第2章 4 第1课时 几何图形问题-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦应用一元二次方程解决几何图形问题，通过书封面边衬设计的情境导入，衔接一元二次方程解法，为后续探究海军基地相遇、直角三角形面积等问题搭建学习支架。 资料特色在于以实际情境激发兴趣，合作探究中通过海军基地相遇、直角三角形面积等典例，引导学生抽象数量关系、建立方程模型，体现数学眼光、思维与语言。培养学生抽象能力、推理意识，为教师提供可操作实例与流程，提升教学效率。

4　应用一元二次方程 第1课时　几何图形问题 ◇教学目标◇ 　　1.应用一元二次方程解有关特殊图形的问题. 2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系. 3.体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. ◇教学重难点◇ 教学重点 列一元二次方程求解有关特殊图形的问题. 教学难点 发现特殊图形问题中的等量关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 二、合作探究 探究点1　一般图形问题 典例1　如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1 n mile）？ ［解析］　连接DF. ∵AD＝CD，BF＝CF， ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF＝AB. ∵AB⊥BC，AB＝BC＝200 n mile， ∴DF⊥BC，DF＝100 n mile，BF＝100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE＝x n mile，AB＋BE＝2x n mile，EF＝AB＋BF－（AB＋BE）＝（300－2x）n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002＋（300－2x）2， 整理，得3x2－1200x＋100000＝0. 解这个方程，得 x1＝200－≈118.4，x2＝200＋（不合题意，舍去）. 所以，相遇时补给船大约航行于118.4 n mile. 探究点2　图形面积问题 典例2　如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6 m，CB＝8 m，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ ［解析］　设x s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半，依题意，得（8－x）（6－x）＝×8×6， 整理，得x2－14x＋24＝0， 解得x1＝12，x2＝2. ∵x＝12不符合题意，舍去，∴x＝2. 答：2 s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半. 三、板书设计 几何图形问题 一元二次方程的应用 ◇教学反思◇ 　　通过本节课的学习，学生做到了以下三个方面：首先，掌握并运用一元二次方程解决实际问题的基本步骤；其次，联系具体的实际解决好实际问题，在学习的过程中渗透数形结合的思想，为今后的学习打下良好的基础；最后，形成严谨的学习态度和求简的数学精神. 1 立足安徽 精准备考 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $