第二十五章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，融合社会热点（如大冬会吉祥物销售）与文化传承（如丢番图图解法），梯度设计适配单元复习，助力基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、一般式、解法等|如第3题考配方法，夯实基础| |填空题|6/18|根的求解、根与系数关系|如第12题利用韦达定理求另一根| |解答题|9/72|综合应用与创新|18题结合大冬会考增长率（应用意识），23题丢番图图解法（推理能力），25题“勾系方程”新定义（创新意识）|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26八年级下·山东烟台期末)下列方程中是一元二次方程的是() A.x2+1=0 B.x2+1=5 C.x+1)2=x2 D.x2-y-5=0 2.(25-26八年级下·安徽六安期末)将一元二次方程3x2=-2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系 数、常数项分别是() A.3,-2,-1B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2,-1 3.(25-26八年级下·浙江台州期末)用配方法解方程x2-6x+2=0时，配方结果正确的是() A.(-3=7B.(x-3=4 c.(x-6)}=10 D.(x-6)}2=34 4.(25-26八年级下山东泰安·期末)下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是() A.x2-2x+2=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+3x=0 D.x2-5x+6=0 5.(2026河南中考真题)已知x=2是关于x的方程x2-x=6的一个根，则m的值为() A.5 B.-5 c.1 D.-1 6.(25-26八年级下·广西崇左期末)关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，则m的 值为() A.2 B.8 C.4 D.16 7.(25-26八年级下·安徽阜阳期末)若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是 () A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级下山东日照期末)已知、5是一元二次方程3x+2x-6=0的两根，则 x+1)x2+1) 的值是() A.-3 4 D.3 9.(25-26八年级下·山东东营·期末)为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队 伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场.设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是() A.2x(x-1)=36 B.x(x-1)=36 C.2(r+1)=36 1 D.x(x+1)=36 10,已知关于x的一元二次方程m(x--k=0(m,九，太均为带数且m≠0)的解是=2，名=5，则 关于x的一元二次方程m(x+h+= 的解是() A.=-2,5=-5 B.=-4,为=1 C.=1x=4 D.=-3,5=6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(25-26八年级下·北京昌平期末)一元二次方程x2-2x=0的解为 12.(2026山东中考真题)若关于x的一元二次方程(x-2x-m)=0的一个根是10，则另一个根是 13.(25-26八年级下山东烟台期末)若x=引是一元二次方程 a-2)x2-4x+a2=0」 的一个根，则“的值 为 14.(25-26八年级下重庆渝中期末)若是一元二次方程2-4x-7=0的两实数根 为)，则 xx2+2x+2x2 的值是 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26八年级下·北京期末)关于x的一元二次方程6x2-3x+2=0有实数根，则k的取值范围是 16.在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程 2x(x-3)=(x+2)(x+4)-28 其中一个解，那么这个直角三角形的面积是 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下浙江台州期末)解一元二次方程： a①-6r=0 (2-3x+1=0 18.(25-26八年级下·吉林长春期末)第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林 省长春市召开.本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大 家的喜爱.某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6 月份的销售量为500个.求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率. 19.(25-26八年级下山东烟台期末)小明与小颖两位同学解方程5(x-2)=(x-2少的过程如图： 小颖： 小明： 移项， 得5x-2)-(x-2}=0 x-2) 两边同除以 提取公因式，得x-26-x-2)=0 得5=x-2, “x-2=0或5-x-2=0 解得x=7. 七=2，x2=3 解得 (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx=x的一元二次方程的一般解法. 2+(m-3)x+m-5=0 20.(25-26八年级下·安徽宣城期末)已知关于x的一元二次方程 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： ②)若方程有两个实数根，。，且+5+2x5=3 求m值 21.(25-26八年级下浙江宁波·期末)已知关于x的一元二次方程a2+br+c=0(a≠0)有两个非零实 数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”· (1)一元二次方程2x2-5x+2=0是“逆根方程”吗？请说明理由. (2若一元二次方程r+(0-3a)x-1=0(a≠0 是“逆根方程”，求此方程的两个根 22.(25-26八年级下·安徽合肥期末)已知方程x2+bx+c=0(x为实数)，请你解答下列问题： (1)若b=2,c=-1,解此方程； (2)若b-c=1,求证：此方程至少有一个实数根。 23.(25-26九年级下山东淄博·期末)古希腊数学家丢番图（公元250年前后)在《算术》中就提到了一 元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用“图解法”来求解.在欧几里 得的《几何原本》中，形如x+a心=b（a>0,b>0)的方程的“图解法”是：如图，以2和b为两直角 边作R△1BC,再在斜边上裁取BD-号，则MD的长就是所求方程的一个解。 2 D (1)若a=4,b=3,求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程x2+4x=3的一个解： (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处， 24.(25-26八年级下·安徽宣城期末)五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宜城文旅，各地游客慕名前 来游玩.宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘 旅游业.结合提供的素材，解决相关问题， 探索果园土地规划和销售利润问题 416 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD,图1是果园的平面 AxL 2x 素 图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下 E M 种植园区 材 两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米， 2x 1 中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过 BxI 12米，且不小于5米. 图1 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观.若每平方米的 素 草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓.受天气 材 诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售。 2 若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓. 图2 果园每月的承包费为2万元 问题解决： 44800m2 (1)若中间种植的面积是 则路面设置的宽度是否符合要求. (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 25.(25-26八年级下·山东烟台期末)【新定义】如图.四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形， a&C是Rt△ABC和Rt△EDB AE=2c 和 的边长，易知 这时我们把关于x的形如r+V2cr+b=0。 的一 元二次方程称为“勾系一元二次方程”. 2e A a b ■ a B b D 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程” (一个即可)： ②)求证：关于x的“勾系一元二次方程”r+V2cx+b=0 必有实数根： (③)若=-是“勾系一元二次方程”ar+v2cr+b=0 一个根，且四边形 ACDE 的周长是√2 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的面积. 616 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 5．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 6．（25-26八年级下·广西崇左·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 【答案】C 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 8．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 9．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 10．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 12．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 14．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 15．（25-26八年级下·北京·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 【答案】或 【分析】先整理方程得，解得，，分两种情况讨论：当为这个直角三角形的最短边时，求得直角三角形的面积是；当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是． 【详解】解：由方程，可整理得， 解得，， ∴当为这个直角三角形的最短边时，这个直角三角形的面积是； 当为这个直角三角形的最长边时，则另一条直角边为，这个直角三角形的面积是； ∴这个直角三角形的面积是或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期末）第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 20．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 21．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 23．（25-26九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】(1)解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； (2)解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长，可求的长，再代入方程验算即可； （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 24．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 6．（25-26八年级下·广西崇左·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 12．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 14．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 15．（25-26八年级下·北京·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 16．在一个直角三角形中，有一条直角边为6，这个直角三角形的最长边或最短边是方程其中一个解，那么这个直角三角形的面积是____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期末）第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 19．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 20．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 21．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 22．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 23．（25-26九年级下·山东淄博·期末）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1)若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2)请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 24．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 25．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B D C B B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．， 12． 13． 14． 15．且 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， 或， ，；..............3分 （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，．..............6分 18． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，，..............3分 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为．..............6分 19． 【详解】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ．..............3分 (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．..............6分 20． 【详解】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；..............3分 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为．..............6分 21． 【详解】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”；..............4分 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和．..............8分 22． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得；..............4分 (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根..............8分 23． 【详解】(1)解：∵ ， ， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解；..............4分 (2)解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．..............8分 24． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求；..............4分 （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元．..............8分 （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标．..............12分 25． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”．........4分 (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．..............8分 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ．..............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $