26.4 实际问题与二次函数 分层分类训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 考点1 利润销售类 考点2 拱桥、隧道、实物模型类 考点3 运动轨迹类 考点4 减速刹车类 考点5 几何图形类 考点6 其他类 基 础 达 标 练 考点1 利润销售类 1.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 2.（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 3.（2026春•沈丘县月考）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 4．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 5.（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6.（2026春•奉化区校级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （2）该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？ 考点2 拱桥、隧道、实物模型类 7．（2025秋•芜湖期末）如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 9．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 10．（2026•凉州区校级模拟）如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点O建立平面直角坐标系，若点A（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是沙丘的两个端点，则a的值为（　　） A．15 B．18 C．24 D．36 11．（2026•甘州区模拟）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 12.（2026•古浪县校级模拟）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．1.5m B．1.8m C．2m D．2.4m 考点3 运动轨迹类 13．（2026•安定区三模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 14.（2026•河南模拟）在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度h（单位：m）与下落的时间t（单位：s）的关系可以用公式表示，其中重力加速度g取10m/s2．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后1s内下落的高度为20m，则这个标杆高为（　　） A．100m B．40m C．32.25m D．31.25m 15.（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 16．（2026•南阳模拟）你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，s＝20m C．v和s均随t的增大而增大 D．t每增加1s，路程s的增加量相同 17.（2026•安定区三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 18.（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 19.（2026•牡丹区二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（　　） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 20．（2026•左权县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝at2+bt+1．已知“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33m，则“水火箭”升空的最大高度为（　　） A．33m B．36m C．37m D．40m 考点4 减速刹车类 21.（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 22.（2026•寿光市二模）小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动；白球始终以2cm/s的速度匀速运动；黑球从A点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为x（单位：s），此过程中黑球的运动速度v与时间x满足，黑白两球之间的距离为y（单位：cm），且y与x满足的二次函数图象如图②所示．该图象与y轴交于点C（0，70），最低点为D（m，6）．则下列说法：①m＝16；②n＝20；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距10cm；④黑白两球相距7cm时，此时x＝14s，正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 考点5 几何图形类 23.（2025秋•杭锦后旗期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则该活动区的面积S可表示为（　　） A．S＝x（24﹣2x） B．S＝x（24﹣x） C．S＝2x（24﹣2x） D．S＝2x（24﹣x） 24.（2026春•永寿县期末）如图，将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．y＝（20﹣x）（15﹣x） C．y＝x（20﹣2x） D．y＝x（15﹣2x） 25.（2026•南漳县模拟）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 26.（2026•诸暨市二模）如图，一块长方形ABCD绿地，AB＝8米，BC＝6米，中间铺设了两条互相垂直的路径（EF⊥AC），路径两边互相平行（EF∥GH，AC∥MN），重叠部分为四边形A1B1C1D1，已知EG＝CN＝x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1，△CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是（　　） A．y＝（8﹣x）（6﹣x） B． C． D． 27．（2026•滨海新区校级三模）如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（2026春•浦东新区校级月考）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为20cm的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为20cm的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率100%． （1）公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为72%，已知纸盒的长为12cm、宽为6cm，求纸盒的高以及此时的容积． （2）请你根据给定的边长为20cm的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为xcm，试探究该款纸盒的材料利用率y与x之间的函数关系式，并说明材料利用率y随x的变化而变化的情况． 考点6 其他类 29．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 30.（2026•陕西校级模拟）如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系．已知：抛物线（点A与点B之间的部分）y＝﹣x2+bx+b+1（0≤x≤m），m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm，点B到x轴的距离是． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求m的值． 31.（2026•乾县模拟）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 能 力 提 升 练 32.（2026•汇川区四模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，36），且经过E（2，157）和F（n，157）两点．下列选项正确的是（　　） A．n＝24 B．点C的纵坐标为204 C．m＝14 D．点（15，42）在该函数图象上 33．（2026•永城市一模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示v与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关系，则下列说法不正确的是（　　） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8cm/s D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 34．（2026•科尔沁区校级二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 35．（2026•渭滨区校级模拟）在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线．如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度AO＝1.2m，当弹力球运动到距点A的水平距离为2m的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为2.4m．以点O为原点，地面所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） （1）求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，OM＝1.8m，落地点为N，求弹射点M与落地点N的水平距离ON． 36．（2026•钦州校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路AB的宽为20m（路内侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为8m． （1）任务1：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线OM为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行，求支撑柱的最大高度． （3）任务3：若在该彩虹桥下方有一个限高5m的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长9m、宽1m的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 37.（2026•淮阳区校级模拟）一架无人机进行表演活动，从地面起飞，其竖直高度y（单位：m）与离出发点的水平距离x（单位：m）满足二次函数关系，飞行路线如图所示，将出发点设为原点，建立平面直角坐标系．当x＝2时，y＝7．当x＝8时，无人机达到最大高度，最终落回地面． （1）求y关于x的函数解析式． （2）表演过程中，工作人员在竖直高度10米处水平放置两个圆环，无人机需穿过两圆环中心点．求两个圆环中心点之间的水平距离． （3）若将无人机移至高度为t（t＞0）米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落地点距离起飞点的水平距离不超过18米，直接写出t的取值范围． 38．（2026•伊宁市二模）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分． 【建立模型】 （1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围． 39．（2026•山西校级三模）综合与实践： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶ABCD，截面宽AB＝1米，竖直高为BC＝1.5米，请根据上述信息解决下列问题： （1）求图1中抛物线的函数表达式； （2）求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离OE； （3）若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶ABCD，求台阶应放在离点O多远处？（求OA的取值范围） 真 题 提 前 练 40．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 41.（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　不能　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 42．（2026•无锡）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m．沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m．小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 43．（2026•武汉）某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求关于x的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）． 方案设计 若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 44．（2026•深圳）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表： x 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω20x+500． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 学科网（北京）股份有限公司 $26.4实际问题与二次函数 考点1利润销售类 考点2拱桥、隧道、实物模型类 考点3运动轨迹类 考点4减速刹车类 考点5几何图形类 考点6其他类 基础达标练 考点1利润销售类 1.（2026·市南区校级模拟)某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发 现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家 决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元(x>44),商家每天销售纪念品获得的利润p元， 则下列等式正确的是() A.y=10x+740 B.v=10x-140 C.1m=(-10x+700)(x-40) D.1=(-10x+740)(x-40) 2.（2026·富锦市一模)某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可 售出200件：若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元(x≥15)，每天的利润为 y元，则y与x的函数关系式为() A.y=(x-10)(200-10x) B.y=(x-10)(350-10x) C.y=(x-15)(200-10x) D.y=(x-15)(350-10x) 3.(2026春•沈丘县月考)某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件.经 调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件.设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的 函数关系式为() A.y=(60-x-40)(300+20x) B.y=(60-x-40)(300-20x) C.y=(60-40)(300+20x) D.v=(60-x)(300+20x) 4.（2026·麦积区二模)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且 不高于21元.经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之 间满足y=-2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是() A.200元 B.180元 C.170元 D.160元 5.(2026·北辰区模拟)某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件， 经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件.设售价为每件x元，x为正整数.有下列结 论： ①若x=70,则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x=63: ③有两种定价方式可以使利润为1008元. 其中，正确结论的个数是（) A.3 B.2 C.1 D.0 6.(2026春·奉化区校级期中)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元 时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润.据测算， 每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件. (1)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元 (2)该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？ 考点2拱桥、隧道、实物模型类 7.（2025秋·芜湖期末)如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称 图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB=4,CD=3,以顶点C为原点建立如图2所 示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为() 图1 图2 A.y B.y=品x2 C.y- D.y=-3 2 8。(2025秋·稷山县校级期未)如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=一x2,当水面离桥 项的高度为宁 米时，水面的宽度为( A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 9.(2026·龙岗区校级模拟)某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到 抛物线的函数解析式为y=-62,正常水位时，水面宽AB为16，此时拱顶O到水面AB的距离为水 1 ) y/m /m A 。 A.4m B.3m C.2 D.1m 10.(2026·凉州区校级模拟)如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型 沙丘最顶端为原点0建立平面直角坐标系，若点A(-15,-100),点B(,-144)是沙丘的两个端 点，则a的值为() 图1 图2 A.15 B.18 C.24 D.36 11.(2026·甘州区模拟)如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h(m)与水平距离x()之 间的关系大致为抛物线h= 02+号x+号则小强本次投掷实心球的成绩为《) 1 个h(m) x(m) A.8m B.9m C.10m D.3m 12.（2026·古浪县校级模拟)某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门 入口.要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A,B,C,D)四个大字，要求BC与地 面平行，且BC∥AD,抛物线最高点的五角星（点E)到BC的距离为0.6，BC=2,AD=4L,如图2 所示，则点C到AD的距离为() 典 B D (图1) (图2) A.1.5m B.1.8m C.2m D.2.4m 考点3运动轨迹类 13.(2026·安定区三模)在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球 飞行商度)（米）与水平距离x(米)之间的关系式为0++景由此可知小字此次实心球训练 的成绩为() B.8米 C.10米 D.2米 14.(2026·河南模拟)在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度h(单位：m)与下落的时间t(单 位：s）的关系可以用公式h=9t2表示，其中重力加速度g取10s.小明把一个物体从一标杆顶端做 自由落体运动，并测得该物体在最后1s内下落的高度为20，则这个标杆高为() A.100 B.40m C.32.25u D.31.25m 15.(2025秋·岑溪市期末)如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运 行的路线是抛物线.当球运行的水平距离为2.5时达到最大高度3.5，然后准确落入篮圈，已知篮圈 中心到地面的距离是3.05m,则此时抛物线的函数关系式是( ) (单位：m) (0,3.5) 3.05m ←2.5m-0 人 -4m A.y=-2x2+4 B.y=-0.2x2+3.5 C.y=-0.2x2+3.05 D.y=-0.2x2+2.5 16.(2026·南阳模拟)你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？ 某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落 的路程s随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是() +v/(m/s) ↑s/m 20 20 t/s t/s 图1 图2 图3 A.当t=2s时，1=20ms B.当t=2s时，s=20mu C.v和s均随t的增大而增大 D.t每增加1s,路程s的增加量相同 17.(2026·安定区三模)如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线y=a(x-3)+2.5 运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度.若实心球抛出时离地面的高度 OA为1.6m,则实心球掷出的水平距离为() y A A.5 B.6 C.7 D.8 18.(2026·芙蓉区校级模拟)如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线， 建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y=a(x-2)+2.8.已知球门高OB为2.44 米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则α的值可能是() y B A.-0.8 B.-0.1 C.-0.05 D.-0.01 19.（2026·牡丹区二模)校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架.已知篮球架的轮 廓抛物线表达式为：y=x2-4x+2m+3+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米).根据比赛规则， 投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y=x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合.求满 足条件的m的值为() A1或-司 B.2或-司 c.1或- D.2或-3 20.（2026·左权县模拟)“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空 实验，己知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t（s)满足函数表达式h=a+bt+1.己知“水火 箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33，则“水火箭”升空的最大高度 为() A.33m B.36m C.37m D.40m 考点4减速刹车类 21.（2026·管城区校级三模)函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问 题.如某型号飞机着陆后滑行的距离5(m)关于滑行的时间t(s)的函数关系式是s=-2t+80t.请结 合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是() A.飞机着陆后前5s滑行的距离为350 B.飞机着陆后滑行800才能停下来 C.飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D.飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 22.(2026·寿光市二模)小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验.如图①，黑、白两个小球在一条笔直的 滑道上同时向右运动；白球始终以2℃s的速度匀速运动；黑球从A点开始做匀减速运动，设黑球从开 始减速到停止运动的运动时间为x(单位：，此过程中黑球的运动速度v与时间x满足v=-7x+10, 黑白两球之间的距离为y(单位：c),且y与x满足的二次函数图象如图②所示.该图象与y轴交于点 C(0,70),最低点为D(m,6).则下列说法：①m=16;②n=20;③当黑球刚好停止运动时，黑白 两球相距10c;④黑白两球相距7cm时，此时x=145,正确的是() ◆y(cm) C DE 6F-- A B mn x(s) 图① 图② A.①②③ B.③④ c.②③④ D.①②④ 考点5几何图形类 23.（2025秋•杭锦后旗期末)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24长的围 栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为x,则该活动区的面积S可表示为() xm A.S=x(24-2x) B.S=x(24-x) C.S=2x(24-2x) D.S=2x(24-x) 24.（2026春·永寿县期末)如图，将一张长为20c,宽为15c的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方 形，制作出一个底面积为vc的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为() A.y=（20-2x)(15-2x) B.y=(20-x)(15-x) C.y=x(20-2x) D.y=x(15-2x) 25.(2026·南漳县模拟)如图，有一块矩形空地ABCD,学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草 坪，其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上，且AE=AF=CG=CH,已知AD=30,AB =50,则草坪面积最大为() D G B A.600m2 B.800m2 C.1000m2 D.1200m2 26.(2026·诸暨市二模)如图，一块长方形ABCD绿地，AB=8米，BC=6米，中间铺设了两条互相垂直的 路径(EF⊥AC),路径两边互相平行(EF∥GH,AC∥MW),重叠部分为四边形A1B1C1D1,已知EG= CN=x米，设四块绿地AA1ED,△MB1F,HBNC1,△CD1G的面积总和为y,则y与x的函数解析式是 () D Di A C B A.y=(8-x)(6-x) B.y=器e2-1x+48 C.y=2爱2-14+48 D.y=号x2-14x+48 27.（2026~滨海新区校级三模)如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为α米， 且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于 x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米： ②y与x之间的函数关系式为y=-x2+4x: ③当x=4时，矩形ABCD的面积最大： ④a的值为12. 其中正确的结论的个数是（) A y E B H C 2 图1 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 28.(2026春·浦东新区校级月考)某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为20cm的正 方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）.公司的设计部门提出了两 种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）. 项目要求： ●原材料：边长为20cm的正方形纸板， ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接， ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化. ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占 原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率=最终成品的表面积 ×100%. 原正方形纸板的面积 (1)公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为72%，已知纸盒的长为12c、宽为6c, 求纸盒的高以及此时的容积. (2)请你根据给定的边长为20c的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面 为正方形.设该款纸盒的高为xC,试探究该款纸盒的材料利用率y与x之间的函数关系式，并说明材 料利用率y随x的变化而变化的情况. 考点6其他类 29.(2026春·兴宁区校级期末)参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x 之间的函数关系式是() A.y=x(x-1) B.y=x(x-2) c.y=2xc-1) 1 D.y=x(x-2) 30.(2026·陕西校级模拟)如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分.如图2，将麦秆所在直线作 为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系.己知：抛物线（点A与点B之间的 部分)y=-x+bx+b+1(0≤x≤m),m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dh,点B到x轴 的距离是dm. (1)求该抛物线的函数表达式： (2)求m的值. 图1 图2 31.(2026·乾县模拟)投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏.在一次科技展上，机器人和人们展开了一场 现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行 投壶，分别在点D,F处放置壶.如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O,过点O且垂直于x 轴的直线为y轴建立平面直角坐标系.其中张兴箭矢的运动轨迹1：=-c-0.2)2+1和机器人箭 矢的运动轨迹L2均为抛物线形.已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m,当箭矢在与出手点 水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2.其中壶口与地面的距离CD=EF=0.2m. (1)求机器人箭矢的运动轨迹2所在抛物线的函数表达式： (2)若张兴所投箭矢恰好投入壶口C,且OF=2OD,请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入 壶口？ B 图 图2 能力提升练 32.(2026·汇川区四模)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图 1,点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单 位：)(0≤x≤n),PQ为y(单位：am),如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(m, 36),且经过E(2,157)和F(,157)两点.下列选项正确的是（) y本 E 157 D 36 B m n 图1 图2 A.n=24 B.点C的纵坐标为204 C.m=14 D.点(15,42)在该函数图象上 33.(2026·永城市一模)在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随 时间变化的关系”开展探究.如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从 倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道 上的运动时间t(s)、运动速度v(c/s)、运动路程y(cm)的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所 示的函数图象.观察图象，我们可以用一次函数表示v与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关 系，则下列说法不正确的是() y/cm Av/(cm/s) 160 5520 12 140 1 120 12,θ8-↓ 100 1 6 80 880月 2 40 4,4 20 _-r 4812162024t/s 4681012141618202224t/s 图 图2 图3 A.弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B.弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C.当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8c/s D.当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 34.(2026·科尔沁区校级二模)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD, 花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）.若设花园的边长AB为x米，面积 为y平方米. (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由： (3)当x是多少时，矩形花园面积v最大？最大面积是多少？ NA B 35.(2026~渭滨区校级模拟)在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛 物线.如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度AO=1.2,当弹力球 运动到距点A的水平距离为2的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为2.4.以点O为原点， 地面所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.（本次实验只研究弹力球在第一次落 地前的运动过程) (1)求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式： (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，OM=1.8,落地点为N, 求弹射点M与落地点N的水平距离OW. y个 M 36.(2026钦州校级一模)根据以下素材，探索完成任务 材料 如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩 虹桥，已知道路AB的宽为20m(路内侧两边各有2m宽的绿 化带，其余路面正常通行)，桥面最高处与路面的距离为8. 桥拱 M 8m A日 20m B (1)任务1：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线OM为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线 形彩虹桥的解析式， (2)任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行， 求支撑柱的最大高度， (3)任务3：若在该彩虹桥下方有一个限高5m的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长9、宽1的横幅， 在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明. 37.(2026·准阳区校级模拟)一架无人机进行表演活动，从地面起飞，其竖直高度y(单位：)与离出发 点的水平距离x(单位：m)满足二次函数关系，飞行路线如图所示，将出发点设为原点，建立平面直角坐 标系.当x=2时，y=7.当x=8时，无人机达到最大高度，最终落回地面. ◆y/m x/m (1)求y关于x的函数解析式， (2)表演过程中，工作人员在竖直高度10米处水平放置两个圆环，无人机需穿过两圆环中心点，求两 个圆环中心点之间的水平距离. (3)若将无人机移至高度为t(t>0)米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落 地点距离起飞点的水平距离不超过18米，直接写出t的取值范围， 38.(2026伊宁市二模)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直， 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：)的对应值如表 (不考虑空气阻力) 水平距离x/m 0 3 5 6 高度ym 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞 行路线是抛物线y=2+br+1.1的一部分 【建立模型】 (1)求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围） (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8？请说明理由 (3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=a++1.1发 球点与球网的水平距离是5.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1，且球的落地点与球 网的水平距离小于6.求k的取值范围. y/m 发球点 x/m 39.(2026山西校级三模)综合与实践： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛 物线，以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系.，机器 人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米.舞台上设有长方体台阶ABCD,截面宽AB =1米，竖直高为BC=1.5米，请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离OE; (3)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶ABCD,求台阶应放在离点O多远 处？（求OA的取值范围） D C 0 E A Bx 图1 真题提前练 40.(2026·陕西)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以 看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm) 与水平距离x(c)的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高度是() y A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 41.（2026·甘肃)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射 出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）.图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫 后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(c)与水平距离x(c)近似满足函数 关系y=-02+4x(≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流不能击中昆虫.（填 “能”或“不能”) Ay/cm x/cm 图1 图2 42.(2026无锡)综合与实践一一丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中 靶心，则获得游戏奖励. 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的 作用). 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10.沙包在距 离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2.请通过计算说明沙包能否正好命中靶心 (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m.小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平距离仍 为10.小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4时达到最高点，这样沙包正好能命 中靶心.求沙包达到最高点时距离地面多少米 1.5m 10m 43.(2026武汉)某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动. 市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）.收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数 相等. 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件：B品售价固定为 16元/件. 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件. 成本核算分别求制作一件A品和一件B品的成本. 模型建立设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求关于x的函数解析式（不要求写 自变量x的取值范围). 方案设计若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方 案 44.(2026·深圳)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营 效益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本 与收支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如表： 1 2 3 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω=x2+20x+500. 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式， 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=x,成本关系 保持不变.己知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请写出一个符合条 件的m值，并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因 素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策。 26.4 实际问题与二次函数 考点1 利润销售类 考点2 拱桥、隧道、实物模型类 考点3 运动轨迹类 考点4 减速刹车类 考点5 几何图形类 考点6 其他类 基 础 达 标 练 考点1 利润销售类 1.（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 1.D【解析】当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个， ∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）． 2.（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 2.B【解析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量可知：每件利润为（x﹣10）元，实际每天销售量为：200﹣10（x﹣15）＝350﹣10x，∴y＝（x﹣10）（350﹣10x）． 3.（2026春•沈丘县月考）某超市销售一种商品，每件进价为40元，售价为60元时，每天可销售300件．经调查发现，售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件商品降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） B．y＝（60﹣x﹣40）（300﹣20x） C．y＝（60﹣40）（300+20x） D．y＝（60﹣x）（300+20x） 3.A【解析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列二次函数解析式可得：y＝（60﹣x﹣40）（300+20x） 4．（2026•麦积区二模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 4.A【解析】设销售该文具每天获得的利润为w元，根据题意可得10≤x≤21，w＝（x﹣10）（﹣2x+60） ＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，∵﹣2＜0，二次函数图象开口向下，∴当x＝20时，w取得最大值，又∵10≤x≤21，20在x的取值范围内，∴当x＝20时，w的最大值为200元. 5.（2026•北辰区模拟）某商店销售一种产品，成本为每件40元，原售价为每件60元，每日销量为50件，经过市场调查，若每件售价每涨价1元，则每日销量减少2件．设售价为每件x元，x为正整数．有下列结论： ①若x＝70，则销售该商品当日利润为800元； ②若要取得最大利润，又尽量让利消费者，则x＝63； ③有两种定价方式可以使利润为1008元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 5.C【解析】设每日销售利润为y元，根据题意：每件利润为（x﹣40）元，每日销量为50﹣2（x﹣60）＝170﹣2x，因此利润函数为：y＝（x﹣40）（170﹣2x）＝﹣2x2+250x﹣6800验证结论①：当x＝70时，y＝（70﹣40）（170﹣2×70）＝30×30＝900，∵结论中说利润为800元，∴结论①错误；验证结论②：二次函数y＝﹣2x2+250x﹣6800开口向下，对称轴为，∵x为正整数，且要求利润最大同时尽量让利消费者（即售价更低），∴x＝62满足要求，结论②错误；验证结论③：令y＝1008，得方程（x﹣40）（170﹣2x）＝1008，整理得x2﹣125x+3904＝0，解得x1＝61，x2＝64，两个根均为正整数，因此有两种定价方式，结论③正确；综上，正确结论只有1个. 6.（2026春•奉化区校级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元． （2）该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？ 6.解：（1）设每件童装降价x元时，平均每天盈利1200元，可根据题意列出方程：（20+2x）（40﹣x）＝1200，解得x1＝10，x2＝20； 答：每件童装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元． （2）由题意，结合（1），设专卖店平均每天所获利润W，由题意得， W＝（20+2x）（40﹣x）， 整理得：w＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，W最大为1250． 答：当降价15元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为1250元． 考点2 拱桥、隧道、实物模型类 7．（2025秋•芜湖期末）如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 7.A【解析】∵AB＝4，CD＝3，∴B（2，3），设抛物线解析式为：y＝ax2，则3＝4a，解得a，故抛物线的表达式为：yx2. 8．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 8.A【解析】∵水面离桥顶的高度为米，∴当y时，得x2，解得x＝4或x＝﹣4．∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）． 9．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 9.A【解析】由题意得：把x＝8代入为中得：y82＝﹣4，∴B（8，﹣4），∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m. 10．（2026•凉州区校级模拟）如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点O建立平面直角坐标系，若点A（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是沙丘的两个端点，则a的值为（　　） A．15 B．18 C．24 D．36 10.B【解析】根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，将点A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m， 解得m，则抛物线解析式为yx2，当y＝﹣144时，x2＝﹣144，∴x＝±18，∵点B在第四象限， ∴a＝18． 11．（2026•甘州区模拟）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 11.A【解析】令h＝0，则，解得x＝8或x＝﹣2（舍），∴小强本次投掷实心球的成绩为8m， 12.（2026•古浪县校级模拟）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．1.5m B．1.8m C．2m D．2.4m 12.B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系． 由条件可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），则a（0+1）×（0﹣1）＝0.6，解得a＝﹣0.6， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）．∵点D的横坐标为2，∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8，∴点C到AD的距离为1.8m． 考点3 运动轨迹类 13．（2026•安定区三模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 13.B【解析】当y＝0时，即yx2x0，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米. 14.（2026•河南模拟）在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度h（单位：m）与下落的时间t（单位：s）的关系可以用公式表示，其中重力加速度g取10m/s2．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后1s内下落的高度为20m，则这个标杆高为（　　） A．100m B．40m C．32.25m D．31.25m 14.D【解析】将g＝10代入，得h＝5t2．设物体下落总时间为ts，∵最后1s内下落高度为20m，总高度减去前（t﹣1）s下落高度等于最后1s下落高度，∴列方程：5t2﹣5（t﹣1）2＝20，展开化简左边：5t2﹣5（t2﹣2t+1）＝10t﹣5＝20，解得t＝2.5，将t＝2.5代入h＝5t2，得：h＝5×（2.5）2＝31.25（m）. 15.（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 15.B【解析】根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． 16．（2026•南阳模拟）你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，s＝20m C．v和s均随t的增大而增大 D．t每增加1s，路程s的增加量相同 16.D【解析】根据二次函数性质结合函数图象逐项分析判断如下：对于选项A：由图2可知，当t＝2时，v＝20，故A正确，不符合题意；对于选项B：由图3可知，当t＝2时，s＝20，故B正确，不符合题意；对于选项C：结合图2和图3可知，v和s均随t的增大而增大，故C正确，不符合题意；对于选项D：由图3可知，s与t的关系不是线性的，因此t每增加1，s的增加量都是不同的，故D错误，符合题意. 17.（2026•安定区三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 17.D【解析】由条件可知点A的坐标为（0，1.6），把点A的坐标（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 可得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，解得a＝﹣0.1，∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，当y＝0时，可得：﹣0.1（x﹣3）2+2.5＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2（舍去），所以实心球掷出的水平距离为8米． 18.（2026•芙蓉区校级模拟）如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为y＝a（x﹣2）2+2.8．已知球门高OB为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则a的值可能是（　　） A．﹣0.8 B．﹣0.1 C．﹣0.05 D．﹣0.01 18.B【解析】当x＝0时，y＝4a+2.8，∵足球能射进球门，∴0＜y＜2.44，∴， 解得﹣0.7＜a＜﹣0.09，则a的值可能是﹣0.1． 19.（2026•牡丹区二模）校园科技节的手工展上，小明设计了一款抛物线形的趣味投篮架．已知篮球架的轮廓抛物线表达式为：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2（其中x为水平距离，y为高度，单位：米）．根据比赛规则，投篮架的顶点（即抛物线最高点）必须落在直线y＝x+1上，才能确保投篮轨迹与得分线完美契合．求满足条件的m的值为（　　） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 19.C【解析】对抛物线解析式配方可得：y＝x2﹣4mx+2m2+3m+2＝（x﹣2m）2﹣2m2+3m+2，∴抛物线的顶点坐标为（2m，﹣2m2+3m+2），∵顶点落在直线y＝x+1上，∴将顶点坐标代入直线方程得：﹣2m2+3m+2＝2m+1，整理得 2m2﹣m﹣1＝0，因式分解得 （m﹣1）（2m+1）＝0，解得 m＝1或． 20．（2026•左权县模拟）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝at2+bt+1．已知“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，飞行8s时的升空高度为33m，则“水火箭”升空的最大高度为（　　） A．33m B．36m C．37m D．40m 20.C【解析】∵“水火箭”飞行3s和飞行9s时的升空高度相同，∴6，∴b＝﹣12a， 把t＝8，h＝33代入h＝at2+bt+1得，64a+8b+1＝33，解得b＝4﹣8a，∴﹣12a＝4﹣8a，解得a＝﹣1， ∴b＝12，∴h＝﹣t2+12t+1＝﹣（t﹣6）2+37，∵﹣1＜0，∴当t＝6时，h有最大值，最大值37，∴水火箭”升空的最大高度为37米. 考点4 减速刹车类 21.（2026•管城区校级三模）函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是s＝﹣2t2+80t．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（　　） A．飞机着陆后前5s滑行的距离为350m B．飞机着陆后滑行800m才能停下来 C．飞机滑行过程中，最后10s滑行了600m D．飞机滑行过程中，最后50m滑行用时5s 21.C【解析】s＝﹣2t2+80t＝﹣2（t﹣20）2+800，所以二次函数开口向下，顶点坐标为（20，800），∴飞机着陆后滑行20s停下，总滑行距离为800m．据此逐项分析判断如下：A：将t＝5代入函数得 s＝﹣2×52+80×5＝350m，A描述正确，不符合题意；B：由顶点可知最大滑行距离为800m，即飞机滑行800m才能停下，B描述正确，不符合题意；C：总滑行时间为20s，最后10s对应t从10s到20s，将t＝10代入得s＝﹣2×102+80×10＝600m，最后10s滑行距离为800﹣600＝200m≠600m，C描述错误，符合题意；D：当滑行距离为800﹣50＝750m时，令﹣2t2+80t＝750，整理得t2﹣40t+375＝0，解得t＝15（舍去大于总时间20s的解t＝25），因此最后50m用时20﹣15＝5s，D描述正确，不符合题意. 22.（2026•寿光市二模）小亮借用黑、白两个小球进行模拟实验．如图①，黑、白两个小球在一条笔直的滑道上同时向右运动；白球始终以2cm/s的速度匀速运动；黑球从A点开始做匀减速运动，设黑球从开始减速到停止运动的运动时间为x（单位：s），此过程中黑球的运动速度v与时间x满足，黑白两球之间的距离为y（单位：cm），且y与x满足的二次函数图象如图②所示．该图象与y轴交于点C（0，70），最低点为D（m，6）．则下列说法：①m＝16；②n＝20；③当黑球刚好停止运动时，黑白两球相距10cm；④黑白两球相距7cm时，此时x＝14s，正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④ 22.A【解析】根据题意得，当两球的速度相等时，两球距离最小，∴此时黑球的速度为2cm/s，∴将v＝2代入得，，∴x＝16，∵y关于x的函数图象成二次函数关系，最低点D（m，6）， ∴m＝16，故①正确；∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣16）2+6，将（0，70）代入得，70＝a（0﹣16）2+6，∴．∴二次函数的解析式为，当v＝0时，， ∴x＝20，即n＝20，故②正确；∵黑球刚好停止运动时，x＝20，∴黑白两球的距离为y202﹣8×20+70＝10（cm），∴黑白两球相距10cm，故③正确；当黑白两球相距7cm时，令7，∴x＝14s或18s，故④错误．综上，正确的是①②③． 考点5 几何图形类 23.（2025秋•杭锦后旗期末）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则该活动区的面积S可表示为（　　） A．S＝x（24﹣2x） B．S＝x（24﹣x） C．S＝2x（24﹣2x） D．S＝2x（24﹣x） 23.A【解析】利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区，设矩形活动区的宽为xm，则长为（24﹣2x）m，∴S＝x（24﹣2x）. 24.（2026春•永寿县期末）如图，将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．y＝（20﹣x）（15﹣x） C．y＝x（20﹣2x） D．y＝x（15﹣2x） 24.A【解析】将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则：根据题意可得，盒子底面的长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，∵盒子底面积为ycm2，∴y＝（20﹣2x）（15﹣2x）． 25.（2026•南漳县模拟）如图，有一块矩形空地ABCD，学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪，其中点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，且AE＝AF＝CG＝CH，已知AD＝30m，AB＝50m，则草坪面积最大为（　　） A．600m2 B．800m2 C．1000m2 D．1200m2 25.B【解析】根据题意得y＝50×30﹣2x2﹣2（50﹣x）（30﹣x）＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵﹣2＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为800，∴草坪面积最大为800m2. 26.（2026•诸暨市二模）如图，一块长方形ABCD绿地，AB＝8米，BC＝6米，中间铺设了两条互相垂直的路径（EF⊥AC），路径两边互相平行（EF∥GH，AC∥MN），重叠部分为四边形A1B1C1D1，已知EG＝CN＝x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1，△CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是（　　） A．y＝（8﹣x）（6﹣x） B． C． D． 26.【解析】过N作NL⊥AC于L，延长NM交DA的延长线于点K， ∵AB＝8米，BC＝6米，∴AC10（米）．∴sin∠ACB＝sin∠LCN．∴sin∠LCN．∴LNCNx（米）．∵AK＝CN＝x米，∴AMx米，∴S△AMKx2米2，∴通道的面积为：8x+6xx2x2＝14xx2．∵四块草地总面积为y米2，长方形的面积为48米2，∴y＝48﹣（14xx2）x2﹣14x+48． 27．（2026•滨海新区校级三模）如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 27.B【解析】由图2可知，函数图象最高点为P（2，4），经过原点，设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+4， 代入（0，0），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，由此判断：矩形ABCD最大面积是4平方米，故①错误；二次函数解析式为y＝﹣x2+4x，故②正确；矩形ABCD面积最大时，x＝2，故③错误；D．当x＝2时，矩形ABCD面积取最大值y＝4，∴AB＝4÷2＝2，∴a＝（AB+BC）×3＝（2+2）×3＝12，故④正确． 28．（2026春•浦东新区校级月考）某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为20cm的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为20cm的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率100%． （1）公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为72%，已知纸盒的长为12cm、宽为6cm，求纸盒的高以及此时的容积． （2）请你根据给定的边长为20cm的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为xcm，试探究该款纸盒的材料利用率y与x之间的函数关系式，并说明材料利用率y随x的变化而变化的情况． 28.解：（1）设纸盒的高为hcm，根据题意可得： 2×（12×6+12h+6h）＝202×72%， 解得：h＝4， 则纸盒的容积为：V＝12×6×4＝288cm3； （2）根据题意可得： ， 由条件可知0＜x＜10， ∴， 抛物线对称轴为直线x＝0， ∴当0＜x＜10时，y 随x的增大而减小． 考点6 其他类 29．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 29.C【解析】∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次，∴实际握手次数为，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：． 30.（2026•陕西校级模拟）如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系．已知：抛物线（点A与点B之间的部分）y＝﹣x2+bx+b+1（0≤x≤m），m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm，点B到x轴的距离是． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求m的值． 30.解：（1）将y＝﹣x2+bx+b+1化成顶点式为， ∴这个抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm，且0≤x≤m， ∴， 解得b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3． （2）∵点B到x轴的距离是，且0≤x≤m， ∴， 将点代入y＝﹣x2+2x+3得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴m的值为． 31.（2026•乾县模拟）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 31.解：（1）由题意得，抛物线L2的顶点为（0.8，2）， ∴可设L2所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.8）2+2， 又∵此时图象过点B（0，1.2）， ∴1.2＝a（0﹣0.8）2+2， ∴0.64a＝﹣0.8，则， ∴L2所在抛物线的函数表达式为； （2）由题意，设OD＝d，则OF＝2d， ∴壶口C的坐标为（d，0.2）， ∴壶口E（2d，0.2）， ∴， ∴2d﹣0.8＝±1.2， ∴d＝1（负值舍去）， ∴OD＝1，OF＝2.2． 又∵将x＝2代入L2的表达式：y＝﹣5（2﹣0.8）2+2＝﹣5×1.44+2＝﹣1.8+2＝0.2， ∴此时y＝0.2，与壶口E的高度EF＝0.2相等， ∴机器人此次投壶能恰好投入壶口． 能 力 提 升 练 32.（2026•汇川区四模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，36），且经过E（2，157）和F（n，157）两点．下列选项正确的是（　　） A．n＝24 B．点C的纵坐标为204 C．m＝14 D．点（15，42）在该函数图象上 32.A【解析】∵函数图象过点（2，157），此时点Q运动到点E处， ∴AE＝2，PE2＝157， ∵最低点D（m，36），此时PD⊥AB，点Q在点D处，∴PD2＝36，∠PDA＝∠PDB＝90°，∴DE11，∵F（n，157），此时点Q在点F处，∴PF2＝157，∴DF11，∴n＝DF+DE+AE＝11+11+2＝24，故A选项正确，符合题意；m＝DE+AE＝11+2＝13，故C选项错误，不符合题意；设点E，F，D所在的抛物线解析式为：y＝a（x﹣13）2+36，∴157＝a（2﹣13）2+36，解得：a＝1， ∴y＝（x﹣13）2+36，当x＝0时，y＝205，∴点C的纵坐标为205，故B选项错误，不符合题意；当x＝15时，y＝40，∴点（15，42）不在该函数图象上，故D选项错误，不符合题意. 33．（2026•永城市一模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动速度v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示v与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关系，则下列说法不正确的是（　　） A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8cm/s D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 33.B【解析】由图2，v是一次函数，∴可设v＝kt+b（k≠0），∵过点（0，12）和（24，0），∴当t＝0时，v＝12，故b＝12；当t＝24时，v＝0，代入得0＝24k+12，解得，∴；由图3，y是二次函数，且过原点，∴可设y＝at2+bt，将点（4，44）和（8，80）代入解析式，∴， ∴，b＝12，∴；对于A：，，∴速度v随t增大而减小，故A正确；对于B：路程y是二次函数，说明速度在变化（匀减速），单位时间内路程不同，故B错误；对于C：当y＝80时，，∴t＝8（t＝40舍去），此时，故C正确；对于D：弹珠停止时t＝24s，代入，故D正确． 34．（2026•科尔沁区校级二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； （3）当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 34.解：（1）∵三边栅栏总长为36米，AB＝x米， ∴BC＝（36﹣2x）米． ∴y＝x（36﹣2x），即y＝﹣2x2+36x． ∵墙长20米， ∴8≤x＜18． （2）令y＝34，则﹣2x2+36x＝34， 解得x＝17或x＝1． ∵8≤x＜18， ∴x＝17， 当x＝17时，满足条件的花园面积能达到34平方米． （3）将y＝﹣2x2+36x化为顶点式为y＝﹣2（x﹣9）2+162， ∵8≤x＜18， ∴当x＝9时，y最大，最大面积是162平方米． 35．（2026•渭滨区校级模拟）在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线．如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度AO＝1.2m，当弹力球运动到距点A的水平距离为2m的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为2.4m．以点O为原点，地面所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） （1）求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，OM＝1.8m，落地点为N，求弹射点M与落地点N的水平距离ON． 35.解：（1）由题意知A（0，1.2），该抛物线的顶点坐标为（2，2.4）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+2.4（a≠0）， 将点A（0，1.2）代入y＝a（x﹣2）2+2.4得4a+2.4＝1.2， 解得a＝﹣0.3， ∴y＝﹣0.3（x﹣2）2+2.4， 当y＝﹣0.3（x﹣2）2+2.4＝0时， 解得（舍去）， ∴， ∴； （2）由题意得抛物线向上平移1.8﹣1.2＝0.6个单位长度， ∴y＝﹣0.3（x﹣2）2+3， 当y＝0时，﹣0.3（x﹣2）2+3＝0， 解得，（舍去）， ∴若弹力球从点O正上方的点M处弹出，OM＝1.8m，落地点为N，弹射点M与落地点N的水平距离ON的长为． 36．（2026•钦州校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路AB的宽为20m（路内侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为8m． （1）任务1：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线OM为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． （2）任务2：按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行，求支撑柱的最大高度． （3）任务3：若在该彩虹桥下方有一个限高5m的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长9m、宽1m的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 36.解：（1）根据题意建立平面直角坐标系，如图所示： ∴，OM＝8， ∴点B（10，0），顶点M（0，8）， 设该抛物线的解析式为y＝ax2+8， 将B（10，0）代入y＝ax2+8得：0＝a×102+8， 解得：a＝﹣0.08， ∴y＝﹣0.08x2+8（﹣10≤x≤10）； （2）∵要确保道路AB的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为20﹣2×2＝16m， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到OM的距离至少为16÷2＝8m， 令x＝8，则y＝﹣0.08×82+8＝2.88m， ∴支撑柱的最大高度为2.88m； （3）横幅能按计划悬挂，理由如下： 由题意得：横幅的上边沿离路面的距离为5+1＝6m， 令y＝6，则﹣0.08x2+8＝6， 解得x1＝﹣5，x2＝5， ∴5﹣（﹣5）＝10， ∵9＜10， ∴若在该彩虹桥下方有一个限高5m的横杆，现要在横杆上方悬挂一个长9m、宽1m的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能按计划悬挂． 37.（2026•淮阳区校级模拟）一架无人机进行表演活动，从地面起飞，其竖直高度y（单位：m）与离出发点的水平距离x（单位：m）满足二次函数关系，飞行路线如图所示，将出发点设为原点，建立平面直角坐标系．当x＝2时，y＝7．当x＝8时，无人机达到最大高度，最终落回地面． （1）求y关于x的函数解析式． （2）表演过程中，工作人员在竖直高度10米处水平放置两个圆环，无人机需穿过两圆环中心点．求两个圆环中心点之间的水平距离． （3）若将无人机移至高度为t（t＞0）米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落地点距离起飞点的水平距离不超过18米，直接写出t的取值范围． 37.解：（1）∵抛物线顶点横坐标为8，且经过原点（0，0）， ∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣8）2+h． ∵函数图象经过（0，0），（2，7）， ∴可得方程组， 解得，h＝16， ∴函数解析式为， 整理得； （2）∵圆环竖直高度y＝10， ∴列方程， 整理得x2﹣16x+40＝0， 设方程两根为x1，x2，则 x1x2＝40，x1+x2＝16， ∴两点水平距离 ； （3）∵飞行路线形状不变，从高度t高台起飞， ∴新函数解析式为． ∵落地点水平距离不超过18米，即x＝18时y≤0， ∴， 解得t≤9， ∵t＞0， ∴若将无人机移至高度为t（t＞0）米的高台上起飞，飞行路线形状与原路线相同，且要求无人机落地点距离起飞点的水平距离不超过18米，则0＜t≤9． 38．（2026•伊宁市二模）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分． 【建立模型】 （1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围） （2）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由． （3）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围． 38.解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得： ， ∴． ∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7， （2）结合（1）y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7， ∵﹣0.1＜0， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7， ∵2.8＞2.7， ∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m； （3）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴a＝﹣0.1， ∴解析式为y＝﹣0.1x2+kx+1.1， 当x＝5时，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1， 解得k＞0.7； ∵球的落地点与球网的水平距离小于6， ∴当x＝11时，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0， 解得k＜1， ∴k的取值范围为0.7＜k＜1． 39．（2026•山西校级三模）综合与实践： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶ABCD，截面宽AB＝1米，竖直高为BC＝1.5米，请根据上述信息解决下列问题： （1）求图1中抛物线的函数表达式； （2）求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离OE； （3）若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶ABCD，求台阶应放在离点O多远处？（求OA的取值范围） 39.解：（1）图1中抛物线的顶点坐标为（2，2），且过点（0，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2， 将点（0，0）代入y＝a（x﹣2）2+2，得， ∴； （2）将y＝0代入，得， ， 解得x＝0或x＝4， ∴E（4，0）， ∴机器人第一次落地点与起跳点之间的距离OE＝4． （3）第一次落地点的坐标为（4，0），即第二次起跳点的坐标为（4，0）， 根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线， ∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移4个单位得到， ∴第二次跳跃的抛物线为， 将y＝1.5代入，得， ， 解得x＝5或x＝7， 机器人想要越过长方体台阶ABCD，则点C和点D必须在抛物线的内部， ∴xD≥5，且xC≤7， ∵AB＝1， ∴5≤OA≤6， 答：台阶应放在离点O距离5～6米处，即5≤OA≤6． 真 题 提 前 练 40．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（　　） A．9cm B．30cm C．90cm D．360cm 40.C【解析】∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90，∴当x＝30时，y取得最大值90，即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm. 41.（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满足函数关系y4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流　不能　 击中昆虫．（填“能”或“不能”） 41.不能【解析】由题意，把x＝20代入解析式：， ∵昆虫纵坐标为50，40≠50，∴不能击中． 42．（2026•无锡）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m．沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最高点，最高点距离地面2m．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m．小红出手高度仍为1.5m，出手点与靶心的水平距离仍为10m．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 42.解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（0，1.5）， 设抛物线的解析式为，其中x＞0， 将点（0，1.5）代入得：（0﹣3）2a1+2＝1.5， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当y＝0时，， 解得x＝9或x＝﹣3＜0（不符合题意，舍去）， ∵9≠10， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点（0，1.5），（10，1），且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中x＞0，由条件可得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当x＝4时，y取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 43．（2026•武汉）某校九年级开展了“手工文创作品制作•模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查 选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． 成本核算 分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立 设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件，求关于x的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）． 方案设计 若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 43.解：（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为（a+2）元， 由题意可知：， 解得：a＝4， 经检验：a＝4是原方程的根，符合题意， 故a+2＝6， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）∵当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件， ∴A品的销量为：220﹣10（x﹣18）＝400﹣10x（件）， ∴B品的销量为：300﹣（400﹣10x）＝10x﹣100（件）， ∴w＝（x﹣6）（400﹣10x）+（16﹣4）（10x﹣100）＝﹣10x2+580x﹣3600， 答：w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+580x﹣3600； （3）制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴6（400﹣10x）+4（10x﹣100）≤1400， 解得：x≥30， 又∵400﹣10x≥0且10x﹣100≥0，即10≤x≤40， ∴30≤x≤40， ∵w＝﹣10x2+580x﹣3600＝﹣10（x﹣29）2+4810，﹣10＜0， ∴当30≤x≤40时，w随着x的增大而减小， ∴当x＝30时，， 此时400﹣10x＝100，10x﹣100＝200，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 44．（2026•深圳）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入y（单位：元）与当日充电汽车数量x（单位：辆）之间的对应关系如表： x 1 2 3 4 5 y 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本ω（单位：百元）与充电汽车数量x之间满足：ω20x+500． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据如表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x＝40时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式． 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y＝mx，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益＝收入﹣成本）取得最大值，请写出一个符合条件的m值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 44.解：（1）由表格数据可知y与x成正比例关系，设y＝kx， 将x＝1，y＝50代入得k＝50， ∴y与x的函数关系式为y＝50x， 当x＝40时，y＝50×40＝2000（元）； （2）收支平衡满足y＝ω， ∴50x20x+500． x2﹣120x+2000＝0， （x﹣20）（x﹣100）＝0， 解得x1＝20，x2＝100，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入y与x的新关系式为； （3）设净收益为W， ∴W＝mx﹣（20x+500）x2+（m﹣20）x﹣500， ∴二次函数开口向下， ∴当时W取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴2（m﹣20）＝80． 解得m＝60． 学科网（北京）股份有限公司 $