第二十五章 一元二次方程单元测试2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册一元二次方程单元卷，覆盖根的判别式、方程应用等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|根的判别式、换元法、传播问题|结合《四元玉鉴》古代数学情境，考查数学眼光| |填空题|5题|黄金分割、握手问题、浓度问题|融入生活实际，培养数据意识与模型观念| |解答题|6题|根与系数关系、营销问题、动态几何|通过旅社定价、矩形折叠等综合题，发展推理能力与应用意识|

第二十五章 一元二次方程 单元测试2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．为分析一元二次方程根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．2，，4 B．4，2， C．2，， D．2，4， 3．若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 4．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为现请人代买一批椽，这批椽的价格为6210文．如果每株椽的运费为3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价格．问6210文能买多少株椽．设这批椽的数量为株，则的值为（   ） A．45 B．46 C．47 D．48 7．若b是方程的一个解，且，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 10．已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法： ①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数； ③若（k为正整数），，则． 其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．一元二次方程化成一般形式为________． 12．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是______． 13．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为__________人． 14．一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是______． 15．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是____________． 三、解答题 16．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 18．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了元． (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/（元・间） 总维护费用/元 提价前 60 200 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？租出多少间房间？（纯收入=总收入-维护费用） 19．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 20．下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 21．舍解可能是舍去增根，也有可能是因实际情况不允许而舍去． (1)已知关于的方程：有增根，求：； (2)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，求：增长率． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A C B A A D B 1．【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程化为一般形式，再计算判别式 ，判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 其中，，， ∴， 故只有选项D正确； 故选D． 2．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．先将已知方程转化为一般形式，然后求方程的二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由已知方程得到：， 所以方程的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是． 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解． 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 根据题目条件，将和代入方程验证，并结合方程根的定义求解． 【详解】已知方程满足和． 当时，代入方程得，说明是方程的根． 当时，代入方程得， 说明是方程的根． 因此，方程的两个根为和． 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找未知量与已知量之间的等量关系是解题的关键. 设这批椽的数量为株,少拿株后，那么剩下的株的运费为文，这恰好等于一株椽的价格． 则总价格6210文等于椽的数量乘以每株的价格，由此建立方程求解． 【详解】设这批椽的数量为株,一株椽的价格为文． 由题意: 整理得:， 解得：(舍去)． 因此,的值为46． 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】等式的性质2、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、等式的性质等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 把代入方程得到，两边都除以b即可解答． 【详解】解：把代入方程得， ∵， ∴两边都除以b得：，即． 故选A． 8．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 9．【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 10．【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键． 根据题意及不等式性质即可判断①；结合不等式性质即可判断②；根据题意得出a，c之间共有个或个整数，分三种情况：当时，当时，当时，分别根据题意列出一元二次方程，再计算即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数）， ∴，故①正确； ②， ∴， ∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，， ∴当时， a，c之间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ， 或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ， 或， 当，a、c间有个整数时， 则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时， 则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解． 综上所述，或或， 则或或． ，或 是正整数． ，故③错误； 故选：B． 11．【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境．设这次聚会的同学共人，则每人需和除自己外的个人握手，而两个人之间仅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这次聚会的同学共有人， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，， ， ，即这次参加聚会的人数为． 故答案为：． 14．【答案】21L 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 16．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】一元二次方程的一般形式、一元二次方程的定义 【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． 【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 17．【答案】(1) 证明：∵关于x的一元二次方程 ， ∴方程总有2个实数根； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 18．【答案】(1)， (2)每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用提价后每间客房的价格=提价前每间客房的价格+每间客房的定价提高的价格，可用含x的代数式表示出提价后每间客房的价格；利用提价后入住的房间数量=提价前入住的房间数量，可用含x的代数式表示出提价后入住的房间数量；利用提价后总维护费用提价后入住的房间数量，即可用含x的代数式表示出提价后总维护费用； （2）利用纯收入=总收入-维护费用，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要吸引更多的游客，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当每间客房的定价提高了x元时， 房间价格为元， 入住了间房， 总维护费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，， 又∵要吸引更多的游客， ， ∴（元）， 此时租出的房间数为（间）． 答：每间客房的定价应为300元，此时租出房间为50间． 19．【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可． 【详解】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+， ∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥， 则m2+m+4的最小值是； （2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50 ∵﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5， 则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 20．【答案】(1)17，28 (2)的值为8 【知识点】图形类规律探索、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形找到规律即可得到答案； （2）根据（1）中的规律得到在第个图案中，“◎”的个数为，“●”的个数为，根据题意列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中有“◎”5个，有“●”个； 第2个图案中有“◎”个，有“●”个； 第3个图案中有“◎”个，有“●”个； 即可得到第5个图案中有“◎”个，有“●”个； 故答案为：17，28 （2）按照（1）中的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数为 在第个图案中，“●”的个数为， 根据题意可得， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 21．【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】（1）首先，解分式方程得，再由分式方程有增根，得，解得或，最后，再分别代入计算即可； （2）设6、7月相同的增长率为x，再根据增长率公式：，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，整理，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵关于的方程：有增根， ∴，即或，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，k的值为； （2）解：设6、7月相同的增长率为x， 根据题意，得，解得(不合题意，舍去)， 答：增长率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $