第5章 3 第3课时 利用二次函数解决最大利润问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决最大利润问题，通过商品定价的实际情境导入，衔接二次函数图象与性质的已有知识，搭建从数学理论到实际应用的学习支架。 此资料以“引导—探究—发现”为核心教学方式，结合旅馆租金、超市销售等实例，培养学生用数学眼光发现利润与价格的数量关系，用数学思维构建二次函数模型并推理最值，用数学语言表达函数关系与结论，提升学生应用意识，为教师提供实用教学案例。

第3课时　利用二次函数解决最大利润问题 ◇教学目标◇ 　　1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题；初步掌握用二次函数的图象和性质解决最大利润问题的一般步骤和方法. 2.经历用二次函数解决实际问题的过程，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数模型解决实际问题. 3.通过研究生活中的实际问题，体会数学建模的思想，激发学生的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 教学重难点 构建数学模型——二次函数，并利用二次函数的图象和性质解决最大利润问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧. 二、合作探究 探究点　最大利润问题 典例　某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ ［解析］　设每间客房的日租金增加10x元，则每天客房出租数减少6x间. 设客房日租金的总收入为y元，则y＝（160＋10x）（120－6x）＝－60（x－2）2＋19440. ∵x≥0，且120－6x>0， ∴0≤x<20. 当x＝2时，y取得最大值，y最大＝19440. 160＋10×2＝180. 因此，每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19440元. 变式训练　某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x/（元·千克－1） 50 60 70 销售量y/千克 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式. （2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入－成本）. （3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ ［解析］　（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b， ∴解得 即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200. （2）由题意，可得W＝（x－40）（－2x＋200）＝－2x2＋280x－8000， 即W与x之间的函数表达式是W＝－2x2＋280x－8000. （3）∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2（x－70）2＋1800，40≤x≤80， ∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大； 当70≤x≤80时，W随x的增大而减小； 当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800. 答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大；当70≤x≤80时，W随x的增大而减小；当售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元. 三、板书设计 利用二次函数解决最大利润问题 ◇教学反思◇ 　　本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后呼应.体现了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程. 本节课采用“引导—探究—发现”的教学方式，结合“旅馆客房租金”等实际问题的探究，通过师生互动、生生互动共同解决问题，提高课堂教学效率，也体现了教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $