第26章 二次函数——抛物线与线段最值 将军饮马 题集 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦抛物线与几何最值综合问题，通过多题组训练强化几何直观与推理能力，构建二次函数性质与最短路径原理的应用逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线与几何最值|6题（含多问）|抛物线背景下距离和/差最值、周长最小问题|二次函数解析式求解→对称轴性质认知→对称点转化思想→两点之间线段最短原理应用|

1. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且与轴交于点，与轴交于 、两点．（点在点的左边） （ 1 ）求抛物线的解析式及、两点的坐标． （ 2 ）在（ ）中抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ， ， ． ． （ 1 ）由题意，设抛物线的解析式为 ， ∵抛物线经过 ， ， 解得： ∴当 解得： ∴ ， ，即： ， 时， ， 或 ， ， ． （ 2 ）存在， 如图， 由（ ）知：抛物线的对称轴 为直线 ， 因为 所以 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 、 两点关于 对称，连接 交 于点 ，则 的值最小， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ， ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 2. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点，若使的周长最小，则点的坐标为 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 y x O 令 ，则 ， 解得 ， ， 令 ，则 ， ∴ ， ， ， 由题意得，点 与点 关于抛物线的对称轴对称， 连接 设直线 代入得 ，则 与抛物线对称轴的交点是点 解析式为 ，把 的位置， ， 解得： ， 则直线 的解析式为 ∵抛物线 故点 的坐标为： ， 的对称轴中得 ． ， 把 代入 ， 【知识点】二次函数与线段和差问题 3. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经、两点． （ 1 ）求抛物线的解析式．y x O （ 2 ）在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使它到点的距离与到点的距离之和最小，如果存在求出点 的坐标，如果不存在请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． （ 1 ） 根据题意得： ， 解得： ， 则二次函数的解析式是 ． （ 2 ）存在． y x O 设抛物线与 轴的另一个交点是 ，由抛物线的对称性得 与对称轴的交点就是 ． ∵ 点的坐标是 ， 设直线 的解析式是 ，则 ，解得 ， ∴直线 的解析式是 ．当 时， ， ∴点 的坐标是 ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． y x O （ 1 ）利用直尺和圆规，作出抛物线的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （ 2 ）若是等腰直角三角形，且其腰长为，求抛物线的解析式． （ 3 ）在（2）的条件下，点为抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． （ 1 ）作图见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） （ 1 ）作图如下，直线 即所求． y x O （ 2 ）当 时， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 将 代入解析式得： ，解得 ， 则抛物线的解析式为： ． （ 3 ）∵抛物线交 轴于 、 两点， ∴ ， ∴ ， 最小值即为线段 ，（两点之间线段最短）又∵在 中， ， ∴ 最小值为 ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 5. 如图，已知抛物线与轴交于、 两点，与交于点． （ 1 ）求抛物线的解析式及顶点 坐标． （ 2 ）在抛物线的对称轴上找到点，使得的周长最小，并求出点的坐标． （ 1 ）抛物线的解析式为 （ 2 ） ，顶点 为 ． （ 1 ）∵抛物线 ∴ ， 、 、 三点， ，解得 ． ∴抛物线的解析式为 （ 2 ）∵点 、 关于抛物线的对称轴对称， ，顶点 为 ． ∴连结 与抛物线对称轴交于一点，即为所求点 ，为 ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 6. 如图，已知与轴交于，两点，与轴交于点，点为点关于对称轴的对称点．在抛物线的对称轴上存在一点，使 有最大值，则这个最大值为 ． y x O 【知识点】二次函数与轴对称问题 7. 如图所示，抛物线的顶点坐标为点，且抛物线与轴交于点．若点是轴上任意一点，则当 最大时，求点的坐标，并求此时的最大值． y x O ； 的最大值为 ． 【知识点】二次函数与轴对称问题 $抛物线与线段最值(2)将军饮马进阶【题集】 1.如图，已知二次函数=ax2+加-4(a卡0)的图象与轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与 轴交于点C,点A的坐标为(-2,0)，且当c=一1和=3时，二次函数的值相等，直线AD交抛 物线于点D(2,m)】 B (1)求二次函数的表达式 (2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A,B不重合），过点P作PE/AD,交BD于E,连 接DP,当△DP的面积最大时，求点P的坐标， (3)若直线AD与轴交于点G,点M是抛物线对称轴上的动点，点N是轴上的动点，当四边形 CMNG的周长最小时，求出周长的最小值和点M、点N的坐标. B 【答案1(1)y=2-8-4 (2)P1,0) (3)2wi而+2，ML-.w(径0） 【解折】(1)三次函数解折式为则=女2-2-4 (2)如图，过作EF⊥x轴于F. 2 指D2m代U=-g-g,m=-4则P坐标为B,到 设AD解析式为y=kc+b, 把A(-2,0),D(2,-4)分别代入解析式得 -2k+b=0 12k+b=-4 e=子 直线4D解折式为=--2 2 8 .PE//AD 设PE解析式为=一x+9。 设BD解析式为=mx+n 4m+n=0 把B(4,0）,D(2,-4)分别代入解折武，得2m十n=-4, 了m=2 解得n=-8 ·直线BD解析式为y=2c-8. 则可设Et,2t-8), 将Et,2t-8)代入y=-x+g得2t-8=-t+g 即g=3t-8 PE解折式为g=一2+3t-8 当y=0时，2=3t=8p京里3t二8,0 当a0P8=g3t-4-8+联+36t-48 36 ,2×-6=3 SADP眉 ,得 (3)如图，3须藏对所编秀8=1，则P(1,0)关于 的对称点为 关于轴的对称点为 =1C0,-4)x=1 C(2,-4)G0,-2) C'(0,2) 2 G C 连接CG',与交点即为M,与轴交点即为N」 此时四边形CMNG的周长最小值=C'C+CC 设CG的解析式为y=2x+8, 将C(2,一4④)，GC(0,2)分别代入解析式得， 2z+8=-4 18=2 2=-3 解附，9=2 .CG的解折式为y=-3x+2 当=1时，y=-1,M(1,-1) 到=时z=后N(传0） 四助形CMNG的周长最小值=CC+CG=V(0-2)2+(2+4)2+2=2W10+2 【标注】 【知识点】二次函数与轴对称问题 平面直角坐标系中，形ABC0,B点坐标4,3，抛物线)=22+应 的顶点B、C,D为BC的中点，直线AD与轴交于E点，与抛物线=一22+证 于第四象限的F点。 D B (1)求该抛物线解析式与F点坐标， (2)动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，过点P作 PH⊥OA,垂足为H,连接EP,FH.设点P的运动时间为t秒，问EP+PH+HF是否 有最小值？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由 【答案】(1)女+2z+3:F6-). (2)t=3 【解折](1)该抛物线解折式-女+2z+3:F6,-3》 (2)将E点向下平移3个单位长度得(O,3),连接F交轴于H点，过H点作HP⊥x轴交BC 于P点，连接EP,此时EP十PH+HF最小易得F解析式为y=-x+3 .H(3,0) ·P(3,3) t=3. 【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线划=x2+bc十经过A(0,2)、B(4,4两点. (1)求抛物线的解析式. (2) 4 在轴上存在C、D两点（点C在点D右侧），CD=1,求当四边形ABCD周长最小时C点 的坐标 【答案(1)y=2 22+2. (2)(2,0). 【解析】(1) (2)y B A 1A' D 【标注】 【知识点】二次函数与轴对称问题 4.在平面直角坐标系x○y中， 抛物线划=22+bm+经过A(2,0叭、B(4,0)两点，直线=2+2交 轴于点C,且过点D(8,m): (1)求抛物线的解析式. (2)将抛物线划=x2+b加十c左右平移，记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,当四 边形A'BDC的周长最小时，求抛物线的解析式及比时四边形A'BDC周长的最小值 y 【答案】(1)y=x2-6a+8, 6 3 2 1 12345678 -2 y=x2-5+ 21 12+45 (2) 【解析】 4+)2依题意得 116+46+c=0 b=-6 解得c=8, 抛物线的解析式是=2-6x十8 (2)左右平移抛物维y=2-6c+8因为线段NB=和CD=V8+=4√约是定 值， 所以要使四边形A'BD的周长最小，只要使A'C+B的值最小； 因为AB=2因此将点向右平移分单位得C1(2,2) 作点C关于轴的对称点C2C点的唑标为(2，-2) 设直线C2,的解析式为y=k:+b 将点c6,2,-2引D86代入解折 式，得 2k+b=-2 18k+b=6 4 4 解得 k= 14 b=- 直线的解式为 C2D 414 y= 32、 3 B -2 4B5 678 :直线C2卢的交点即为B点， 可(30 所以当四边形 的周长最小时， A'BD 抛物线的解析式为 =e-3e- 1 y=2-5m+4 #BD=的张最水循为82=10 ABDC +45+10=12+45 【知识点】二次函数与轴对称问题 【标注】 1. 如图所示，直线与轴交于点 ，与轴交于点，抛物线 经过点，． y x O 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）点在抛物线的对称轴上，求的最小值？ 2. 如图，已知抛物线 的对称轴为 ，过其顶点 的一条直线 与该 抛物线的另一个交点为 ．要在坐标轴上找一点 ，使得 的周长最小，则点 的坐 标为（ ）． A. B. C. 或 D. 以上都不正确 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 、 、 三 点，抛物线的解析式：，若点 是该抛物线对称轴上的一点，求的最小值（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 4. 如图，抛物线与轴交于两点，． （ 1 ）求，的值． （ 2 ）观察函数的图象，直接写出当取何值时，． （ 3 ）设抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线的顶点，连接 ．在抛物线的对称轴上求一点 ，使点 到点的距离与到点的距离之和最小，此时点 的坐标为（ ）． 备用图 A. B. C. D. 6. 如图，抛物线（）经过梯形的四个顶点，梯形的底在轴上，其中 ,．y x O （ 1 ）求抛物线的解析式. （ 2 ） 点 为轴上任意一点，当点 到、两点的距离之和为最小时，求此时点 的坐标. （ 3 ）点为轴上任意一点，当点到、两点的距离之差为最大时，求此时点的坐标. 7. 如图，抛物线解析式为． y x O （ 1 ）点为抛物线的顶点，在抛物线上找点使得，求出所有的点． （ 2 ）在抛物线的对称轴上找一点，使得 最大，求点坐标． y x O $ 1. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点的坐标为，且当和时，二次函数的值相等，直线交抛 物线于点．A O P E B C D （ 1 ）求二次函数的表达式． （ 2 ）点是线段 上的一动点（点和点，不重合），过点作 ，交 于，连 接，当 的面积最大时，求点的坐标． （ 3 ）若直线 与轴交于点，点 是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，当四边形 的周长最小时，求出周长的最小值和点 、点的坐标．P A O B G C D 2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形，点坐标为，抛物线 经过矩形 的顶点、，为的中点，直线与轴交于点，与抛物线 交 于第四象限的点． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求该抛物线解析式与点坐标． （ 2 ）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，过点作 ，垂足为，连接，．设点的运动时间为秒，问是否有最小值？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）在轴上存在、两点（点在点右侧），，求当四边形周长最小时点的坐标． 4. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 、 两点，直线 交 轴于点，且过点 ． 6 y x O （ 1 ） 求抛物线的解析式． （ 2 ） 将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值． $抛物线与线段最值(1)将军饮马【题集A】 1.如图1所示，直线划=x+c与轴交于点A(-4,0),与轴交于点C,抛物线划=一x2+bm+c经 过点A,C 图1 (1)求抛物线的解析式. (2)点在抛物线的对称轴上，求CE+O的最小值？ 【答案】（1)y=-x2-3x+4. (2)5. 【解析】(1)将A(-4,0)代入y=x+c, ∴c=4. 将A(-4,0)和c=4代入y=-x2+bx+c, .b=-3 .抛物线解析式为y=一x2-3x十4. （2)做点©失于抛物线的对称轴直线的对称点C”,连0C,交直线于点E B 连CE,此时CE+O的值最小 抛物线对称轴位置线红=一号 ∴.CC=3,由勾股定理得OC=5 .CE+OE的最小值为5. 【标注】【能力】运算能力 【方法】待定系数法 【知识点】二次函数一般式 【知识点】二次函数与轴对称问题 2.如图，已知抛物线划=一x2十p心十的对称轴为=-3，过其顶点胸一条直线划=kx十b与该抛 物线的另一个交点为N(-1,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐标 为(). A(0,2) B( c0,2(台0） D.以上都不正确 【答案】A 【解析】如图1 ·抛物线y=一x2+pc+q的对称轴为x=-3,点N(-1,1)是抛物线上的 一点， p -2 -3 1=-1-p+g 图1 化-9 该抛物线的解析式为y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5, ·.M(-3,5) ',△PMN的周张=MN+PM+PN,且MN是定值，所以只需(PM+PN)最小. 如图1，过点M作关于轴对称的点M',，连接MN,M'N与轴的交点即为所求的点P.则 M'(3,5) 设直线M'N的解析武为：y=ax+t(a≠0)，则5二3a+t 11=-a+t 解{任= 故该直线的解析式为y=x+2 当x=0时，y=2,即P(0,2) 同理，如图2，过点M作关于c轴对称的点M',，连接M'N,则只需M'N与轴的交点即为所求的 点P 0 如果点P在轴上，则三角形PMN的周张=4V2+MN.如果点P在 轴上，则三角形PMN的周张=2W10+MN. 所以点P在(0,2)时，三角形PMN的周长最小. 综上所述，符合条件的点P的坐标是(0,2) 图2 故选：A 【标注】 【知识点】二次函数与轴对称问题 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线划=ax2+bm+经过A(-2,-4).0(0,0)B(2,0)三 点， 地物的解折武三2+若点M是该地物称正的一点，求4M十OM的 值() B A.2V B.3V2 C.4√2 D.52 【答案】C 【解折】)=- AM+OM的最小值为4W2】 图2 图3 【标注】【知识点】二次函数与轴邮对称问题 4.如图，抛物线划=x2+c十c与轴交于两点A(-1,0),B(3,0) (1)求b,c的值 (2)观察函数的图象，直接写出当x取何值时，y>0 (3)设抛物线交轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存 在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)b=-2,c=-3 （2)当x>3或x<-1时，y>0. （3)点的坐标为(1，-2) 【解析】 (1)·抛物线=x2+bm+c与轴交于两点A(-1,0),B(3,0), 1-b+c=0 19+3b+c=0 解得 b=-2 1c=-31 抛物线的解析式为y=x2-2c-3】 （2)由图象可知：当x>3或<一1时，y>0 (3)在该抛物线的对称轴上存在点Q,使得△QAC的周长最小，理由如下： ,AC长为定值， :要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小， ,点4关于对称轴=1对称点为31， 令”万线得与对轴 的交点， C0,-3) 设直线BC的解析式为y=k一3， 把点B(3,0)代入得：3k-3=0,解得：k=1, 直线BC的解析式为y=x一3， 4 当x=1时，y=-2 点Q的坐标为(1，-2) 【标注】 【知识点】二次函数与轴对称问题 5.如图，抛物线划=一x2+2x十3与轴交于点A、B,与轴交于点C,点D是抛物线的顶点，连接 BD.在抛物线的对称轴上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，此时点M的 坐标为(). 备用图 A(1,1) B.(1,2)） C.(1,3) D.(1,6) 【答案】B 【解析】如图 B 图1 连结BC,交对称轴于点M,此时M为所求点，使得MA+MC达到最小值 当x=0时，y=3..C0,3) 当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得：x1=-1,x2=3, B(3,0) 设BC所在直线的解析式为：y=kc+3, 将B点坐标代入函数解析式，得3k+3=0, ∴.k=-1, ∴BC所在直线的解析式为：y=一x+3, 当z=1时，y=2: M(1,2) 【标注】 【知识点】二次函数与轴对称问题 6.如图，抛物线划=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴上，其中 A(-2,0)B(-1,-3) (1)求抛物线的解析式. (2)点M为W轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标. (3)点N为轴上任意一点，当点N到A、B两点的距离之差为最大时，求此时点N的坐标. 【答案】(1)y=x2-4. (2)M(0,-2). (3)N(0,-6) 【解析】(1) 因为点A均在抛物线上， 故点A、的坐标适合抛物线方程 :J4a+c=0 a+c=-3 解之得 Ja=1 c=-4' 故=2-4为所求。 (2)连接BD,交轴于点M, 6 M 则点 辣晕李作的点设 的解折武为=红+6 BD 则有1-k+b=-3, k=1 解得b=-2, 故BD的解析式为y=x-2; 令x=0则y=-2 故M(0,-2)· B (3)连接AB,交轴于点N,则点N就是所求作的点. 设4B的解析式力， 则有∫-2k+b=0 1-k+b=-3 解得了k=-3 故 解折武 母4知9 y=-3x-61 ,则 故8=0y=-6 N(0,-6) y B 【知识点】二次函数般式 【标注】 7.如图，抛物线解析式为y=x2-2c-3 D (1)点D为抛物线的顶点，在抛物线上找点Q使得S△DBC=S△QBC,求出所有的点Q. (2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得PB一PC最大，求P点坐标. B 1)@a0a-3-四，1-).o2+,1+y (2)P(1,-6) 解1（1)双平行线，00，-4,92.-3.Q(3-亚，1-)。 2 .3+. 1+V17 2 2 (2)略. 【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题 P 1. 已知抛物线的顶点坐标为 ，且与轴交于点，与轴交于 、两点．（点在点的左边） （ 1 ）求抛物线的解析式及、两点的坐标． （ 2 ）在（ ）中抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 2. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点，若使的周长最小，则点的坐标为 ．y x O 3. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经、两点．y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使它到点的距离与到点的距离之和最小，如果存在求出点 的坐标，如果不存在请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． 1 学科网（北京）股份有限公司 y x O （ 1 ）利用直尺和圆规，作出抛物线的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （ 2 ）若是等腰直角三角形，且其腰长为，求抛物线的解析式． （ 3 ）在（2）的条件下，点为抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． 5. 如图，已知抛物线与轴交于、 两点，与交于点． （ 1 ）求抛物线的解析式及顶点 坐标． （ 2 ）在抛物线的对称轴上找到点，使得的周长最小，并求出点的坐标． 6. 如图，已知与轴交于，两点，与轴交于点，点为点关于对称轴的对称点．在抛物线的对称轴上存在一点，使有最大值，则这个最大值为 ． y x O 7. 如图所示，抛物线的顶点坐标为点，且抛物线与轴交于点．若点是轴上任意一点，则当 最大时，求点的坐标，并求此时的最大值．y x O $