是5cm，高是2cm。 （2）在这个直角梯形中画一条线段，把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 奥数拓展九 数图形 【典例精讲】数一数，包含○的三角形有多少个？ 【变式训练】数一数，下面图形中包含苹果的长方形共有几个？ 【能力提升练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的距离是6分米，则下面的结论错误的是（    ）。 A．分米 B． C．分米 D． 2．（26-27四年级上·全国·单元测试）把8根小棒如图摆放，其中，．涂色部分中，（    ）是梯形。 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 3．（26-27四年级上·全国·单元测试）下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 4．（26-27四年级上·全国·单元测试）实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是( )米。 5．（26-27四年级上·全国·单元测试）欢欢想画一个梯形，需要在下图中找一个点D，使点D和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，点D一共有( )种不同的选法。 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）铁路某路段有三条如图所示的铁轨，请你通过计算判断a铁轨和b铁轨是否互相垂直。 7．（26-27四年级上·全国·单元测试）一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和8厘米。用这样的4个平行四边形拼成一个新的平行四边形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）聪聪做了四个完全一样的平行四边形，已知一个平行四边形相邻两条边分别长3厘米和4厘米。他想用这四个平行四边形拼成一个更大的平行四边形，那么拼成的大平行四边形的周长最长是多少？最短是多少？ 9．（26-27四年级上·全国·课后作业）已知，下图中有哪些梯形？把它们写出来。 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 (1)写出两组互相垂直的道路。 (2)写出两组互相平行的道路。 【思维创新练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2．（26-27四年级上·全国·课后作业）我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（    ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 3．下面的说法中,正确的是(　　)． A．梯形的腰一定比梯形的高短 B．60°、75°、90°是一个三角形的三个内角 C．一个平行四边形的周长是130 cm,一边的长是30 cm,与这条边相邻的一条边的长是35 cm 4．（26-27四年级上·全国·单元测试）平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 5．（2026四年级上·全国·专题练习）如下图所示，将一张长10cm、宽4cm的长方形纸与一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形。如果∠1＝120°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 6．数一数，下图中有( )个平行四边形，( )个梯形。 7．（25-26四年级上·河南南阳·期中）同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一定互相平行。( )（判断对错） 8．（24-25四年级上·安徽亳州·期中）一张纸上画了两条直线，他们不是互相平行，就是互相垂直。( )（判断对错） 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 10．用不同颜色的笔圈一圈。 （1）①先把四边形圈出来； ②再把有平行的边的图形圈出来； ③再把两组对边都平行的图形圈出来； ④最后把有4个直角的图形圈出来。    （2）你有什么发现？写出1～2条。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元平行四边形和梯形「举一反三知识讲练」（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+14个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练共66题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络.. 3 知识梳理温故知新 3 知识点一平行与垂直.. .3 知识点二平行四边形.... 知识点三梯形.…… …5 知识点四四边形之间的关系 .5 考点讲练真题汇总… 高频考点一平行的特征及性质·… 6 高频考点二垂直的特征…… 高频考点三画垂线.. 第1页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 高频考，点四点到直线的距离.· 高频考点五画平行线……… 高频考点六画指定长、宽（边长)的长方形、正方形........…......9 高频考点七平行四边形的概念及特点.… 9 高频考点八画平行四边形. 10 高频考点九平行四边形的切拼.· 11 高频考点十梯形的概念及特点... 11 高频考点十一直角梯形和等腰梯形的概念及特点.· 12 高频考点十二画梯形..... 12 高频考点十三四边形的分类及关系.··. 13 高频考点十四数图形.... 难点突破奥数拓展… 14 奥数拓展一垂直的特征. 14 奥数拓展二画垂线.… 15 奥数拓展三画平行线. 15 奥数拓展四画指定长、宽（边长）的长方形、正方形. 16 奥数拓展五平行四边形的概念及特点....· ...17 奥数拓展六平行四边形的切拼.... 17 奥数拓展七梯形的概念及特点....· 18 奥数拓展八直角梯形和等腰梯形的概念及特点. 18 奥数拓展九数图形.。 19 优选真题实战演练.… 19 【能力提升练】 19 【思维创新练】 21 第2页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 1两条直线的位置关系 (1)过直线上一点画垂线。 两条直线的关系 画法 4画垂线 △ 相交 平行 (2)过直线外一点画这条直线的垂线。 相互平行的两豪直线 在同一平面内，不相交，且不重合 相互垂直的两条直线 相交成直角。 特点从直线外一点到这条直线 垂线段最短。 定义 两组对边分别平行的四边形 2平行四边形的认识 叫作平行四边形 平行四边形的面法 (1)用量角器量角。 (2)画两组分别平行的边。 (3)连成平行四边死 特点 第五单元 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 平行四边形和梯形 底和高 5平行四边 梯形的面法 从一条边上的任意一点 向对边面垂线，垂线 形和梯形 (1)量出上底和下底。(2)画两腰 (3)连成梯形。 底 的画法 定义 只有一组对边平行的四边形 生括的啦师 叫作稀形。 3梯形的认识 6应用与 各部分名箭 上底 解决问题 上度和下底互相平行。 下座 牌决同题策薄根据图形的特征（平行、垂直，相等 言角梯彩 等腰样形 角的关系等)解决问题， 有一个直角的梯形 两腰相等的梯形】 7综合练习与规律探索 8整理与复习 回顾与总结 相变《有直角 图形性质与变化 角度与边长计算 图形的组合与分割 两架结构钢 回顾本单元知 梳理要 位置关系 直（成直角 提高解决问的能力 一、折一折、 图平行四边界 拼一拼。探图形 列平行关系 L计算角度，边长 格彩或三角形 平行四边形一两组对边平行 的性质与变化. 组合或分制图形 四边形 →只有一组对边平行 知识梳理温故知新 知识点一平行与垂直 1.平行的定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。例如： ①下图中直线a与b互相平行，记作a/∥b,读作a平行于b。②在黑板相对的两条长边，它们在同 一平面内且不会相交，就是互相平行的关系。 b 2.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线 的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。例如：①下图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b,读作a垂直 于b。②像窗户的横框和竖框相交形成直角，它们就是互相垂直的。 第3页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 3.同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交（包括垂直这种特 殊的相交情况)。例如，在一张纸上任意画两条直线，它们只会出现这两种位置关系。 4.画平行线与垂线 (1)画平行线：可以借助直尺和三角尺来画。先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后用直尺 紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，平移三角尺，沿着三角尺与已知直线重合的直角边画出的直 线就是已知直线的平行线。 (2)画垂线：同样借助三角尺，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三 角尺的另一条直角边经过指定点，沿着这条直角边画直线，就是已知直线的垂线。比如要过直线外一 点画已知直线的垂线，就按照这个方法操作。 5.垂直线段最短：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 知识点二平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。生活中的伸缩门，其形状在拉伸过程中就可以 看作平行四边形，它的两组对边始终保持平行。 2.特征 （1)边的特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 (2)角的特征：平行四边形的两组对角分别相等。 3.特性：平行四边形具有不稳定性，容易变形。如生活中的升降衣架，利用平行四边形的不稳定性， 可以方便地调整衣架的大小。 4.底和高 第4页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 底 (1)底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的 高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 (2)高的画法：通常有两种画法，以不同的边为底，向对边作垂线。注意，画高时一定要用虚线，并 标上垂直符号。 知识点三梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。像梯子的侧面形状，一般就是梯形，它只有一组对边 平行。 2.梯形各部分名称：互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的 腰。从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 上底 高 下底 3.特殊梯形 等腰梯形 直角梯形 (1)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (2)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。直角梯形有两个直角。 4.梯形高的画法：与平行四边形类似，从梯形上底的任意一点向下底作垂线，这条垂线就是梯形的高， 梯形有无数条高，且这些高都相等。 知识点四四边形之间的关系 1.用集合图表示：可以用一个大的集合表示四边形，在这个集合里，平行四边形和梯形是两个不同的 子集。其中长方形和正方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。也就是说，正方形包含 第5页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 于长方形，长方形包含于平行四边形，平行四边形和梯形共同构成四边形这个大集合。 四边形 平行四边形 梯形 长方形 普通平行四边形 正方形 2.关系总结：所有的长方形、正方形都是平行四边形，但平行四边形不一定是长方形或正方形；所有 的正方形都是长方形，但长方形不一定是正方形；梯形和平行四边形是不同类型的四边形，梯形不属 于平行四边形。 考点讲练真题汇总 高频考点一平行的特征及性质 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( 和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 A B ① ② ③ D 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)下面几组直线中，两条直线互相平行的是( 相交的是( ）,互相垂直的是( )。(填序号) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 高频考点二垂直的特征 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习)双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组 双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。 第6页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 ④ ② 这样维修的理由： 【变式训练】(26-27四年级上·全国·单元测试)图中有( )组线段互相平行，( 组线段互相垂直。 A.2:5 B.3:2 C.4:4 D.5;3 高频考点三画垂线 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A 点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 岸边 .A 岸边 岸边 游泳池 岸边 【变式训练】.(26-27四年级上·全国·课后作业)在同一平面内，过直线外一点画已知直线的垂线， 可以画条；过直线上一点画已知直线的垂线，可以画条。两个横线上的答案为( )。 ①0 ②1 ③2 ④无数 A.①② B.②② C.②③ D.④④ 高频考点四点到直线的距离 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业) 第7页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 B D E (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB=( AD=( AE=( AF=( ) AC=( (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的 长度叫作这点到直线的()。 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、 195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 高频考点五画平行线 【典例精讲】(25-26四年级上·河北邢台·期末)以下是得到一组平行线的三种方法。下面说法正确的 是( ●。 月1cm23 (1) (2) (3) A.只有方法(1)和方法(2)正确 B.只有方法(1)和方法(3)正确 C.只有方法(2)和方法(3)正确 D.三种方法都正确 【变式训练】(25-26四年级上·辽宁沈阳·期末)操作。 第8页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 100米 9 8 游乐场 A 7 东 6 超市 5 ® C 4 图书馆 实验小学 3 体育馆 2 1 12345678910111213141516 (1)用数对表示，体育馆在(2,4)，超市在( ),游乐场在( )。 (2)琪琪从实验小学出发，先向南走400米，再向西走800米到达了少年宫，请在图中用“·”标注出少 年宫的位置，少年宫在图书馆的( )方向。 (3)经过点C画出线段AB的平行线。 高频考点六画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】(25-26四年级上·广东东莞·阶段检测)在学习了平行与垂直的知识后，小明想动手画一 个长方形。请你帮助小明完成以下任务。 (1)在下方空白处画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。 (2)在所画的长方形中再画一个最大的正方形并涂上阴影。 (3)算一算所画的长方形的周长和正方形的面积分别是多少？ 【变式训川练】(24-25四年级上·河南南阳·期末)过点A画直线AB的垂线L,再以线段AB的长为长方形 的长，画宽为2厘米的长方形ABCD。 A B 高频考点七平行四边形的概念及特点 【典例精讲】(2026四年级上·全国·专题练习)园博园一年一度的花卉展又到了，郁金香展区要设计成 平行四边形。 第9页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 B E (1)请你从图中选一个点D,并画出平行四边形ABCD。 (2)请你量一量∠ABC=（ )。 (3)从E点出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 (4)设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是 怎么分割的，请你在图中画出来。 【变式训练】(26-27四年级上·全国·单元测试)有一块空地，同学们打算将草莓，西红柿和西瓜分别 种在梯形、平行四边形和三角形的区域内，你能帮他们设计出三块区域的分配方案吗？请画出示意图并在 图中标出每块区域的种植物。 高频考点八画平行四边形 【典例精讲】(25-26四年级下·广东深圳·期末) ● (1)在下面的点子图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 (2)画出一条线段，将上面的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【变式训练】(25-26四年级下·福建泉州·期末)按要求画一画。 第10页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 (1)在下面格子中画一个等腰直角三角形。 (2)在图中找到点D,使四边形ABCD是一个平行四边形，并补充完整；在平行四边形ABCD中画一条线段， 把这个平行四边形分成两个完全一样的梯形。 高频考点九平行四边形的切拼 【典例精讲】用两个三角形拼成了一个平行四边形，这两个三角形应是( ）三角形。 A.完全一样的 B.等底等高的 C.等边的 【变式训练】一个等边三角形的周长是36厘米，用两个这样的等边三角形可以拼成的平行四边形的周长是 )厘米。 A.12 B.48 C.144 高频考点十梯形的概念及特点 39.（26-27四年级上·全国·单元测试)按要求在下面图形中画一条线段。 (1)分成两个相同的梯形。 (2)分成一个平行四边形和一个梯形。 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)分别在梯形里画一条线段，按要求把梯形分成两个图 形。 (1)两个三角形。 (2)两个梯形。 第11页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 (3)一个平行四边形和一个梯形。 高频考点十一直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·单元测试)四(1)班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田 的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 (1)同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ (2)如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【变式训练】(26-27四年级上·全国·课后作业)如图，点A、B、C都在方格纸的格点上。 A B (1)量一量，∠B=( )°。 (2)请在图中找一个点D,并连接AD和CD构成等腰梯形ABCD。 (3)过点B画梯形下底DC的垂线BE,并标出垂足E。 (4)在梯形ABCD中画一条线段，将它分成一个平行四边形和一个三角形。 高频考点十二画梯形 【典例精讲】(25-26四年级下·广东揭阳·期末)在下面的方格纸上画一个等腰梯形，并在这个梯形中 画一条线段，将这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 第12页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级下·山东德州·期末)按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm) B C (1)增加一个点D,连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 高频考点十三四边形的分类及关系 【典例精讲】(25-26四年级下·山东德州·期末)下面的包含关系表示错误的是( )。 等边 等腰 梯形（等腰梯形 三角形 三角形 四边形 A. 三角形 长方形 正方形 平行 四边形 梯形 平行四边形 C. D 四边形 【变式训练】下列说法中，正确的有( )个。 ①有3盒钢笔，每盒4支，共72元，钢笔24元/盒。 ②图A中，左图可以由中间图旋转得到，右图可以由左图平移得到。 ③4口口×1口，积可能四位数，也可能五位数。 ④长方形、平行四边形、梯形的关系可以用下面右边图B表示。 第13页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 图A 图B A.1 B.2 C.3 D.4 高频考点十四数图形 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)下图是用七巧板拼的一个直角梯形，这个直角梯形中 一共有( )个四边形。 【变式训练】(25-26四年级上·湖南张家界·期末)数一数下图中有( )个平行四边形和( 个梯形。 难点突破奥数拓展 奥数拓展一垂直的特征 【典例精讲】(24-25三年级上·全国·单元测试)下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经 过A点，并与图中的下水道平行。 A● 下水道 (1)请在图中画一条直线用来表示这根水管。 (2)图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请 在图中画一条线段用来表示排水沟) (3)如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 第14页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】数一数图中有( )组互相垂直的线段，有( )组互相平行的线段。 奥数拓展二画垂线 【典例精讲】.(2026三年级下·江苏·专题练习)将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水， 然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ A● B 【变式训练】25-26四年级上·河北·课后作业)小明一家在公园里游玩，从公园中心湖西岸的A点出发， 划船到东岸后，前往凉亭B。要使他们划船的距离最短，该怎样走呢？请在图上画一画。 B 西岸 东岸 奥数拓展三画平行线 【典例精讲】草地上有一只小羊，请你画出小羊从草地走到小河的最近路线。牧羊人计划以M点为起点修 条水渠与小河相平行，请你在图上画出这条水渠的修建路线。 ◆M 小河 第15页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(26-27五年级上·上海·开学考试)点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 ·A C B (1)请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 (2)请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 奥数拓展四画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】(25-26三年级下·贵州贵阳·期末)下面两条线段互相垂直。 (1)以线段BC为长，线段AB为宽，画出一个长方形。 (2)量一量长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 Bh 56.(19-20三年级下·江苏·期末)在下面的方格图中先画一个长8厘米、宽4厘米的长方形，再画一个 与它周长相等的正方形，并分别求出正方形和长方形的面积。（每个小方格的边长表示1厘米） 长方形的面积： 正方形的面积： 第16页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五平行四边形的概念及特点 【典例精讲】(25-26五年级上·山西临汾·阶段检测)下列说法正确的有（ )个。 ①一个数不是正数就是负数。 ②等底等高的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 ③平行四边形、三角形可以看成“特殊的梯形”。可以用梯形的面积公式计算它们的面积。 A.0 B.1 C.2 D.3 【变式训练】在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有( )种不同的 选法。 ● A B ●●。 A.4 B.5 C.6 D.7 奥数拓展六平行四边形的切拼 【典例精讲】想一想，补好这面墙需要多少块砖？ 要()块砖。 【变式训练】按照要求把下面的图形分一分。 分成2个三角形 分成1个正方形和1个长方形 第17页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 分成4个三角形 分成5个大小形状相同的三角形 奥数拓展七梯形的概念及特点 【典例精讲】在下图中找出平行四边形和梯形，并数一数，每种图形各有多少个？ B 【变式训练】数一数，如图中有( )个三角形，有()个平行四边形，有( ）个梯形。 奥数拓展八直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(24-25五年级上·湖南张家界·期末)下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对 应图形。 (1)上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形 (2)面积是10平方厘米的平行四边形。 第18页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】.(25-26四年级上·福建福州·期末)操作。 1cm ●●●●●●●●●●●●● ●●●●● ● ● ●●●● ● ● ●●●● ● ●●●●●● ●● ●● ● ● ●●●●●●●●● ●● ● ● ●●●●.●●●●●●●●●● (1)请在点阵图中画一个直角梯形上底是3cm,下底是5cm,高是2cm。 (2)在这个直角梯形中画一条线段，把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 奥数拓展九数图形 【典例精讲】数一数，包含O的三角形有多少个？ 【变式训练】数一数，下面图形中包含苹果的长方形共有几个？ 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(26-27四年级上·全国·课后作业)如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的距离是6分 米，则下面的结论错误的是()。 -m B 第19页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 A.AB=CD=6分米 B.CD⊥n C,AC=BD=6分米 D.AB II CD 2.(26-27四年级上·全国·单元测试)把8根小棒如图摆放，其中a‖b,cⅡd.涂色部分中，( 是梯形。 d ③ 4 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 3.(26-27四年级上·全国·单元测试)下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 4.(26-27四年级上·全国·单元测试)实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的 两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是( )米。 5.(26-27四年级上·全国·单元测试)欢欢想画一个梯形，需要在下图中找一个点D,使点D和点A、B、 C顺次连接成为一个梯形，点D一共有()种不同的选法。 ●●●●● 。。.BA ●●●●● 6.(26-27四年级上·全国·单元测试)铁路某路段有三条如图所示的铁轨，请你通过计算判断铁轨和 b铁轨是否互相垂直。 b 45×45° 7.(26-27四年级上·全国·单元测试)一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和8厘米。用这 样的4个平行四边形拼成一个新的平行四边形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 第20页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 8.(26-27四年级上·全国·课后作业)聪聪做了四个完全一样的平行四边形，已知一个平行四边形相邻 两条边分别长3厘米和4厘米。他想用这四个平行四边形拼成一个更大的平行四边形，那么拼成的大平行 四边形的周长最长是多少？最短是多少？ 9.(26-27四年级上·全国·课后作业)己知a1b,下图中有哪些梯形？把它们写出来。 A B C D E F G H 10.(26-27四年级上·全国·课后作业)下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 锦 滨 」路 长安路 路 路 建设路 (1)写出两组互相垂直的道路。 (2)写出两组互相平行的道路。 【思维创新练】 1.(26-27四年级上·全国·课后作业)在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另 一个不可能是( )。 A.平行四边形B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形 第21页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 2.(26-27四年级上·全国·课后作业)我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉 字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔 画的是( )。 A.三 B.小 C.上 D.下 3.下面的说法中，正确的是( A.梯形的腰一定比梯形的高短 B.60°、75°、90°是一个三角形的三个内角 C.一个平行四边形的周长是130cm,一边的长是30cm,与这条边相邻的一条边的长是35cm 4.(26-27四年级上·全国·单元测试)平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边 形的周长是( )厘米。 5.(2026四年级上·全国·专题练习)如下图所示，将一张长10cm、宽4cm的长方形纸与一张三角形纸 交叉摆放，重叠部分是( )形。如果∠1=120°，那么∠2=()°，∠3=( ）°。 73 6.数一数，下图中有( )个平行四边形，()个梯形。 7.(25-26四年级上·河南南阳·期中)同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一 定互相平行。( ）(判断对错) 8.(24-25四年级上安徽毫州期中)一张纸上画了两条直线，他们不是互相平行，就是互相垂直。（ (判断对错) 9.(25-26四年级下·全国·课前预习)如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四 边形的周长最大是多少厘米？ 5厘米 3厘米 4厘米 第22页共23页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 10.用不同颜色的笔圈一圈。 (1)①先把四边形圈出来： ②再把有平行的边的图形圈出来： ③再把两组对边都平行的图形圈出来： ④最后把有4个直角的图形圈出来。 (2)你有什么发现？写出1~2条。 第23页共23页null2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 平行四边形和梯形『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+14个考点讲练+9个奥数拓展+真题难度分层演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平行与垂直 3 知识点二 平行四边形 4 知识点三 梯形 5 知识点四 四边形之间的关系 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 平行的特征及性质 6 高频考点二 垂直的特征 7 高频考点三 画垂线 8 高频考点四 点到直线的距离 9 高频考点五 画平行线 10 高频考点六 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 12 高频考点七 平行四边形的概念及特点 14 高频考点八 画平行四边形 15 高频考点九 平行四边形的切拼 17 高频考点十 梯形的概念及特点 18 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 19 高频考点十二 画梯形 21 高频考点十三 四边形的分类及关系 24 高频考点十四 数图形 25 难点突破 奥数拓展 26 奥数拓展一 垂直的特征 26 奥数拓展二 画垂线 28 奥数拓展三 画平行线 29 奥数拓展四 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 31 奥数拓展五 平行四边形的概念及特点 33 奥数拓展六 平行四边形的切拼 34 奥数拓展七 梯形的概念及特点 35 奥数拓展八 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 36 奥数拓展九 数图形 37 优选真题 实战演练 39 【能力提升练】 39 【思维创新练】 44 知识点一 平行与垂直 1.平行的定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。例如：①下图中直线a与b互相平行，记作a/∥/b，读作a平行于b。②在黑板相对的两条长边，它们在同一平面内且不会相交，就是互相平行的关系。 2.垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。例如：①下图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。②像窗户的横框和竖框相交形成直角，它们就是互相垂直的。 3.同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交（包括垂直这种特殊的相交情况）。例如，在一张纸上任意画两条直线，它们只会出现这两种位置关系。 4.画平行线与垂线 （1）画平行线：可以借助直尺和三角尺来画。先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，然后用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，平移三角尺，沿着三角尺与已知直线重合的直角边画出的直线就是已知直线的平行线。 （2）画垂线：同样借助三角尺，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过指定点，沿着这条直角边画直线，就是已知直线的垂线。比如要过直线外一点画已知直线的垂线，就按照这个方法操作。 5.垂直线段最短：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。生活中的伸缩门，其形状在拉伸过程中就可以看作平行四边形，它的两组对边始终保持平行。 2.特征 （1）边的特征：平行四边形的两组对边分别平行且相等。 （2）角的特征：平行四边形的两组对角分别相等。 3.特性：平行四边形具有不稳定性，容易变形。如生活中的升降衣架，利用平行四边形的不稳定性，可以方便地调整衣架的大小。 4.底和高 （1）底：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （2）高的画法：通常有两种画法，以不同的边为底，向对边作垂线。注意，画高时一定要用虚线，并标上垂直符号。 知识点三 梯形 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。像梯子的侧面形状，一般就是梯形，它只有一组对边平行。 2.梯形各部分名称：互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。从上底的一点向下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3.特殊梯形 （1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。直角梯形有两个直角。 4.梯形高的画法：与平行四边形类似，从梯形上底的任意一点向下底作垂线，这条垂线就是梯形的高，梯形有无数条高，且这些高都相等。 知识点四 四边形之间的关系 1.用集合图表示：可以用一个大的集合表示四边形，在这个集合里，平行四边形和梯形是两个不同的子集。其中长方形和正方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。也就是说，正方形包含于长方形，长方形包含于平行四边形，平行四边形和梯形共同构成四边形这个大集合。 2.关系总结：所有的长方形、正方形都是平行四边形，但平行四边形不一定是长方形或正方形；所有的正方形都是长方形，但长方形不一定是正方形；梯形和平行四边形是不同类型的四边形，梯形不属于平行四边形。 高频考点一 平行的特征及性质 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图中，直线AB和直线CD互相平行，线段( )和线段( )一样长（填序号），线段①和线段④的位置关系为( )。 【答案】 ① ④ 互相平行 【思路引导】因为直线AB和CD互相平行，线段①、④都是垂直于两条平行线的垂线段。两条平行线之间的所有垂线段长度都相等，所以①和④长度一样。线段①和线段④都同时垂直于互相平行的AB、CD两条直线，两条垂直于同一条直线的线段，位置关系是互相平行。 【规范解答】线段①和线段④一样长，线段①和线段④的位置关系为互相平行。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）下面几组直线中，两条直线互相平行的是( )，相交的是( )，互相垂直的是( )。（填序号） 【答案】 ①⑥ ②③④⑤⑦ ④⑤ 【思路引导】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此解答。 【规范解答】下面几组直线中，两条直线互相平行的是①⑥，相交的是②③④⑤⑦，互相垂直的是④⑤。 高频考点二 垂直的特征 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）双杠由两根横梁和四根支架组成，下图是操场上的一组双杠，双杠需要维修了，请你画出维修后的图，并说明这样维修的理由。      这样维修的理由： 【答案】 双杠的横梁和支架应该分别互相平行。 【思路引导】生活中双杠的4根支柱应该是互相平行的，借助三角尺，通过平移发现序号②这根支柱与其他3根不是互相平行的，所以这根支柱需要维修成与其他支柱互相平行的状态，这样保障横梁水平，使用安全。 【规范解答】 维修后如图： 理由：调整后四根支架互相平行、两根横梁互相平行，符合双杠的结构标准，可保障横梁水平，使用安全。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）图中有（    ）组线段互相平行，（    ）组线段互相垂直。 A．2；5 B．3；2 C．4；4 D．5；3 【答案】C 【思路引导】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行； 垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【规范解答】图中的图形ABCDEF是个六边形；灰色部分ABDE是长方形，4个角是直角， AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，AE∥BD，有4组线段互相平行； AB⊥AE，AB⊥BD，ED⊥AE，BD⊥DE，有4组线段互相垂直。 高频考点三 画垂线 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【答案】 【思路引导】从直线外一点到这条直线的所有连线里，和这条直线垂直的线段长度是最短的。观察图里A点的位置，它离左侧的岸边最近，所以只要从A点向左边的岸边画垂直线段，沿着这条线游上岸，路程就是最短的。 【变式训练】．（26-27四年级上·全国·课后作业）在同一平面内，过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 条；过直线上一点画已知直线的垂线，可以画 条。两个横线上的答案为（    ）。 ①0    ②1    ③2    ④无数 A．①② B．②② C．②③ D．④④ 【答案】B 【思路引导】根据垂线的基本性质：在同一平面内，过直线上一点或直线外一点，都只能画出一条直线与已知直线互相垂直。 【规范解答】过直线外一点画已知直线的垂线，可画1条，对应序号②；过直线上一点画已知直线的垂线，可画1条，对应序号②。 高频考点四 点到直线的距离 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业） (1)如图所示，测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝( ) AD＝( ) AE＝( ) AF＝( )   AC＝( ) (2)线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是( )。 (3)过直线外一点向已知直线画线段，能画( )条，只有和已知直线( )的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的( )。 【答案】(1) 5厘米 3厘米5毫米 3厘米 2厘米3毫米 3厘米 (2)AF (3) 无数 垂直 距离 【思路引导】（1）将直尺的零点刻度与线段的一端对齐，然后观察直尺上的刻度，找到与线段另一端对齐的刻度数值，读数即可。 （2）根据几何规律：点到直线的所有连线中，垂线段最短，图中AF垂直于直线BC，因此AF最短。 （3）过直线外一点向已知直线可以画无数条线段，只有和已知直线垂直的线段最短，这条垂线段的长度就叫做这点到直线的距离。 【规范解答】（1）测量线段AB、AD、AE、AF、AC的长度。 AB＝5厘米 AD＝3厘米5毫米 AE＝3厘米 AF＝2厘米3毫米 AC＝3厘米 （具体以实际测量为准） （2）线段AB、AD、AE、AF、AC中最短的一条线段是AF。 （3）过直线外一点向已知直线画线段，能画无数条，只有和已知直线垂直的线段最短，这条线段的长度叫作这点到直线的距离。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是( )米。 【答案】195 【思路引导】点到直线的所有连线中，垂线段最短。题目中与河边垂直的路线就是小马家到河边的距离，比较三条路线长度，找出最短的线段就是垂线段的长度，也就是小马家到河边的距离。 【规范解答】195＜280＜296 小马从家到河边喝水有三条路线，长度分别是280米、195米、296米，其中有一条路线与河边垂直。小马家到河边的距离是195米。 高频考点五 画平行线 【典例精讲】（25-26四年级上·河北邢台·期末）以下是得到一组平行线的三种方法。下面说法正确的是（    ）。 A．只有方法（1）和方法（2）正确 B．只有方法（1）和方法（3）正确 C．只有方法（2）和方法（3）正确 D．三种方法都正确 【答案】D 【思路引导】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此逐个分析选项判断，即可解答。 【规范解答】方法（1）：直尺的对边本身是平行的，沿着直尺的两条对边就可以画出一组平行线，方法正确。 方法（2）：两支铅笔并排靠紧时，笔边是互相平行的，沿着笔边可以画出一组平行线，方法正确。 方法（3）：点子图中，两条斜线倾斜程度完全相同，方向一致，因此两条线互相平行，方法正确。 得到一组平行线的三种方法。说法正确的是三种方法都正确。 【变式训练】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）操作。 （1）用数对表示，体育馆在（2，4），超市在（    ），游乐场在（    ）。 （2）琪琪从实验小学出发，先向南走400米，再向西走800米到达了少年宫，请在图中用“·”标注出少年宫的位置，少年宫在图书馆的（    ）方向。 （3）经过点C画出线段AB的平行线。 【答案】（1）（ 5，7）；（9，8） （2）西南； （2）（3）如下图： 【思路引导】（1）用数对表示位置时，前面的数字表示列，后面的数字表示行；根据体育馆在第2列4行，超市在第5列第7行，那么游乐场在第9列第8行，据此解答； （2）图上方位是“上北下南、左西右东”，根据观测点和目的地的位置关系确认方向，根据每条线段的长度确认需要走的路程； （3）过C点作线段AB的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与线段AB重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使C点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 【规范解答】（1）用数对表示，体育馆在（2，4），超市在（5，7），游乐场在（9，8）。 （2）图略；少年宫在图书馆的西南方向。 （3）图略 高频考点六 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26四年级上·广东东莞·阶段检测）在学习了平行与垂直的知识后，小明想动手画一个长方形。请你帮助小明完成以下任务。 (1)在下方空白处画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。 (2)在所画的长方形中再画一个最大的正方形并涂上阴影。 (3)算一算所画的长方形的周长和正方形的面积分别是多少？ 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)长方形周长是12厘米；正方形面积是4平方厘米 【思路引导】（1）使用直尺画一条水平线段，长度为4厘米，作为长方形的长。 在水平线段的两个端点处，分别向下（或向上）画垂直线段，长度为2厘米，作为长方形的宽。连接两个垂直线段的另一端点，形成另一条水平线段，长度也为4厘米。确保所有角都是直角，对边平行且相等。以此画一个长4厘米、宽2厘米的长方形即可。 （2）长方形的宽为2厘米，长边为4厘米，较短边为宽，因此最大正方形的边长等于宽的长度，即2厘米。 以长方形的一个顶点（如左下角）为起点，沿长边量取2厘米，标记点。从该点画垂直线段，长度为2厘米，与宽边相交。 连接各点，形成一个边长为2厘米的正方形。 将该正方形区域涂上阴影。 （3）长方形的周长＝（长 ＋ 宽）×2；正方形的面积＝边长×边长；代入数据，计算出所画的长方形的周长和正方形的面积分别是多少，列式计算即可。 【规范解答】（1）画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形如下： （2）在所画的长方形中再画一个最大的正方形并涂上阴影如下： （3）（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 2×2＝4（平方厘米） 答：长方形周长是12厘米，正方形面积是4平方厘米。 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）过点A画直线AB的垂线L，再以线段AB的长为长方形的长，画宽为2厘米的长方形ABCD。 【答案】 【思路引导】过直线上一点画已知直线的垂线：把三角尺的一条直角边与已知直线AB重合，沿着已知直线AB移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知A点重合，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，标上直角符合；以长边的A、B两个端点为垂足，向同一方向画两条长2厘米且与长边都垂直的线段作为长方形的两条宽，把这两条宽的另外两个端点C、D连接起来，画出长方形的另一条长边，即可画出长方形ABCD。 【规范解答】图略。 高频考点七 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（2026四年级上·全国·专题练习）园博园一年一度的花卉展又到了，郁金香展区要设计成平行四边形。 (1)请你从图中选一个点D，并画出平行四边形ABCD。 (2)请你量一量∠ABC＝( )。 (3)从E点出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 (4)设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【答案】(1) (2)55° (3) (4)（答案不唯一） 【思路引导】（1）以AB、BC为相邻边，以C点往左数7格取一点D，使DC平行于AB，AD平行于BC，然后顺次连接各点即可得到一个平行四边形；据此在方格纸中画图； （2）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此解答； （3）从直线外一点到已知直线画的垂直线段和斜线，垂线段最短；过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此把展区靠近点E这条边看作一条直线，由点E向直线画垂直线段即可； （4）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形；据此从平行四边形的一个顶点向对边画线段把它分成一个三角形和一个等腰梯形，据此画图。 【规范解答】（1）略 （2）通过量一量可知，∠ABC＝55°； （3）略 （4）略 【变式训练】（26-27四年级上·全国·单元测试）有一块空地，同学们打算将草莓，西红柿和西瓜分别种在梯形、平行四边形和三角形的区域内，你能帮他们设计出三块区域的分配方案吗？请画出示意图并在图中标出每块区域的种植物。 【答案】（画图方法不唯一） 【思路引导】连接BE两点形成一个三角形；再从BC中间取一点作BE的平行线，这样可以形成一个平行四边形，右边的区域就是梯形。 【规范解答】画图略 高频考点八 画平行四边形 【典例精讲】（25-26四年级下·广东深圳·期末） (1)在下面的点子图中分别画出一个平行四边形和一个梯形。 (2)画出一条线段，将上面的梯形分成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【思路引导】（1）平行四边形是两组对边分别平行，在点子图上选4个点，保证两组对边分别平行，顺次连接这4个点，就得到平行四边形。梯形是只有一组对边平行，在点子图上选4个点，保证只有一组对边平行，顺次连接这4个点，就得到梯形。 （2）从梯形较短的上底的任意一个端点出发，画一条和梯形不平行的那条腰互相平行的线段，让线段另一端落在梯形的下底上，这样就把原梯形分成了1个平行四边形和1个三角形。 【规范解答】（1）略 （2）略 【变式训练】（25-26四年级下·福建泉州·期末）按要求画一画。 (1)在下面格子中画一个等腰直角三角形。 (2)在图中找到点D，使四边形ABCD是一个平行四边形，并补充完整；在平行四边形ABCD中画一条线段，把这个平行四边形分成两个完全一样的梯形。 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【思路引导】（1）选择一个方格的交点作为三角形的起点，从此点出发，向右水平绘制一条线段，确保这条线段的长度是4个方格子，再从此点出发，向上竖直绘制一条线段，确保这条线段的长度是4个方格子，最后使用直尺，将两条线段的另一端点连接起来，就是一个等腰直角三角形。 （2）从点A出发，向右水平绘制一条线段，确保这条线段的长度是4个方格子，这条线段的终点，记作点D。最后使用直尺，将点C与点D连接起来。这样，就得到了平行四边形ABCD。 从点A出发，向右数一个格确定一个点，从点C出发，向左数一个格确定一个点，最后使用直尺，将两点连接起来即可。 【规范解答】（1）略 （2）略 高频考点九 平行四边形的切拼 【典例精讲】用两个三角形拼成了一个平行四边形，这两个三角形应是（    ）三角形。 A．完全一样的 B．等底等高的 C．等边的 【答案】A 【变式训练】一个等边三角形的周长是36厘米，用两个这样的等边三角形可以拼成的平行四边形的周长是（    ）厘米。 A．12 B．48 C．144 【答案】B 【思路引导】两个三角形拼成的平行四边形，其中两个三角形的两条边在平行四边形内部进行重合，所以平行四边形的周长等于4条等边三角形的边长。根据等边三角形周长＝边长×3，计算出等边三角形的边长，进行计算即可。 【规范解答】三角形的边长＝36÷3＝12， 平行四边形的边长＝12×4＝48。 故答案为：B。 【考点剖析】本题考查的是三角形和平行四边形的关系，注意两个三角形拼成平行四边形后，有两条边位于平行四边形内部，计算平行四边形周长时，不用计算。 高频考点十 梯形的概念及特点 39．（26-27四年级上·全国·单元测试）按要求在下面图形中画一条线段。 (1)分成两个相同的梯形。     (2)分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】(1)（画法不唯一） (2)（画法不唯一） 【思路引导】（1）在平行四边形上边，距离左顶点一段距离点一个点；在平行四边形下边，距离右顶点同样长一段距离点一个点；连接这两个点，所得两个梯形，形状、大小完全一样。注意这两个点不能是平行四边形相对边上中间的点。（画法不唯一） （2）在梯形的上底上（不取端点）任选一点，在梯形下底上从左边端点起截取和上底左边端点到任选一点同样长的线段，连接任选一点和截取线段的右边端点，即可得到左边是平行四边形，右边是梯形；在梯形的上底上（不取端点）任选一点，在梯形下底上从右边端点起截取和上底右边端点到任选一点同样长的线段，连接任选一点和截取线段的左边端点，即可得到右边是平行四边形，左边是梯形。（画法不唯一） 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）分别在梯形里画一条线段，按要求把梯形分成两个图形。 (1)两个三角形。 (2)两个梯形。 (3)一个平行四边形和一个梯形。 【答案】(1)（画法不唯一） (2)（画法不唯一） (3)（画法不唯一） 【思路引导】（1）用一条线段连接梯形中上下底的不同侧顶点，即可把梯形分成两个三角形。 （2）分别在梯形上底、下底上各取一个除顶点外的点，连接两点且连线不与腰平行，即可把梯形分成两个梯形。 （3）分别在梯形上底、下底上各取一个除顶点外的点，连接两点且连线与腰平行，即可把梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【规范解答】（1）图略。 （2）图略。 （3）图略。 高频考点十一 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 (1)同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ (2)如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【答案】(1)42米 (2)下底靠墙用的篱笆最少；27米 【思路引导】（1）因为篱笆长度是等腰梯形种植田的周长，且等腰梯形的两条腰长度相等，所以先明确等腰梯形周长公式为上底＋下底＋腰长×2，代入对应数值计算即可。 （2）分别计算上底、下底、腰靠墙时的周长再排序，找到最少的篱笆长度。 【规范解答】（1）7＋15＋10×2 ＝7＋15＋20 ＝42（米） 答：最少需要42米长的篱笆。 （2）上底靠墙： 15＋10×2 ＝15＋20 ＝35（米） 下底靠墙： 7＋10×2 ＝7＋20 ＝27（米） 腰靠墙：7＋15＋10＝32（米）   27＜32＜35 答：下底靠墙用的篱笆最少，最少需要27米长的篱笆。 【变式训练】（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上。 (1)量一量，∠B＝( )°。 (2)请在图中找一个点D，并连接AD和CD构成等腰梯形ABCD。 (3)过点B画梯形下底DC的垂线BE，并标出垂足E。 (4)在梯形ABCD中画一条线段，将它分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】(1)124 (2) (3) (4)（画法不唯一） 【思路引导】（1）把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与一条边重合，从这条0°刻度线数起，看另一条边对着的刻度，就是这个角的度数。 （2）只有一组对边互相平行的四边形叫作梯形，两腰相等的梯形叫作等腰梯形；要使ABCD是等腰梯形，则CD应与AB平行，且点C和D分别与点B和A所在的竖线距离均为2格；据此从点C向左作线段AB的平行线段，长度为3＋2＋2＝7（格），在线段的另一端点处标上字母D，并连接AD和CD即可。 （3）用三角板的一条直角边与下底DC重合，另一条直角边与点B重合，沿另一条直角边从点B向下底DC作垂线，与DC相交于点E，标上字母E和直角符号即可。 （4）两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，由三条线段围成的封闭图形叫作三角形；据此从梯形上底AB的端点A或B作腰的平行线即可，如从点A相对的顶点C起，在下底上找出距离3格的点，并与点A相连；据此作图。 【规范解答】（1）通过测量，∠B＝124°。 （2）作图略 （3）作图略 （4）作图略 高频考点十二 画梯形 【典例精讲】（25-26四年级下·广东揭阳·期末）在下面的方格纸上画一个等腰梯形，并在这个梯形中画一条线段，将这个梯形分成一个平行四边形和一个梯形。 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，如果梯形的两腰相等，这样的梯形就叫做等腰梯形；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。等腰梯形是只有一组对边平行（这组对边叫底），且两条腰长度相等的梯形，在方格上只要让上下底居中、左右腰占的格数对称，即可画出等腰梯形； 平行四边形的特点是 两组对边都互相平行； 利用等腰梯形原本上下底平行的特点，只要从梯形上底的一个点（不包括左右两个端点），作一条和梯形其中一条腰平行的线段，即可得到一个平行四边形和一个梯形。 【规范解答】图略 【变式训练】（25-26四年级下·山东德州·期末）按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） (1)增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 (2)画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 (3)在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）等腰梯形的特点：一组对边平行，另一组对边长度相等。已知AB为上底，长2厘米，要让CD作为下底并且AD＝BC。由图可知， C在B的左侧2格处，所以点D应在A的右侧2格处，与C在同水平一条直线上，连接ABCD就可得到等腰梯形ABCD；过B向下作垂线短交CD于点H， BH就是等腰梯形ABCD的高。 （2）平行四边形的特点：两组对边分别平行并且相等，先确定一点C向右数5个小格，画一条5厘米的线段作为底，端点为D。从C点向上数4个小格，向右偏移2个小格确定一个点B，再画出与底平行并且长度为5个小格的对边，端点为A，最后连接两边的端点BC、AD，形成平行四边形ABCD。（答案不唯一） （3）过平行四边形的一个端点D，向对边AB作垂线段，交AB于点E，这条线段会把平行四边形分成一个直角梯形和一个三角形。 【规范解答】（1）略 （2）略 高频考点十三 四边形的分类及关系 【典例精讲】（25-26四年级下·山东德州·期末）下面的包含关系表示错误的是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】梯形是只有一组对边平行的四边形，等腰梯形是两腰相等的梯形。等腰三角形是至少有两边相等的三角形，等边三角形是三边都相等的三角形。长方形是四个角为直角的平行四边形，正方形是四条边都相等的长方形。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形。 【规范解答】A．四边形包含梯形，梯形包含等腰梯形，这个包含关系是正确的。 B．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，这个图的包含关系画反了，不正确。 C．平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，这个包含关系是正确的。 D．梯形和平行四边形，二者是并列关系，都属于四边形，四边形包含平行四边形和梯形，这个包含关系是正确的。 【变式训练】下列说法中，正确的有（    ）个。 ①有3盒钢笔，每盒4支，共72元，钢笔24元/盒。 ②图A中，左图可以由中间图旋转得到，右图可以由左图平移得到。 ③4□□×1□，积可能四位数，也可能五位数。 ④长方形、平行四边形、梯形的关系可以用下面右边图B表示。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】逐一分析每个选项，然后数出正确的有几个。 【规范解答】①有3盒钢笔，每盒4枝，共72元，钢笔24元/盒。 72÷3＝24（元/盒），正确。 ②图A中，左图不能由中间图旋转得到，但右图可以由左图平移得到。 因为中间图形里面的黑三角朝右，旋转到左图的方向应该黑三角朝左，原题说法错误。 ③4□□×1□，最大数499×19＝9481，最小数400×10＝4000，积都是四位数，原题说法错误。 ④长方形、平行四边形、梯形的关系不可以用下面右边图B表示。 因为长方形是特殊的平行四边形，可以是平行四边形包含长方形，但平行四边形两组对边分别平行，梯形只能有一组对边平行，它们之间不存在包含关系，原题说法错误。 分析可知正确的只有一个 故答案为：A 高频考点十四 数图形 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）下图是用七巧板拼的一个直角梯形，这个直角梯形中一共有( )个四边形。 【答案】15 【思路引导】把七巧板中每个图形标记序号，然后依次数出四边形的数量。 【规范解答】 单个的四边形有：3，7，共2个； 由2块图形组成的四边形有：1＋2，4＋7，6＋7，5＋6，3＋5，共5个； 由3块图形组成的四边形有：4＋6＋7，5＋6＋7，3＋4＋5，3＋5＋6，共4个； 由4块及以上图形组成的四边形有：1＋2＋3＋4＋5，2＋3＋4＋5，3＋4＋5＋6＋7，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7，共4个； 2＋5＋4＋4＝15（个） 【变式训练】（25-26四年级上·湖南张家界·期末）数一数下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 6 12 【思路引导】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【规范解答】单独的平行四边形有3个，两个平行四边形组成的平行四边形有2个，三个平行四边形组成的平行四边形有1个，共3＋2＋1＝5＋1＝6个； 单独的梯形有6个，两个梯形组成的梯形有4个，三个梯形组成的梯形有2个，共6＋4＋2＝10＋2＝12个。 数一数下图中有（6）个平行四边形和（12）个梯形。 奥数拓展一 垂直的特征 【典例精讲】（24-25三年级上·全国·单元测试）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）如果图上1厘米代表实际200米，请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）400米 【思路引导】（1）利用直尺和三角板，将三角板的一条直角边与下水道重合，直尺靠紧三角板另一边，平移三角板使边过A点，沿三角板过A点的边画直线，此直线即为水管。 （2）用三角板，让一条直角边与下水道重合，推动三角板使另一条直角边过A点，沿过A点的直角边画线段到下水道，这条垂线段就是最短排水沟。 （3）先量出图上排水沟（垂线段）长度，实际长度＝200×图上排水沟长度。实际操作中按测量值算，比如量得图上2厘米，实际就是400米。 【规范解答】（1）经过A点作下水道的平行线，如图： （2）经过A点作下水道的垂线，如图： （3）经过测量A点到下水道的距离是2厘米，那么这条排水沟的实际长度是： （米） 答：这条排水沟的实际长度是400米。 【考点剖析】（1）要掌握直尺和三角板画平行线的步骤（贴、靠、移、画），就能完成。 （2）理解点到直线，垂线段最短这一基本几何性质，操作上同样用三角板画垂线。 （3）需先测量图上距离，再用图上距离×比例尺，算出实际长度，涉及简单测量和乘法应用。 【变式训练】数一数图中有( )组互相垂直的线段，有( )组互相平行的线段。 【答案】 4 4 【思路引导】当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答。 【规范解答】上图中有4组互相垂直的线段，有4组互相平行的线段。 【考点剖析】本题主要考查对垂直和平行概念的理解。 奥数拓展二 画垂线 【典例精讲】．（2026三年级下·江苏·专题练习）将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【答案】 【思路引导】两点之间线段距离最短，把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，从A点出发到点P喝水，然后到位于B点的军营的距离最短。据此画图。 【规范解答】把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，因为B'是B关于河岸的对称点，所以PB＝PB'，路线“A→P →B”的长度等于AP＋PB＝AP＋PB'，也就是A和B'之间的线段长度。根据两点之间线段距离最短，此时路线是最短的。 图略。 【变式训练】25-26四年级上·河北·课后作业）小明一家在公园里游玩，从公园中心湖西岸的A点出发，划船到东岸后，前往凉亭B。要使他们划船的距离最短，该怎样走呢？请在图上画一画。 【答案】见详解 【思路引导】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离； 过一A点作已知直线的垂线：把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着直线平移三角板，使另一条直角边与直线外已知A点重合，沿着三角板的另一条直角边画一条直线，就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【规范解答】 奥数拓展三 画平行线 【典例精讲】草地上有一只小羊，请你画出小羊从草地走到小河的最近路线。牧羊人计划以M点为起点修一条水渠与小河相平行，请你在图上画出这条水渠的修建路线。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据垂线段最短，即可画出这条最近的路线； （2）根据在同一平面内不想交的两条直线互相平行，即可画出过M点平行于小河的水渠。 【规范解答】如图： 【考点剖析】此题考查了平行和垂直作图的方法。过直线外的一点与已知直线最短的距离即是垂线段的长度；过直线外一点可做一条与已知直线平行的直线。 【变式训练】（26-27五年级上·上海·开学考试）点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 (1)请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 (2)请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用平行线的特征：经过点A画一条直线，和公路BC不相交，就得到经过村子且和公路平行的路。 （2）点到直线之间，垂线段最短。从点A向直线BC作垂线段，这条垂线段就是村子到公路最近的路。 【规范解答】（1）作图方法：用直尺和三角板，把三角板的一条直角边对齐BC，将直尺靠在三角板的另一条直角边上，沿着直尺平移三角板，使这条边经过点A，沿着这条边画出直线，即为过A点且与BC平行的路。（图略） （2）作图方法：把三角板的一条直角边对齐BC，沿着BC移动三角板，让另一条直角边经过点A，从A点向BC画出垂线段，标上直角符号，这条垂线段就是距离最近的路。（图略） 奥数拓展四 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 【典例精讲】（25-26三年级下·贵州贵阳·期末）下面两条线段互相垂直。 (1)以线段BC为长，线段AB为宽，画出一个长方形。 (2)量一量长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】(1) (2) 6.5 3 【思路引导】（1）长方形的对边互相平行且长度相等，邻边互相垂直，画图步骤：① 从点A出发，画一条和BC平行、长度等于BC的线段； ② 从点C出发，画一条和AB平行、长度等于AB的线段； ③ 这两条新线段的交点就是长方形的第四个顶点，围起来的图形就是符合要求的长方形。 （2）用直尺的0刻度对齐线段的一端，读出线段另一端对应的直尺刻度，就得到线段的长度。 【规范解答】（1）略 （2）长方形的长是6.5厘米，宽是3厘米。 56．（19-20三年级下·江苏·期末）在下面的方格图中先画一个长8厘米、宽4厘米的长方形，再画一个与它周长相等的正方形，并分别求出正方形和长方形的面积。（每个小方格的边长表示1厘米） 长方形的面积：                 正方形的面积： 【答案】长方形面积：32平方厘米；正方形面积：36平方厘米。 作图如下： 【思路引导】先算出长方形的周长＝（8＋4）×2＝12×2＝24（厘米），因为24÷4＝6，所以正方形的边长应该是6厘米，因此在方格中画出一个长8厘米、宽4厘米的长方形和一个边长是6厘米的正方形，再根据面积公式分别算出两个图形的面积。 【规范解答】长方形的面积＝8×4＝32（平方厘米），正方形的面积＝6×6＝36（平方厘米）。 故答案为： 长方形的面积：32；正方形的面积：36。 【考点剖析】本题主要考查的是长方形和正方形的周长与面积，熟练掌握周长和面积的公式是解题的关键。 奥数拓展五 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26五年级上·山西临汾·阶段检测）下列说法正确的有（    ）个。 ①一个数不是正数就是负数。 ②等底等高的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 ③平行四边形、三角形可以看成“特殊的梯形”。可以用梯形的面积公式计算它们的面积。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】①0既不是正数也不是负数，故“一个数不是正数就是负数”错误；②等底等高的三角形形状不一定相同，只有完全相同的三角形才能拼成平行四边形，该说法错误；③平行四边形、三角形（上底＝0）可以看成“特殊的梯形”。可以用梯形的面积公式计算它们的面积，该说法正确。 【规范解答】根据分析，①②说法错误，③说法正确， 故答案为：B 【考点剖析】对于①，容易忽略 “0 既不是正数也不是负数” 这一特殊情况，错误认为一个数不是正数就是负数。 对于②，混淆 “等底等高” 和 “完全相同” 的概念，误以为等底等高的三角形一定能拼成平行四边形。 对于③，三角形（上底＝0）是“特殊的梯形”。 【变式训练】在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过C点作AB边的平行线，此时有4个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。 【规范解答】 4＋2＝6（种） 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的是搭配问题的计算，熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。 奥数拓展六 平行四边形的切拼 【典例精讲】想一想，补好这面墙需要多少块砖？ 要( )块砖。 【答案】12 【变式训练】按照要求把下面的图形分一分。 分成2个三角形 分成1个正方形和1个长方形 分成4个三角形 分成5个大小形状相同的三角形 【答案】 奥数拓展七 梯形的概念及特点 【典例精讲】在下图中找出平行四边形和梯形，并数一数，每种图形各有多少个？ 【答案】平行四边形7个；梯形9个 【思路引导】两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【规范解答】平行四边形有ABEF、ABFG、BCFG、CDGH、ACEG、BDFH、ADEH。 梯形有ABEG、CDGI、ACFG、ADFH、ADFI、BDGH、BDGI、BDFI、ADEI。 答：平行四边形有7个，梯形有9个。 【考点剖析】此题主要考查了平行四边形和梯形的识别，需熟练掌握。 【变式训练】数一数，如图中有( )个三角形，有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【答案】 2 3 4 【思路引导】根据三角形、梯形和平行四边形的含义：由三条线段首位相连所围成的平面图形，叫做三角形；只有一组对边平行的四边形，叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；进而分别数出即可。 【规范解答】观察图形可知： 三角形在这个图形的右边部分，只有2个。 单个的平行四边形有2个，2个单个平行四边形组成1个平行四边形，所以一共有2＋1＝3个平行四边形。 观察图形的上部分有1个梯形，下部分是2个梯图形，整个图形是1个梯形，所以一共有1＋2＋1＝4个梯形。 数一数，如图中有（2）个三角形，有（3）个平行四边形，有（4）个梯形。 【考点剖析】本题难点在于找出复合三角形、复合梯形的个数、复合平行四边形，按照一定的顺序找即可做到不重不漏。 奥数拓展八 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对应图形。 （1）上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 （2）面积是10平方厘米的平行四边形。 【答案】 【思路引导】（1）在方格纸上，上底画2格，下底画4格，两底之间的距离为高3格。 （2）平行四边形面积＝底×高。面积10平方厘米，底和高可以是5厘米和2厘米，或10厘米和1厘米。选底5厘米高2厘米画。 【规范解答】略 【变式训练】．（25-26四年级上·福建福州·期末）操作。 （1）请在点阵图中画一个直角梯形上底是3cm，下底是5cm，高是2cm。 （2）在这个直角梯形中画一条线段，把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【答案】（1）（2）画图如下： 【思路引导】（1）先画一条竖线段，长度为2cm，以这条线段的两个端点为端点分别作两条垂线段，上面一条长3cm，下面一条长为5cm，然后把两条垂线段的另外两个端点用线段连接起来即可得到需要的直角梯形。 （2）以直角梯形垂直的腰上面的端点作另一腰的平行线段即可把这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】（1）（2）画图略。 奥数拓展九 数图形 【典例精讲】数一数，包含○的三角形有多少个？ 【答案】16个 【思路引导】 如图：1个图形包含○的三角形是图形4，有1个。2个图形拼成的包含○的三角形是图形4和图形5、图形4和图形3、图形4和图形9，有3个。3个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3拼成的三角形、图形4、图形3、图形2拼成的三角形，有2个。4个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3、图形2拼成的三角形、图形4、图形3、图形2、图形1拼成的三角形、图形4、图形5、图形9、图形10拼成的三角形、图形4、图形3、图形8、图形9拼成的三角形，有4个。5个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3、图形2、图形1拼成的三角形，有1个。6个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3、图形8、图形9、图形10拼成的三角形、图形4、图形3、图形2、图形7、图形8、图形9拼成的三角形，有2个。8个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3、图形2、图形7、图形8、图形9、图形10拼成的三角形、图形4、图形3、图形2、图形1、图形6、图形7、图形8、图形9拼成的三角形，有2个。10个图形拼成的包含○的三角形是图形4、图形5、图形3、图形2、图形1、图形6、图形7、图形8、图形9、图形10拼成的三角形，有1个。一共有（1＋3＋2＋4＋1＋2＋2＋1）个。 【规范解答】1＋3＋2＋4＋1＋2＋2＋1 ＝4＋2＋4＋1＋2＋2＋1 ＝6＋4＋1＋2＋2＋1 ＝10＋1＋2＋2＋1 ＝11＋2＋2＋1 ＝13＋2＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 答：包含○的三角形有16个。 【考点剖析】要按顺序不重复、不遗漏地数出包含○的三角形。 【变式训练】数一数，下面图形中包含苹果的长方形共有几个？ 【答案】18个 【思路引导】苹果所在的方格的上、下、左、右分别有3条、2条、3条、1条线，那么包含苹果的长方形的四条边就有3、2、3、1种方法，依次相乘得到总数。 【规范解答】（个） 答：包含苹果的长方形共有18个。 【考点剖析】本题参考点是几何计数问题，也可以分别数出苹果所在的方格左上角和右下角的点的数量，相乘得到包含苹果的长方形数量。 【能力提升练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）如图，直线m和直线n互相平行，直线m与直线n的距离是6分米，则下面的结论错误的是（    ）。 A．分米 B． C．分米 D． 【答案】C 【思路引导】平行线间距离性质：两条平行线间所有垂线段长度相等，垂线段长度就是平行线间的距离。长方形特征：对边互相平行、对边长度相等。垂直定义：一条直线与另一条直线相交成直角，两条直线互相垂直。 【规范解答】A．AB、CD是垂线段，AB＝CD＝6分米，正确； B．图中有直角标记，，正确； C．AC、BD是水平方向线段，不是垂线段，长度不等于6分米，错误； D．AB、CD同时垂直于平行线，，正确。 2．（26-27四年级上·全国·单元测试）把8根小棒如图摆放，其中，．涂色部分中，（    ）是梯形。 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【思路引导】梯形：只有一组对边平行的四边形；平行四边形：两组对边分别平行的四边形； 【规范解答】图形①：四边形，上下两条边在平行线a、b上，只有一组对边平行，所以，是梯形 ； 图形②：因为，，两组对边分别平行是平行四边形，不是梯形； 图形③：四条边中找不到一组互相平行的边，不是梯形； 图形④：四边形，存在一组互相平行的对边，另一组不平行，是梯形。 3．（26-27四年级上·全国·单元测试）下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 5 3 【思路引导】平行四边形：两组对边分别平行；梯形：只有一组对边平行；按顺序数：先数单个小图形，再数2个组合，再数多个组合，不重复、不漏数。 【规范解答】数平行四边形：右上角的平行四边形1个；右下角的平行四边形1个；中间平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形组合的大平行四边形1个；右上角的平行四边形＋右下角的平行四边形＋中间平行四边形组合的大平行四边形1个；1＋1＋1＋1＋1＝5（个），故一共有5个平行四边形。 数梯形：左边的小梯形1个；左边的小梯形＋中间平行四边形组合的梯形1个；整个大图形是1个梯形；1＋1＋1＝3（个），故一共有3个梯形。 4．（26-27四年级上·全国·单元测试）实验小学的教学楼前有一块平行四边形的草坪，小亮沿它相邻的两条边一共走了112步，已知他一步的平均长度约是50厘米，那么这块草坪的周长约是( )米。 【答案】112 【思路引导】由平行四边形的性质对边相等，平行四边形的周长等于四边之和。先用乘法算出相邻两边的总长度，再根据1米＝100厘米进行单位换算，最后再乘2即可。 【规范解答】112×50＝5600（厘米） 5600厘米＝56米 56×2＝112（米） 这块草坪的周长约是112米。 5．（26-27四年级上·全国·单元测试）欢欢想画一个梯形，需要在下图中找一个点D，使点D和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，点D一共有( )种不同的选法。 【答案】5 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；过C点作AB边的平行线，此时有3个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线， 此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；据此解答。 【规范解答】作图如下： （种） 一共有5种不同的选法。 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）铁路某路段有三条如图所示的铁轨，请你通过计算判断a铁轨和b铁轨是否互相垂直。 【答案】180°－45°－45°＝90°，所以a铁轨与b铁轨互相垂直 【思路引导】互相垂直：两条直线相交成直角。平角是，然后用减去左右两个角的度数，求出中间这个角的度数，如果是两条铁轨就垂直。 【规范解答】 答：a铁轨与b铁轨互相垂直。 7．（26-27四年级上·全国·单元测试）一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和8厘米。用这样的4个平行四边形拼成一个新的平行四边形，拼成的图形的周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】 76厘米；56厘米 【思路引导】要使拼成的平行四边形周长最长，需让拼接时重合的边总长度最短，即将短边拼接，4个排成一排； 要使周长最短，需让重合的边总长度最长，即拼成2行2列，再结合平行四边形周长公式计算。 【规范解答】沿短边拼接成一排时周长最长： （厘米） 拼成2行2列时周长最短： （厘米） 答：拼成的图形的周长最长是76厘米，最短是56厘米。 8．（26-27四年级上·全国·课后作业）聪聪做了四个完全一样的平行四边形，已知一个平行四边形相邻两条边分别长3厘米和4厘米。他想用这四个平行四边形拼成一个更大的平行四边形，那么拼成的大平行四边形的周长最长是多少？最短是多少？ 【答案】周长最长是38厘米；周长最短是28厘米 【思路引导】小平行四边形相邻边是3厘米、4厘米，要让大平行四边形周长最长，就要尽量把短的边拼在一起藏起来，减少被遮住的总边长：把4个小平行四边形顺着3厘米的短边依次拼接，拼成的大平行四边形相邻边分别是4厘米和4×4＝16厘米，计算出周长即可。 要让周长最短，就要尽量把长的边拼在一起藏起来，让大平行四边形的边长尽可能接近：把4个小平行四边形两两组合，分别把长边沿长、短边沿宽拼接，最终拼成相邻边为3×2＝6厘米和4×2＝8厘米的大平行四边形，计算周长即可。 【规范解答】按如下拼法拼成的周长最长： 4×4＝16（厘米） （16＋3）×2 ＝19×2 ＝38（厘米） 按如下拼法拼成的周长最短： 4×2＝8（厘米） 3×2＝6（厘米） （8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 答：拼成的大平行四边形的周长最长是38厘米，最短是28厘米。 9．（26-27四年级上·全国·课后作业）已知，下图中有哪些梯形？把它们写出来。 【答案】梯形ABFE；梯形BCGF；梯形CDHG；梯形ACGE；梯形BDHF；梯形ADHE 【思路引导】梯形的定义：只有一组对边互相平行的四边形是梯形。已知直线a和b平行，所以只要选出四个顶点组成的四边形，让其中一组对边分别在a、b上，且另外一组对边不平行，就符合梯形的要求。 【规范解答】答：梯形有梯形ABFE；梯形BCGF；梯形CDHG；梯形ACGE；梯形BDHF；梯形ADHE。 10．（26-27四年级上·全国·课后作业）下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 (1)写出两组互相垂直的道路。 (2)写出两组互相平行的道路。 【答案】(1)人民路和建设路，长安路和永康路（答案不唯一） (2)长安路和建设路，人民路和永康路 【思路引导】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，据此解答。 【规范解答】（1）由图可知，人民路和建设路，长安路和永康路，人民路和长安路，建设路和永康路都互相垂直，写出两组即可。 （2）由图可知，长安路和建设路，人民路和永康路都互相平行。 【思维创新练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是（    ）。 A．平行四边形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】A 【思路引导】根据梯形只有一组对边平行、平行四边形两组对边分别平行的特征，判断剪后的图形可能情况。 【规范解答】过梯形上底的顶点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和三角形； 过上底中间的点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和梯形（包括直角梯形、等腰梯形）。 梯形只有一组对边平行，剪一刀无法得到两个平行四边形，因此另一个不可能是平行四边形。 综上所述在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是平行四边形。 2．（26-27四年级上·全国·课后作业）我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（    ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 【答案】C 【思路引导】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。逐个分析汉字笔画的位置关系即可。 【规范解答】A．“三”的三个横互相平行，没有相交成直角的笔画，只有平行没有垂直，不符合要求。 B．“小”的笔画间既没有互相平行的，也没有互相垂直的，不符合要求。 C．“上”的两个横互相平行，竖和两个横都互相垂直，既有平行又有垂直，符合要求。 D．“下”的横和竖互相垂直，只有1个横，没有互相平行的笔画，不符合要求。 3．下面的说法中,正确的是(　　)． A．梯形的腰一定比梯形的高短 B．60°、75°、90°是一个三角形的三个内角 C．一个平行四边形的周长是130 cm,一边的长是30 cm,与这条边相邻的一条边的长是35 cm 【答案】C 4．（26-27四年级上·全国·单元测试）平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】26 【思路引导】由题意可知：8厘米的边的邻边的长度是8－3＝5（厘米），依据平行四边形的周长公式＝（一条边＋它的邻边）×2，代入数据即可求解． 【规范解答】另一条边长：8－3＝5（厘米） 平行四边形的周长： （8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 5．（2026四年级上·全国·专题练习）如下图所示，将一张长10cm、宽4cm的长方形纸与一张三角形纸交叉摆放，重叠部分是( )形。如果∠1＝120°，那么∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 梯 60 120 【思路引导】长方形的对边平行且相等，四个角都是直角。由此可知重叠部分有一组对边平行，只有一组对边平行的四边形是梯形。∠1和∠2组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠1的度数，就是∠2的度数；∠3和∠2组成一个平角，平角是180°，用180°减去∠2的度数，就是∠3的度数。 【规范解答】由分析可知，重叠部分是梯形；∠2，∠3。 6．数一数，下图中有( )个平行四边形，( )个梯形。 【答案】 3 13 【思路引导】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【规范解答】单独的平行四边形有2个，两个平行四边形组成的平行四边形有1个，共3个； 单独的梯形有5个，两个梯形组成的梯形有4个，三个梯形组成的梯形有2个，四个梯形组成的梯形有1个，六个梯形组成的梯形有1个，共13个。 【考点剖析】熟练掌握平行四边形和梯形的特点是解答此题的关键。 7．（25-26四年级上·河南南阳·期中）同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一定互相平行。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据平行和垂直的性质可知，同一平面内，a⊥c，b⊥c，则a∥b。即同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，如图： 【规范解答】同一平面内，两条直线分别垂直于第三条直线，那么两条直线一定互相平行。 故答案为：√ 8．（24-25四年级上·安徽亳州·期中）一张纸上画了两条直线，他们不是互相平行，就是互相垂直。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。垂直是相交的特殊情况，当两条直线相交成直角时，它们互相垂直。题目中认为“不是互相平行就互相垂直”忽略了相交但不垂直的情况。 【规范解答】根据分析可知，一张纸上画两条直线，不是互相平行，就是相交，垂直是相交的特殊情况，题目中说法错误。 故答案为：× 9．（25-26四年级下·全国·课前预习）如图，用这样的两个三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的周长最大是多少厘米？ 【答案】18厘米 【思路引导】观察图形可知，用图中两个三角形拼成一个平行四边形，有三种不同的拼接方式，可以用5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，也可以用5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长，还有可以用3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长，将三种方法用四个边相加来求出周长，然后进行比较，则可解答此题。 【规范解答】由分析可知： 当5厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋4＋4＝18（厘米） 当5厘米和3厘米的边作为平行四边形的边长时：5＋5＋3＋3＝16（厘米） 当3厘米和4厘米的边作为平行四边形的边长时：3＋3＋4＋4＝14（厘米） 18厘米＞16厘米＞14厘米 答：拼成的平行四边形的周长最大是18厘米。 10．用不同颜色的笔圈一圈。 （1）①先把四边形圈出来； ②再把有平行的边的图形圈出来； ③再把两组对边都平行的图形圈出来； ④最后把有4个直角的图形圈出来。    （2）你有什么发现？写出1～2条。 【答案】见详解。 【思路引导】（1）①前五个图形都是四边形，只要最后一个是三角形，不是四边形。 ②第2、3、4、5个图形中有平行的边。 ③第3、4、5个图形中有两组对边都平行。 ④第3、5个图形中有4个直角。 （2）可以根据包含关系，边数等回答问题。 【规范解答】（1）按题目要求，圈画出的情况如下图所示： （2）观察可发现：四边形包含长方形、正方形、梯形和平行四边形；还发现三角形没有被圈画出来。 【考点剖析】本题关键是要能准确识别出四边形，图形中平行的边、直角等。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $