第5章 2 第4课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过回顾y=ax²等已学形式，提出一般式顶点坐标求解问题，搭建从特殊到一般的学习支架，梳理知识脉络。 以合作探究为特色，典例1通过顶点平移培养几何直观，配方法推导公式发展推理意识与运算能力，变式训练与作图练习提升应用意识。助力学生深化理解，培养探究能力，为教师提供清晰教学流程与实例，提升课堂效率。

第4课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象 ◇教学目标◇ 　　1.理解二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2＋k的图象关系，能够说出其开口方向、最值、对称轴和顶点坐标. 2.经历用配方法推导二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式的过程，进一步体验数学上的转化思想，体会建立二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标公式的必要性. 3.丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，体会二次函数图象的对称美以及二次函数的一般式与顶点式互相转化的和谐美. ◇教学重难点◇ 教学重点 理解二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2＋k的图象关系，并能画出图象求二次函数的对称轴和顶点坐标. 教学难点 用配方法推导y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标公式. ◇教学过程◇ 一、问题导入 1.请说出二次函数y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标. 2.怎么求y＝x2－8x＋11的顶点坐标、对称轴和最值？y＝2x2－4x＋5呢？ 3.对于更一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）又怎么求其顶点坐标、对称轴和最值呢？ 二、合作探究 探究点1　二次函数y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的图象关系 典例1　将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度后所得图象的函数表达式为 （　　） A.y＝（x＋1）2＋1 B.y＝（x＋1）2－1 C.y＝（x－1）2＋1 D.y＝（x－1）2－1 ［解析］　抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到对应点的坐标为（1，－1），所以平移后的新图象的函数表达式为y＝（x－1）2－1. ［答案］　D 变式训练　已知二次函数y＝a（x－1）2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是 （　　） ［答案］　A 探究点2　用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴 典例2　已知二次函数y＝2x2－4x＋1. （1）用配方法化为y＝a（x－h）2＋k的形式； （2）写出该二次函数图象的顶点坐标； （3）当0≤x≤3时，求二次函数y＝2x2－4x＋1的最大值. ［解析］　（1）y＝2x2－4x＋1＝2（x2－2x）＋1＝2（x－1）2－2＋1＝2（x－1）2－1. （2）二次函数图象的顶点坐标为（1，－1）. （3）∵a＝2>0，对称轴为直线x＝1， ∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大. ∵0≤x≤3， ∴当x＝3时，二次函数有最大值，最大值为2×（3－1）2－1＝8－1＝7，即最大值为7. 变式训练　已知抛物线y＝－2x2＋4x－1. （1）该抛物线的对称轴是　　　，顶点坐标为　　　；  （2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点，画出该抛物线的图象； x … y … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1<x2<1，试比较y1与y2的大小. ［解析］　（1）直线x＝1；（1，1）. （2）填表如下： x … －1 0 1 2 3 y … －7 －1 1 －1 －7 （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1<x2<1，则y1<y2. 三、板书设计 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象与性质 抛物线 y＝a（x－h）2＋k（a>0） y＝a（x－h）2＋k（a<0） 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 直线x＝h 直线x＝h 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x＝h时，有最小值k 当x＝h时，有最大值k 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与性质 抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a>0） y＝ax2＋bx＋c（a<0） 顶点坐标 对称轴 直线x＝－ 直线x＝－ 位置 由a，b和c的符号确定 由a，b和c的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当x＝－时，有最小值为 当x＝－时，有最大值为 ◇教学反思◇ 　　本节内容是二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象，通过小组合作研究一个具体的二次函数表达式的对称轴和顶点坐标，从而得出它的性质和图象，再由特殊到一般，以例题的形式通过配方法推导出二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式，再进行针对性的练习巩固，同时通过一个具体的情境问题，使学生体会数学来源于生活，培养学生的数学能力，提高数学修养. 1 立足安徽 精准备考 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $