第5章 3 第2课时 利用二次函数解决图形面积和桥梁建筑问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦利用二次函数解决图形面积和桥梁建筑问题，通过三角形土地开发的情境导入，引导学生思考面积最大问题，衔接二次函数图象和性质，搭建从实际情境到数学建模的学习支架。 该资料以生活实例（如窗户面积、广场地砖、桥梁抛物线）为载体，突出数学建模思想。通过典例分析与变式训练，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维构建二次函数模型的能力，如窗户面积问题中建立函数关系式并求最值，提升模型意识与应用意识，助力学生掌握解题方法，也为教师提供清晰教学路径。

第2课时　利用二次函数解决图形面积和桥梁建筑问题 ◇教学目标◇ 　　1.能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题；初步掌握用二次函数的图象和性质解决面积最大问题的一般步骤和方法. 2.经历用二次函数解决实际问题的过程，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数模型解决实际问题. 3.通过研究生活中的实际问题，体会数学建模的思想，激发学生的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值. ◇教学重难点◇ 教学重难点 构建数学模型——二次函数，并利用二次函数的图象和性质解决面积最大问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 　　随着经济和人口的发展，城市用地已经越来越少了，黄金地段更是寸土寸金，所以有效利用土地资源极具研究价值.某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长为100米，高为80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基的最大面积是多少？ 二、合作探究 探究点1　图形面积问题 典例1　某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度之和）为15 m.当x等于多少时，窗户的面积最大（结果精确到0.01 m）？此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01 m2）？ ［解析］　∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝. ∵0<7x＋πx<15， ∴0<x<1.48. 设窗户的面积是S m2，则S＝＋2xy＝＋2x·＝－x2＋x＝－， ∴当x＝≈1.07时，S取得最大值，S最大＝≈4.02. 因此，当x约为1.07时，窗户的面积最大，此时，窗户的面积约为4.02 m2. 变式训练　学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米.图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖. （1）要使铺白色地面砖的面积为5200米2，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？ （2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？ ［解析］　（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米. 根据题意，得4x2＋（100－2x）·（80－2x）＝5200， 整理，得x2－45x＋350＝0， 解得x1＝35，x2＝10， ∴要使铺白色地面砖的面积为5200米2，则矩形广场四角的小正方形的边长为10米或35米. （2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，矩形广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30×［4x2＋（100－2x）（80－2x）］＋20×［2x（100－2x）＋2x（80－2x）］， 即y＝80x2－3600x＋240000＝80（x－22.5）2＋199500， ∴当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199500. ∴当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元. 探究点2　桥梁建筑问题 典例2　某市有一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系.在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米.某日正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米，四边形DEFG为矩形，OD＝BE. （1）求此抛物线的表达式； （2）受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，通过计算说明，此时该货船能否安全过桥？ ［解析］　（1）由题可知O（0，0），B（40，0），抛物线的顶点为（20，10）， 设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx， 将（40，0），（20，10）代入，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x. （2）此时该货船能安全过桥.理由： 由题意，得水位上升0.5米，相当于将抛物线y＝－x2＋x向下平移0.5个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋x－， 把x＝12代入y＝－x2＋x－， 解得y＝7.9>7， ∴此时该货船能安全过桥. 探究点3　抛物线型物体的二次函数问题 典例3　某游乐园圆形喷水池中心的喷水头离地面的高度为 m，其喷出的水柱呈抛物线状，喷出的水柱距池中心4 m处达到最高，高度为6 m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. （1）求该抛物线的表达式； （2）试求喷出的水柱落地点A离池中心O的距离. ［解析］　（1）由题意设抛物线的表达式为y＝a（x－4）2＋6， 将代入，得＝a（0－4）2＋6， 解得a＝－， 故该抛物线的表达式为y＝－（x－4）2＋6. （2）由题意，当y＝0时，0＝－（x－4）2＋6， 解得x1＝10，x2＝－2（不合题意舍去）. 答：喷出的水柱落地点A离池中心O的距离为10 m. 三、板书设计 利用二次函数解决图形面积 和桥梁建筑问题 ◇教学反思◇ 　　本节课设置了生活中常见的楼房的面积等事例引导学生思考，使学生提高学习数学的兴趣，深刻体会数学在实际生活中的应用价值.通过学习用二次函数知识解决最大面积的问题，让学生增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值. 1 立足安徽 精准备考 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $