精品解析：福建省龙岩市第七中学2024-2025学年上学期九年级暑假开学考试卷

2024年暑期阶段综合练习九年级数学 一、选择题（共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一元二次方程中，常数项为（ ） A. 2 B. C. 5 D. -5 3. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相同实数根 B. 有两个不同实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A. 3 B. 0 C. 3或－3 D. 0或3 6. 北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过两轮传染后共有64人感染，则的值是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9. 是下列哪个一元二次方程的根（　 　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2﹣4x+1=0 C. 2x2﹣4x﹣1=0 D. 2x2+4x﹣1=0 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二、填空题（共18分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为________． 12. 关于x的一元二次方程，化为一般形式是________． 13. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____． 14. 已知关于的一元二次方程有一根为2，则方程的另一根为_________________。 15. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 16. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程．，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为______． 三、解答题（17-21题各题8分，22-23各题10分，24题12分，25题14分共86分） 17. 解方程（组）： （1） （2） 18. 选择适当的方法解下列一元二次方程； （1）； （2）． 19. 用配方法解关于的方程：（）． 20. 有一面积为140平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18米，另三边用竹篱笆围成墙，与墙平行的一边开了一扇2米宽的门，竹篱笆总长32米，求养鸡场的长和宽各多少米？ 21. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根满足，求的值． 22. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 23. 如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 25. 已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为何值时，四边形是菱形； （3）当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年暑期阶段综合练习九年级数学 一、选择题（共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，未知数的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不是整式方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有两个未知数，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 在一元二次方程中，常数项为（ ） A. 2 B. C. 5 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程（，，是常数且a≠0）的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项进行求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键． 3. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相同实数根 B. 有两个不同实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先求出的值，再根据的符号即可得出一元二次方程根的情况． 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴有两个不同实数根， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A. 3 B. 0 C. 3或－3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 6. 北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设共有x个火车停靠站，根据“针对此动车有20种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设共有x个火车停靠站， 由题意可得：， 故选：B． 7. 若是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入关于的一元二次方程中推出，然后整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 8. 有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，经过两轮传染后共有64人感染，则的值是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据经过两轮传染后共有64人感染，可列方程求解即可． 【详解】由题意得： ， 解得：或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解题关键． 9. 是下列哪个一元二次方程的根（　 　） A. 2x2+4x+1=0 B. 2x2﹣4x+1=0 C. 2x2﹣4x﹣1=0 D. 2x2+4x﹣1=0 【答案】A 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值；②求出b2−4ac的值(若b2−4ac<0，方程无实数根)；③在b2−4ac⩾0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 【详解】A. 2x2+4x+1=0中，符合题意； B. 2x2﹣4x+1=0中，不符合题意； C. 2x2﹣4x﹣1=0中，不符合题意； D. 2x2+4x﹣1=0中，不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题（共18分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得二次项系数为零，一次项系数不等于，解之即可． 【详解】根据一元一次方程的定义可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是． 12. 关于x的一元二次方程，化为一般形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的基本性质和一元二次方程的一般式进行求解即可． 【详解】由原式得，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 13. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____． 【答案】x1=0，x2=1 【解析】 【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=0，x2=1． 故答案为x1=0，x2=1． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 14. 已知关于的一元二次方程有一根为2，则方程的另一根为_________________。 【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出两根之积等于，求出即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则根据根与系数的关系得：， 解得：； 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，解题关键是两根之积等于，得出答案即可. 15. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 16. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程．，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是读懂题意，列出方程． 先根据勾股定理求得，再由得，即可解得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， 解得或， 根据题意， ； 经检验，是原方程的解； 故答案为：6． 三、解答题（17-21题各题8分，22-23各题10分，24题12分，25题14分共86分） 17. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次方程求解，解题的关键是掌握方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． （1）利用加减消元法解答即可； （2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解． 【小问1详解】 解：①，②，得， ③－④，得， ， 将代入①得，， ∴方程组解为； 【小问2详解】 解：两边同乘得： 检验：当时， ∴原方程无解． 18. 选择适当的方法解下列一元二次方程； （1）； （2）． 【答案】（1）方程没有实数根 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 用配方法解关于的方程：（）． 【答案】当时，该方程无解；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．利用配方法得到，再对的取值分情况讨论求解，即可解题． 【详解】解： 当时，该方程无解； 当时， 有， 整理得， 解得； 当时， 有， ． 20. 有一面积为140平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长18米，另三边用竹篱笆围成墙，与墙平行的一边开了一扇2米宽的门，竹篱笆总长32米，求养鸡场的长和宽各多少米？ 【答案】养鸡场的长为14米，宽为10米 【解析】 【分析】设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米，利用长方形的面积计算公式结合养鸡场的面积为140平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合墙长18米可确定的值，再将的值代入中可求出垂直于墙的边的长度． 【详解】解：设与墙平行的一边长为米，则与墙垂直的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又墙长18米， ， ． 答：养鸡场的长为14米，宽为10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由， ∵，， ∴原式即为：，整理得，， ∴解得（舍）或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和． 22. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 23. 如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：______，______（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当或时，的长度等于 （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； 【小问3详解】 解：不存在；理由如下： 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ∴， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴不存在，使得五边形的面积等于． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． 24. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）0 【解析】 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． 【小问3详解】 ∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 25. 已知平行四边形的两邻边的长m，n分别是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k为何值时，四边形是菱形； （3）当k为何值时，四边形的两条对角线的长相等，且都等于，求出这时四边形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）四边形的周长是4，面积是． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是应用； （1）根据题意求出且，，求出不等式组的解集即可； （2）由菱形的性质可得，可得，再检验即可； （3）先得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的两邻边的长m，n是关于x的方程的两个实数根， ∴且，， 解得：， 即k的取值范围是； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 经检验符合题意； 【小问3详解】 ∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得：， 即， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， 把代入方程得：， 解方程得：，或，， ∴矩形的周长是，面积是． 即此时四边形的周长是4，面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $