第25章 一元二次方程 单元基础知识归纳总结 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程单元复习，通过基础认知、方法应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|定义、一般形式|以辨析题（如例题1）巩固概念，强化抽象能力| |方法应用层|四种解法、根的判别式|通过不同解法题（如例题2-5、7-8）提升运算能力，衔接课时目标| |综合拓展层|根与系数关系、几何与实际应用|结合几何（例题6）和增长率问题（例题11），培养模型意识与应用能力|

第25章 一元二次方程 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 4. 了解一元二次方程的根与系数的关系。 5. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 单元知识点思维导图与题型方法总结 1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 3. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法。解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程； （2）配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）求根公式法：x= (4)因式分解法。把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 4．一元二次方程根的判别式： (1) b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根； (2) b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数； (3) b2-4ac<0一元二次方程没有实根． 5．一元二次方程根与系数的关系： 设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2 ， 则 x1+x2=， 即：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数； x1x2= ， 即：两根之积等于常数项除以二次项系数。 6. 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 单元考点例题讲析 考点1. 一元二次方程定义 【例题1】下列说法中，错误的有（ ） ①方程是一元二次方程 ②方程是一元二次方程 ③方程是一元二次方程 ④方程是一元二次方程的一般形式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2. 一元二次方程的解法 【例题2】一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________． 【例题3】用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( ) A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝ C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝ 【例题4】用公式法解下列一元二次方程： （1）3x2﹣4x+2＝0． （2）． 【例题5】方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【例题6】已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形． 考点3. 一元二次方程的根的判别式的应用 【例题7】已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0 【例题8】关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 考点4. 一元二次方程的根与系数的关系 【例题9】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【例题10】 已知、是方程的两根，则代数式的值为_________． 考点5. 一元二次方程的应用 【例题11】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( ) A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50 C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50 第25章 一元二次方程 单元基础知识归纳总结 单元课标要求 1. 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2. 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 3. 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 4. 了解一元二次方程的根与系数的关系。 5. 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 单元知识点思维导图与题型方法总结 1．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0） 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 3. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法。解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程； （2）配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）求根公式法：x= (4)因式分解法。把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 4．一元二次方程根的判别式： (1) b2-4ac>0一元二次方程有两个不相等的实根； (2) b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数； (3) b2-4ac<0一元二次方程没有实根． 5．一元二次方程根与系数的关系： 设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2 ， 则 x1+x2=， 即：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数； x1x2= ， 即：两根之积等于常数项除以二次项系数。 6. 一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 单元考点例题讲析 考点1. 一元二次方程定义 【例题1】下列说法中，错误的有（ ） ①方程是一元二次方程 ②方程是一元二次方程 ③方程是一元二次方程 ④方程是一元二次方程的一般形式． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程． ①方程是一元二次方程，故①正确，②方程是一元一次方程，故②错误，③方程是分式方程，故③错误，④方程，a≠0时，是一元二次方程的一般形式，故④错误. 考点2. 一元二次方程的解法 【例题2】一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________． 【答案】x1=-1，x2=5 【解析】移项得：（4﹣2x）2=36， 开方得：4﹣2x=±6， 解得：x1=﹣1，x2=5． 【例题3】用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为( ) A．(x﹣)2＝ B．(x+)2＝ C．(x﹣)2＝0 D．(x﹣)2＝ 【答案】D 【解析】∵x2﹣x﹣1=0， ∴x2﹣x=1， ∴x2﹣x+=1+， ∴（x﹣）2=． 【例题4】用公式法解下列一元二次方程： （1）3x2﹣4x+2＝0． （2）． 【答案】（1）x1，x2． （2）x1，x2． 【解析】（1）熟记公式x是解题的关键． 先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 3x2﹣4x+2＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24， ∴x， 则x1，x2． 【例题5】方程的两个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将进行因式分解，，计算出答案． ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程 【例题6】已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形． 【答案】直角 【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0， 得，x=2或4， ∵AB=3，AC=5， ∴2＜BC＜8， ∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根， ∴BC=4， 当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形. 考点3. 一元二次方程的根的判别式的应用 【例题7】已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a＞﹣4且a≠0 【答案】D 【解析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0，然后求出a的范围后对各选项进行判断． 根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣1）＞0， 解得a＞﹣4且a≠0． 【例题8】关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． ， 其中，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 考点4. 一元二次方程的根与系数的关系 【例题9】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）0，-2 【解析】(1)证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【例题10】 已知、是方程的两根，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可． 由题意得 ， 原式． 故答案：． 【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键． 考点5. 一元二次方程的应用 【例题11】某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( ) A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50 C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50 【答案】A 【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 由题意可得， ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $