精品解析：福建省龙岩一中锦山学校2024-2025学年上学期九年级暑假开学考数学试题

龙岩一中锦山学校2024–2025学年第一学期学情摸底练习 九年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程，常数项为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 4. 将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 5. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　） A x（x+1）=81 B. 1+x+x2=81 C. （1+x）2=81 D. 1+（1+x）2=81 6. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位 8. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 12. 一元二次方程配方为，则k值是______． 13. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 14. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为_______． 15. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 16. 已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 选择最佳方法解下列关于x的方程： （1） （2） （3） （4） 18. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 19. 已知某抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 某商店经销成本为每千克50元的水产品．根据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能销售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少．针对这种水产品的销售情况，该商店如果想在月进货成本不超过15000元的情况下，使月销售利润达到8000元，那么销售单价应定为多少元？ 22. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 23. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 24. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中锦山学校2024–2025学年第一学期学情摸底练习 九年级数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将方程化为一般形式，可得常数项是解答即可．本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为是解题的关键． 【详解】解：， 移项得：， ∴一元二次方程的常数项是， 故选：C． 2. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①； ②； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：①，是一元二次方程，故本小题正确； ②时是一元二次方程，故本小题错误； ③，整理后得，即是一元二次方程，故本小题符合题意； ④，是一元二次方程，故本小题符合题意． 故选：C． 3. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算． 先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ， ， ， 故选：D． 4. 将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 5. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　） A. x（x+1）=81 B. 1+x+x2=81 C. （1+x）2=81 D. 1+（1+x）2=81 【答案】C 【解析】 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 即 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染． 6. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点与的符号有关，可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键． 7. 将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位得：， 抛物线再向下平移1个单位得：， 故选：B． 8. 如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】抛物线与直线相交于点和， 则的解集为：或． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对待定参数的取值分类讨论，根据函数图象性质确定一次函数，二次函数的图象组合情况； 【详解】解：函数和（为常数，且） 若，则，位于第一、二、三象限；开口向下，与y轴交于正半轴； 若，则，位于第二、三、四象限；开口向上，与y轴交于负半轴； 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的图象，一次函数图象的性质；对待定参数的取值分类讨论是解题的关键． 10. 如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若方程是关于x一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解． 此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 解得或， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 12. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 13. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 【答案】（-1，-3） 【解析】 【分析】将抛物线的一般式转化为顶点式，再根据顶点式即可求出结论． 详解】解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3 ∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为：（-1，-3）． 【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握将抛物线的一般式转化为顶点式是解决此题的关键． 14. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆600人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆864人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为； 故答案为：． 15. 已知关于的二次函数，当时，的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当，函数有最大值1；当时函数有最小值，进而求得它们的范围． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线顶点坐标为， 在范围内，当，函数有最大值为1；当时函数有最小值：， 故答案为：． 16. 已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 选择最佳方法解下列关于x的方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-分解因式法、直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴变形得：， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 整理得或 解得：，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 可得或， 解得：，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 则， 整理得： 可得或， 解得：，． 18. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 19. 已知某抛物线的顶点为，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式和二次函数的性质，解题关键是熟练运用顶点式求出二次函数解析式． （1）设抛物线顶点式，然后将代入解析式求解； （2）由抛物线开口方向及对称轴判断，的大小． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入上式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的函数关系式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，都在抛物线上，且， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 21. 某商店经销成本为每千克50元的水产品．根据市场分析，若按每千克60元销售，一个月能销售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少．针对这种水产品的销售情况，该商店如果想在月进货成本不超过15000元的情况下，使月销售利润达到8000元，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】销售单价应为90元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，得出水产品不超过，设定价为元，再结合题意进行列式，故得，，再进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，水产品不超过， 设定价为元， 则， 解得，． 当时，进货，不符合题意，舍去， 当时，进货，符合题意． 答：在月进货成本不超过15000元的情况下，月销售利润达到8000元，销售单价应为90元． 22. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）15米 （2）不能，理由见详解 【解析】 【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【小问1详解】 解：设边的长为米，则米， 根据题意可得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意， ∴米． 答：边的长为15米； 【小问2详解】 若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 ， 整理，得 ， ∵， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 23. 关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， （1）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； （2）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）c的值为18 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）设的两个根为和，可得，即可解得c的值为18； （2）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 值为18； 【小问2详解】 由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 24. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大为 （3）存在，的坐标为或（3，-16）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 （1）∵点在抛物线的图象上， ∴ ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 过作于点，过点作轴交于点，如图： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离值最大； 【小问3详解】 存在． ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，） 分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图， ∵A（-5，0），C（0，5）， ∴，即 解得，x=3. ∴ ∴点M的坐标为（3，-16） ②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图， 方法同①可得，， ∴ ∴点M的坐标为（-7，-16）； ③当AC为对角线时，如图， ∵A（-5，0），C（0，5）， ∴线段AC的中点H的坐标为，即H（） ∴，解得，。 ∴ ∴点M的坐标为（-3，8） 综上，点的坐标为：或（3，-16）或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $