第5章 4 二次函数与一元二次方程-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球落地时间的情境导入，联系二次函数表达式，搭建从函数图象到方程根的学习支架，梳理交点个数与根的情况的关联。 资料以合作探究为主线，通过典例分析（如利用方程根求抛物线对称轴）渗透数形结合思想，板书表格清晰呈现交点个数、根的情况与判别式的关系，发展学生几何直观与推理意识。助力学生构建知识体系，为教师提供结构化教学思路，提升课堂效率。

4　二次函数与一元二次方程 ◇教学目标◇ 　　1.理解并能说出二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的情况关系，并能熟练的判断二次函数图象与x轴的交点个数. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学的数形结合思想. 3.应用数形结合思想，体会二次函数与一元二次方程的联系，并形成自己的思维体系. ◇教学重难点◇ 教学重点 判断二次函数图象与x轴的交点个数，求二次函数图象与x轴的交点坐标. 教学难点 利用数形结合思想判断二次函数图象与x轴的交点个数，求二次函数图象与x轴的交点坐标. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t ＋h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h（m）与运动时间t（s）的关系是h＝gt2，那么，小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 二、合作探究 探究点1　二次函数与一元二次方程的关系 典例1　若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为1，2，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线 （　　） A.x＝1 B.x＝2 C.x＝ D.x＝－ ［解析］　∵方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为1，2，∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0），∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝. ［答案］　C 探究点2　二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的情况的关系 典例2　已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A（0，3），B两点. （1）求b，c的值. （2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由. ［解析］　（1）把点A（0，3），B分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 （2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3， Δ＝－4××3＝>0， ∴二次函数y＝－x2＋x＋3的图象与x轴有公共点. ∵－x2＋x＋3＝0的解为x1＝－2，x2＝8， ∴公共点的坐标是（－2，0）和（8，0）. 技巧点拨y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点、一个交点、没有交点，就可以得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实根、有一个实根、没有实根，反之亦然. 探究点3　利用二次函数求一元二次方程的解 典例3　如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是　　　　.  ［答案］　x1＝－1，x2＝5 三、板书设计 二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况 b2－4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 无公共点 无实数根 b2－4ac<0 ◇教学反思◇ 　　通过问题情境的设置，让学生能带着求知欲进行这节课的学习，也充分调动了学生学习的积极性，为新课的学习作了铺垫.教师引导学生注意以下几点：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即令x＝0或y＝0，然后求出相应的纵坐标或横坐标；（2）抛物线与x轴交点个数可通过计算“b2－4ac”进行判断.教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $