第二十五章一元二次方程学情自测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元复习同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”三级分层设计，覆盖从概念辨析、运算求解到实际应用的完整知识路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|核心概念与基本运算|单选1-5辨析一元二次方程定义，解答17直接考查三种解法，夯实抽象能力| |中档层|公式应用与简单综合|单选6-8结合判别式分析根的情况，解答19分类讨论方程类型，发展推理意识| |提升层|实际问题与综合探究|解答22工程问题、24利润问题构建数学模型，填空16增长率问题培养数据观念|

第二十五章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.x+y=2 B.x-1=1 C.x2-13=0 D.2x+1=0 2.若方程m-3列r+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 3.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a+2a的值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 4,若一元二次方程术-6x+n=0 x-m)2= 配方得到 ,则m,”的值分别为（) A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 5.一元二次方 2-(m+x+1=x(x-)化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系 数为-1，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 x2+bx+c=0(a≠0) 6.已知关于x的一元二次方程 ,下列说法中正确的个数有() ①若b=0,则方程总有实数根；②若b2=4c,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=C,则方程无实数根；④若b=a+C,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.若关于*的一元二次方程任-m(x-)=0的解也是k-3=b口≠0)的解，则m 与n满足的数量关系为() A.m+n=3 B.m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 8.有一个人患流感，经过两轮传染后共有100个人患流感.则每轮传染中平均一个人传染 的人数为() 试卷第1页，共3页 A.9 B.10 c.11 D.12 9.已知实数a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，则a+a+6b的值是() A.14 B.-14 c.172 D.10 10.若3a+b=30,则2ab的最大值为() A.-75 B.75 C.-150 D.150 二、填空题（每题3分，共18分） 1,已知关于x的方程m+n-小：-(a+小r+m=0是一元二次方程，则m+n的简为 12.将方程2-2x-l0化成+旷=b(4b为常数)的形武，则a+bm。 13,已知实数满是任-4（女-小12=0，则代数式-x+1的值为 2x2-2xy+y2=1 14.已知x,y满足 则+2 的最大值为 X+3x=1 15.方程x+3的根是 16.某药品两次涨价，零售价涨为原来的1.2倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价 的百分率 (精确到0.1%.V30≈5.477 三、解答题（每题9分，共72分） 17.解方程： 0-5x=0 (②r-7x+6=0 6)x+3}2=2x+5 试卷第2页，共3页 18,已知a是方程2-2026x+1=0的一个根，试求d-2025a- a2+1 2026的值. 19.已知方程(m-2)r2+(m+1)x+3m-1=0 (I)如果是关于x的一元二次方程，试确定的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数 项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定的值. 20.阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值.例如： 材料一： x2+4x-5=x2+4x+ =(x+2)2-9 =(x+2+3)(x+2-3) =(x+5)(x-) 材料二： x2+4x-5=x2+4x+ - =(x+2)2-92-9 .x2+4x-5 -9 的最小值为. 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：x2+2x-8: (2)已知ab、c是△ABC的三边长，且满足d2+b+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的周 长 (3)已知实数a、b满足-a+3a+b-5=0,求a+b的最值. 试卷第3页，共3页 2-2(k+1)x+k2+2=0 21.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围： @已知方程的两个实数根分别为“，B,且a+B+)=1B,求产的值 (2)k=2 【分析】(1)一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式△>0，代入系数解不等式得 到k的范围： (2)先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开(a+(B+)进行代换， 得到关于k的一元二次方程，求出解后结合第(1)问的取值范围舍去不符合的解. 【详解】(1)解：，该一元二次方程有两个不相等的实数根， △=[-2(k+1]-4k2+2>0 解得k> 29 (2)解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 a+B=2(k+1)B=k2+2 :(a+1)(B+1)=p+(a+β)+1=13 (k2+2+2(k+1)+1=13 整理，得k2+2k-8=0, 解得k=-4或k=2. 又分， k=2 22.某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力.己知甲厂单独加 工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每 天加工数量多10件.求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ 试卷第4页，共3页 (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？ (不满1天的，以1天时间计算) 2-(k+3)x+3k= 23.已知关于x的一元二次方程 ,若方程的两个实数根为，云，且 x2+x号=10 求k的值 24.某商场销售一种商品，每件进价40元.经市场调查发现，当售价定为50元时，每天 可售出100件：售价每提高1元，日销售量减少2件. (1)设售价为.xx>50) 元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式： (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 试卷第5页，共3页 第二十五章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 4．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 5．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 6．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 7．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 8．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 9．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 10．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 12．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 13．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 14．已知x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 15．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 16．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 18．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 19．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 20．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 21．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 22．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 23．已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 24．某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $