专题01 求函数的定义域、解析式、值域25种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦函数的定义域、解析式、值域三大核心模块，系统梳理25个高频题型，涵盖具体函数定义域求解、抽象函数解析式推导、多种方法求值域等关键内容，构建完整的函数基础复习体系。 清单以题型脑图呈现考法脉络，通过“剥洋葱原理”“转移法”等记忆技巧分层突破，如逆用定义域求参数问题标注为易错点并配解题通法，培养数学思维的逻辑性与严谨性。特设新定义问题专区及综合应用题型，助力学生提升数学语言表达能力，是学生自主复习的高效工具，也为教师提供系统的备考指导资源。

专题01 求函数的定义域、解析式、值域 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 求具体函数的定义域 求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化） ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ，则. 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， 由，解得且，所以， 所以. 3．（2026·广西桂林·模拟预测）若集合，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，函数的定义域为， 则． 4．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 6．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 题型02 求抽象函数的定义域 谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 ①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。 ②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 ③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. 7．（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 8．（2026高三·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 10．（2026高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可. 【详解】由函数的定义域为， 所以函数要有意义则：，解得：， 所以函数的定义域为：. 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 题型03 逆用函数的定义域 ①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决． ②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，． 12．（2026高三·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 13．（2026高三·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 14．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型04 同一函数的判断 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 15．（2026高三·广东河源·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 16．【多选】（2026高三·广东汕头·阶段检测）下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 【答案】CD 【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可. 【分析】对于选项A：，，对应关系不同， 故不能表示同一个函数，故A错误； 对于选项B：（且）的定义域为， （且）的定义域为， 即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B错误； 对于选项C：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C正确； 对于选项D：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D正确. 故选：CD. 17．【多选】（2026高三·广东·期中）下列函数组中表示同一函数的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义域与对应关系判断是否为同一函数，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数定义域均为，且与对应法则相同，故为同一函数； 对于B，函数定义域为，的定义域为，故定义域不同，是不同函数； 对于C，函数定义域均为，且与对应法则相同，故为同一函数； 对于D，函数定义域均为，且，对应法则相同，故为同一函数. 故选：ACD. 题型05 待定系数法求解析式 适用场景：已知函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等） 步骤： 1. 根据函数类型设含参数标准解析式； 2. 将已知点坐标、函数值代入式子，构造方程/方程组； 3. 解方程求出全部参数，代回原式得到完整解析式； 补充：分段函数可分段分别待定系数求解。 18．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 19．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 20．（2026高三·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 21．（2026高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 22．（2026高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 【答案】，． 【分析】设，根据，得到，比较系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则． 由得：， 即， 即，这是关于的恒等式， 比较系数得，解得， 所以，． 题型06 配凑法求解析式 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，则________． 【答案】 【详解】，． ，其中．． 25．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【分析】因为，且， 所以． 故选：D. 题型07 换元法求解析式 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 26．（2026高三·四川遂宁·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】因为，令，则且，， 所以，， 所以. 故选：D 27．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． 【答案】 【分析】先整理，进而利用换元法求解即可. 【详解】由， 令，得， 所以的解析式为． 故答案为：. 28．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】， 【分析】根据题意，利用同角三角函数的关系分析可得解析式，进而将代入计算可得答案． 【详解】 令，则， 所以 所以， 题型08 利用函数的奇偶性求解析式 常规题型：已知时，求时解析式； 步骤： 1. 设，则，代入已知区间解析式写出； 2. 奇函数：；偶函数：； 3. 化简得到表达式； 补充：若包含，奇函数满足，可完善分段解析式。 29．（2026·山西·模拟预测）已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先利用偶函数的性质求出时的表达式，再将求和式转化为对数的和，利用对数运算性质化简. 【详解】设，则，由是偶函数， 得. 即时，. 则. 30．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 31．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 【答案】BCD 【分析】本题可根据奇函数的性质以及函数极值的求法，对选项逐一进行分析即可判断． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故A错误； 当时，，则 ， 根据奇函数的性质 ，故B正确； 当时，，则有， 又因为是奇函数，即， 所以 ，故C正确； 当 时， ， 令，即 ，解得； 当时，单调递减；当 时， 单调递增. 所以是在上的极小值点，. 当 时，可得：， 令，解得. 当时，单调递增；当 时， 单调递减. 所以是在上的极大值点， ，即 的极大值为 ，故D正确. 32．（2026高三·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 33．（2026高三·浙江绍兴·期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性的定义求得与的表达式，然后求函数值． 【详解】（1），则， 又分别为定义在上的奇函数和偶函数， ∴（2）， （1）（2）两式相加除以2得，相减除以2得， ∴，，∴， 故选：D． 题型09 利用函数的周期性求解析式 核心依据：周期满足，函数图像周期性重复； 题型1：已知一段区间解析式，求任意区间表达式 步骤： 1. 将目标区间内加减整数倍周期，平移至已知解析式区间； 2. 利用周期性代入已知式子化简； 题型2：结合奇偶性综合，先周期平移，再用奇偶转换符号。 34．（2026·上海静安·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 35．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，得，利用周期性与奇偶性可得，代入即得答案； （2）求出的解析式以及定义域，再根据对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）设 ，则 ，， 由周期性得：， 再由奇函数性质得：， 当时，有，且， 所以，. （2）代入得：， 即 ， 即， 得：， 解得：. 36．（2026高三·上海·课堂例题）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，. (1)求当时函数的表达式； (2)若函数，与函数的图像恰有7个不同的交点，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质解得函数的周期，求解函数的解析式； （2）作出图象，利用数形结合思想求解. 【详解】（1）当时，，，即. 因为的最小正周期为2， 所以当时， ，所以 （2）作出函数的部分图象与的图象，如下图所示： 直线恒过坐标原点， 当时，直线经过，此时； 当时，由对称性可知，直线经过，此时. 综上，. 题型10 利用函数的对称性求解析式 1. 轴对称：，函数关于直线对称； 若已知一侧区间解析式，求对称区间：设目标，利用对称轴找到对称点横坐标，代入已知表达式； 2. 中心对称：，函数关于点中心对称； 3. 解题步骤：设待求区间自变量→利用对称关系转化到已知区间→代换化简得解析式。 37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）知，，恒有， 若，则，，而，因此； 若，则，，，因此， 综上，可得. 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为. （2）略 38．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 39．（2026高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得； （2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得. 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 题型11 构造方程组法求解析式 若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 ①互为倒数：； ②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。 40．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 41．（2026高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 42．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 43．（2026高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 【答案】（且） 【分析】令，构造关于的方程组求解即可． 【详解】由题可知， 令，其中，则，， 于是有：①， 由上式有意义，得且，即且， 用替换得：②， 联立①②，解得（且）， 所以（且）． 题型12 赋值法求解析式 题干特征：出现“对任意实数成立”“任意变量均满足”等恒成立条件； 思路：选取特殊值（等）代入关系式，消去多余变量； 步骤： 1. 观察式子结构，选择合适特殊值； 2. 代入化简消去其他函数，直接解出； 多用于抽象函数、函数方程类求解析式问题。 44．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 45．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 46．（课时检测训练6函数的概念及其表示-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版））设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_______． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得 ，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 47．（2026高三·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个______（答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 题型13 观察法求函数值域 第一步，观察函数中的特殊函数； 第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． 48．（2026·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简集合A,B,再求交集. 【详解】由题意，,得，故； 又，故，∴. 故选:C. 49．（2026高三·上海宝山·阶段检测）已知集合，，则________. 【答案】 【分析】求得集合，利用并集的意义可求得. 【详解】由，解得，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 50．（2026高三·北京房山·期中）函数的值域为__________. 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质即可求出函数的值域 【详解】因为，所以，故函数的值域为. 故答案为：. 题型14 配方法求函数值域 以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题 第一步，将二次函数配方成； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围） (注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。） 51．（2026高三·江苏·寒假作业）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. 【详解】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 52．（2026高三·湖南长沙·期中）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 53．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】用配方法解决二次函数型函数的值域问题，还需考虑函数的定义域． 【详解】因为， 所以， 即函数的值域为． 题型15 图象法求函数值域 核心思想：数形结合，函数值域为图像上所有点纵坐标的集合； 步骤： 1. 画出函数在定义域内完整图像； 2. 沿竖直方向（轴）投影图像，找到最高点、最低点纵坐标； 3. 连续图像用区间表示值域，离散点用集合表示； 适用分段函数、三角函数、含绝对值函数。 54．（2026高三·广东·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义结合图象确定定义域与值域逐项判断即可得结论. 【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A； 选项C中，存在一个对应多个值，不是函数的图象，排除C； 选项D中，取不到0，不符合题意，排除D. 故选：B. 55．（2026高三·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去除绝对值得到，直接画函数图像即可. （2）结合（1）的图像先分析函数在上的单调性，求出最值即可得到值域； （3）当时，化简得到当时，恒成立；由基本不等式求出最小值为4，所以； 【详解】（1）因为， 所以； 画函数的图象如图所示： （2）当时，函数在 上单调递减，在单调递增； ， 当时，函数在 单调递减，在单调递增； ； 综上所述，函数在上的最小值为 ，最大值为，故值域为 （3）当时，函数 由恒成立，化简得到当时，恒成立； 由基本不等式， 当且仅当，即 时取等号，有最小值4， 因为时，恒成立，所以； 所以实数的取值范围是. 56．【多选】（2026高三·湖北·期中）已知函数，且，则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，即可看出函数的值域可判断A；求出时的解，即可根据图象写出不等式的解集可判断B；令，根据函数图象即可得出的关系和取值范围，可判断CD. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    对于A，由图可知函数的值域为，故A错误； 对于B，当时，有或，解得，，， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，由题可令， 则为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，关于对称，所以，即，故C正确； 对于D，为函数和直线交点的横坐标， 由图可知，而， 所以，而，故D正确. 故选：BCD. 题型16 分离常数法求函数值域 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法： 主要的分式函数有：等 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 第一步，观察函数类型，型如； 第二步，对函数变形成形式； 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． 57．（2026高三·上海浦东新·阶段检测）函数的值域为_______ 【答案】 【分析】求出函数的定义域，分离常数，结合反比例函数的值域即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 58．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为________ 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 59．（2026高三·重庆云阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 60．（2026高三·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 61．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解. 【详解】， 当时，， 当时，， 令，则，， 所以， 由对勾函数的值域可知，当时，， 所以， 所以． 综上所述，函数的值域为． 题型17 反解法求函数值域 适用：容易用反解出的分式、根式函数； 步骤： 1. 把当作关于的方程，用表示出； 2. 根据原函数的定义域，列出含的不等式； 3. 解不等式得到的取值范围，即为值域； 本质：原函数定义域等价于反函数值域。 62．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】 【分析】利用分离常数法变形可得，然后观察可得值域. 【详解】方法一：分离常数法： 设，因为，所以， 所以原函数的值域为 方法二：反解法： 由，可得， 所以当时，， 所以原函数的值域为 63．（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】选用分离常数法和反表示法即可求解； 【详解】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 64．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 题型18 换元法求函数值域 第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域． 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 65．（2026高三·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 66．（2026高三·四川内江·阶段检测）函数的值域为_______． 【答案】 【分析】利用换元法将问题转化为二次函数的值域求解，即可得答案. 【详解】令，，则， 则，即为， 其图象对称轴为，则该函数在上单调递减， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 67．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法求值域即可. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 原函数变为， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，， 即当时，； 当时，， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 综上所述，函数的值域为. 68．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域. 【答案】 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 题型19 判别式法求函数值域 适用分子分母均为二次的有理分式； 步骤： 1. 交叉相乘整理成关于的一元二次方程； 2. 函数有意义等价于方程存在实数解，分二次项系数为0、不为0两类讨论； 3. 二次项不为0时，利用解出范围； 注意：若有额外限制，需剔除对应无效值。 69．（2026高三·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 【答案】 【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 70．（2026高三·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 【答案】 【分析】由题意分析可得关于x的方程有正根，分和两种情况，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，整理得， 可知关于x的方程有正根， 若，则，解得，符合题意； 若，则， 可得或， 解得或且，则或或； 综上所述：或， 即函数，的值域为. 故答案为：. 71．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 72．（2026高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 题型20 单调性法求函数值域 适用单调函数、复合单调函数、分段单调函数； 步骤： 1. 利用定义或导数判断函数在定义域上的单调区间； 2. 单调递增：左端点最小、右端点最大；单调递减反之； 3. 区间含无穷、开区间端点取不到时，值域对应为开区间； 复合函数遵循“同增异减”判断整体单调性。 73．（2026高三·全国·单元测试）函数在区间上的值域为_______． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 74．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】利用函数的单调性来求值域即可． 【详解】因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递减， 所以在定义域上单调递增， 又因为函数定义域为， 所以， 即函数的值域为. 75．（2026高三·北京·期中）对于函数，下列说法正确的是______. ①函数为奇函数；    ②函数的值域为； ③函数在定义域上为增函数；    ④对于，均有. 【答案】①③④ 【分析】利用奇偶性的定义判断①，由，根据指数函数、分式型函数的性质，及复合函数的单调性，并求值域判断②③，利用单调性判断④. 【详解】由，定义域为， ，即为奇函数，①对， 由，即，②错， 由在R上单调递增，则在R上单调递减，故在R上单调递增， 所以在定义域上单调递增，③对， 由，则，故，④对. 故答案为：①③④ 题型21 基本不等式法求函数值域 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等” 76．（2026高三·全国·专题练习）求函数的最小值. 【答案】10 【分析】利用基本不等式结合计算可得结果. 【详解】易知. 因为，可得，因此可得， 当且仅当，即时，等号成立. 故， 所以当时，有最小值10. 77．（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】由已知得， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值为. 故选：C. 78．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域 【答案】 【分析】先分离常数，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 79．（2026高三·江苏·专题练习）求函数的值域. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为. 80．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】先由柯西不等式求出函数的最大值，再由端点处函数值求出最小值，从而得到结果. 【详解】由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 又，，故． 题型22 导数法求函数值域 适用高次多项式、复杂分式、超越函数（指数对数混合）； 步骤： 1. 求导，令，解出极值点； 2. 判断极值点左右导数符号，区分极大值、极小值； 3. 计算极值、区间端点函数值； 4. 对比所有函数值，确定全局最大值、最小值，写出值域。 81．（2026高三·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 82．（2026高三·江西抚州·期末）若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，分析函数的单调性，求函数的值域即可. 【详解】由， 所以， 设， 则，所以即在R上单调递增. 又由，所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在时，取到最小值，即函数值域为. 故选：B 83．（2026高三·江西萍乡·期中）函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得函数的导数，求得函数的单调性，即可求得最小值，再求出函数在的端点处的函数值，比较大小，可求得最大值，进而得出函数的值域. 【详解】由求导，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 又， 所以函数在上的最大值为， 因此函数在上的值域是. 故选：C 84．（2026高三·江苏镇江·开学考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案. 【详解】因为，所以的定义域为. ， 令，即，得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以时取得最大值，即， 又，即最小值为. 所以的值域为. 故选：C 85．（2026高三·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出导函数利用导函数正负得出函数单调性，再代入得出端点函数值即可求出值域. 【详解】， 当时，单调递减，时单调递增， 所以为单调减函数，为单调增函数， 所以，且 所以值域为， 故选：B． 题型23 已知函数值域求参数 逆向题型，核心转化思想：值域条件等价于恒成立/方程有解； 分类处理： 1. 二次函数给定值域：结合开口、顶点、区间建立参数不等式； 2. 分式/根式函数值域限制：反解，利用有解； 3. 基本不等式型：等号成立条件对应参数等式； 通用思路：把值域限制转化为含参数的不等式恒成立问题，分类讨论求解。 86．（2026高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【分析】将解析式去绝对值写成分段函数，画出图像，分段令解方程，结合图像求得实数的取值范围. 【详解】 ，图象如下：    令，解得， 令 ，解得， 由图象可知m的取值范围为． 故答案为：． 87．（2026高三·四川·阶段检测）若函数的值域为，则__________. 【答案】7 【分析】利用基本不等式进行分析，由此列方程，从而求得. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 依题意，，得. 故答案为： 88．（2026·安徽滁州·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 89．（2026高三·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得的取值范围，当时，利用导数求得的取值范围，再由的值域为R，得到不等式，解之即得. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即时，； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，为， 又当时，所以时，， 由的值域为，可得，即，解得. 故选：A 90．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性求出在上的函数值集合，由已知可得在上的值域包含，再利用导数探讨函数在上的函数值集合即可求出范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 故选：A 题型24 定义域和值域的综合 综合设问分两类： 1. 先求定义域，再在定义域基础上求值域； 2. 已知值域反求定义域，或同时给出定义域、值域求参数； 解题顺序：先锁定允许取值范围，再结合函数单调性、图像、不等式推导范围； 含参数时双向转化：定义域约束自变量，值域约束函数输出，联立不等式组求解参数。 91．（2026高三·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【详解】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 92．（2026高三·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 93．【多选】（2026高三·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别计算各选项函数的定义域与值域，再根据“交汇函数”的定义可判断各选项. 【详解】由“交汇函数”定义可知，“交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为， A选项：的定义域，值域， 则，A选项错误； B选项：的定义域，值域， 则，B选项正确； C选项：的定义域，值域， 则，C选项错误； D选项：的定义域，值域， 则，D选项正确； 故选：BD. 94．（2026高三·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 题型25 函数值域新定义问题 题干给出全新自定义概念（如“界域”“保值区间”“理想值域”等）； 解题步骤： 1. 精读题干，拆解新定义的数学等价条件； 2. 结合常规求值域方法，翻译定义为不等式/方程； 3. 联立函数自身定义域、值域限制，分类讨论求解参数或区间； 核心：不被陌生名词干扰，剥离文字外壳转化成熟悉的函数最值、恒成立问题。 95．（2026高三·云南楚雄·阶段检测）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【答案】C 【分析】利用狄利克雷函数与高斯函数的定义，逐项推理判断即得. 【详解】由高斯函数的定义知，都是整数，即都是有理数，所以，A正确； 若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确； 取，则，C错误； 的值域是，所以的值域为，D正确． 故选：C 96．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，“有界函数”的值域需有界，求每个选项函数的值域进行判断即可. 【详解】对于A，，由于，所以，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”； 对于B，令，则，，当时，取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立， 是“有界函数”； 对于C，令+1，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立， 是“有界函数”； 对于D，令，则，，则，易得，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”． 97．【多选】（2026高三·江苏淮安·期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于x的最大整数） 【答案】AD 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】由正弦函数的性质可知，函数值域为，是有界函数，A选项正确； 由指数函数的性质可知，函数值域为，不是有界函数，B选项错误； ，由对勾函数的性质可知，函数值域为，不是有界函数，C选项错误； 函数的值域为，是有界函数，D选项正确. 故选：AD 98．【多选】（2026高三·云南·阶段检测）定义在上的函数由关系式确定，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．关于直线对称 C．的值域为 D．的导函数为奇函数 【答案】AD 【分析】由题意，分情况讨论，得到的解析式，进而求出，结合图象逐项分析选项. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，（不存在）； 当，时，； ∴， 则函数的图象如图，    ∴，即， 则函数的图象如图，    ∴由图可知：在定义域内单调递增，正确； 关于直线对称，B错误； 的值域为，C错误； 为偶函数，故其导函数为奇函数，D正确， 故选：AD. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 求函数的定义域、解析式、值域 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 求具体函数的定义域 求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化） ①分式：分母不能为零； ②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求） ③零次幂：中底数； ④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于； ⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则 ⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义 注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西桂林·模拟预测）若集合，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 题型02 求抽象函数的定义域 谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围 同一个下括号内的范围是一样的 ①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。 ②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。 ③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 ④运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。 求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域. 7．（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 10．（2026高三·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 题型03 逆用函数的定义域 ①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决． ②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，． 12．（2026高三·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．（2026高三·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 题型04 同一函数的判断 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 15．（2026高三·广东河源·阶段检测）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 16．【多选】（2026高三·广东汕头·阶段检测）下列各组函数能表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与（且） C．与 D．与 17．【多选】（2026高三·广东·期中）下列函数组中表示同一函数的有（   ） A．， B．， C．， D．， 题型05 待定系数法求解析式 适用场景：已知函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等） 步骤： 1. 根据函数类型设含参数标准解析式； 2. 将已知点坐标、函数值代入式子，构造方程/方程组； 3. 解方程求出全部参数，代回原式得到完整解析式； 补充：分段函数可分段分别待定系数求解。 18．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 19．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 20．（2026高三·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 21．（2026高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 22．（2026高三·全国·专题练习）设是的二次函数，，且，求函数和的解析式． 题型06 配凑法求解析式 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 23．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知，则________． 25．（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（ ） A． B． C． D． 题型07 换元法求解析式 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)． 26．（2026高三·四川遂宁·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 27．（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为______． 28．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的解析式． 题型08 利用函数的奇偶性求解析式 常规题型：已知时，求时解析式； 步骤： 1. 设，则，代入已知区间解析式写出； 2. 奇函数：；偶函数：； 3. 化简得到表达式； 补充：若包含，奇函数满足，可完善分段解析式。 29．（2026·山西·模拟预测）已知是偶函数，且当时，，则(    ) A．1 B． C．2 D．3 30．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 31．【多选】（2026·重庆·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 32．（2026高三·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则________． 33．（2026高三·浙江绍兴·期末）若分别为定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型09 利用函数的周期性求解析式 核心依据：周期满足，函数图像周期性重复； 题型1：已知一段区间解析式，求任意区间表达式 步骤： 1. 将目标区间内加减整数倍周期，平移至已知解析式区间； 2. 利用周期性代入已知式子化简； 题型2：结合奇偶性综合，先周期平移，再用奇偶转换符号。 34．（2026·上海静安·模拟预测）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 35．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）已知函数． (1)若是以2为周期的奇函数，且当时，有，求函数的解析式． (2)若，求的取值范围； 36．（2026高三·上海·课堂例题）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，. (1)求当时函数的表达式； (2)若函数，与函数的图像恰有7个不同的交点，求k的值. 题型10 利用函数的对称性求解析式 1. 轴对称：，函数关于直线对称； 若已知一侧区间解析式，求对称区间：设目标，利用对称轴找到对称点横坐标，代入已知表达式； 2. 中心对称：，函数关于点中心对称； 3. 解题步骤：设待求区间自变量→利用对称关系转化到已知区间→代换化简得解析式。 37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 38．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 39．（2026高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 题型11 构造方程组法求解析式 若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。 ①互为倒数：； ②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。 40．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 41．（2026高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 42．（2026高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 43．（2026高三·全国·专题练习）若，求的解析式． 题型12 赋值法求解析式 题干特征：出现“对任意实数成立”“任意变量均满足”等恒成立条件； 思路：选取特殊值（等）代入关系式，消去多余变量； 步骤： 1. 观察式子结构，选择合适特殊值； 2. 代入化简消去其他函数，直接解出； 多用于抽象函数、函数方程类求解析式问题。 44．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 45．（2026高三·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 46．（课时检测训练6函数的概念及其表示-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版））设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_______． 47．（2026高三·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个______（答案不唯一）． 题型13 观察法求函数值域 第一步，观察函数中的特殊函数； 第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域． 48．（2026·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 49．（2026高三·上海宝山·阶段检测）已知集合，，则________. 50．（2026高三·北京房山·期中）函数的值域为__________. 题型14 配方法求函数值域 以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题 第一步，将二次函数配方成； 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围） (注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。） 51．（2026高三·江苏·寒假作业）求下列函数的值域： (1)； (2)． 52．（2026高三·湖南长沙·期中）函数的值域为_________. 53．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 题型15 图象法求函数值域 核心思想：数形结合，函数值域为图像上所有点纵坐标的集合； 步骤： 1. 画出函数在定义域内完整图像； 2. 沿竖直方向（轴）投影图像，找到最高点、最低点纵坐标； 3. 连续图像用区间表示值域，离散点用集合表示； 适用分段函数、三角函数、含绝对值函数。 54．（2026高三·广东·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 55．（2026高三·河北张家口·期末）已知函数． (1)画出函数的图象； (2)求函数在区间上的值域； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 56．【多选】（2026高三·湖北·期中）已知函数，且，则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 题型16 分离常数法求函数值域 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法： 主要的分式函数有：等 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。 第一步，观察函数类型，型如； 第二步，对函数变形成形式； 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域． 57．（2026高三·上海浦东新·阶段检测）函数的值域为_______ 58．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为________ 59．（2026高三·重庆云阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 60．（2026高三·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 61．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 题型17 反解法求函数值域 适用：容易用反解出的分式、根式函数； 步骤： 1. 把当作关于的方程，用表示出； 2. 根据原函数的定义域，列出含的不等式； 3. 解不等式得到的取值范围，即为值域； 本质：原函数定义域等价于反函数值域。 62．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域 63．（2026高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 64．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型18 换元法求函数值域 第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域． 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 65．（2026高三·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 66．（2026高三·四川内江·阶段检测）函数的值域为_______． 67．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 68．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域. 题型19 判别式法求函数值域 适用分子分母均为二次的有理分式； 步骤： 1. 交叉相乘整理成关于的一元二次方程； 2. 函数有意义等价于方程存在实数解，分二次项系数为0、不为0两类讨论； 3. 二次项不为0时，利用解出范围； 注意：若有额外限制，需剔除对应无效值。 69．（2026高三·四川成都·期中）函数的值域为_____________． 70．（2026高三·浙江宁波·期中）函数，的值域为______________． 71．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 72．（2026高三·全国·一轮复习）求函数的值域. 题型20 单调性法求函数值域 适用单调函数、复合单调函数、分段单调函数； 步骤： 1. 利用定义或导数判断函数在定义域上的单调区间； 2. 单调递增：左端点最小、右端点最大；单调递减反之； 3. 区间含无穷、开区间端点取不到时，值域对应为开区间； 复合函数遵循“同增异减”判断整体单调性。 73．（2026高三·全国·单元测试）函数在区间上的值域为_______． 74．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 75．（2026高三·北京·期中）对于函数，下列说法正确的是______. ①函数为奇函数；    ②函数的值域为； ③函数在定义域上为增函数；    ④对于，均有. 题型21 基本不等式法求函数值域 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域. 注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等” 76．（2026高三·全国·专题练习）求函数的最小值. 77．（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数，则的最小值为（   ） A．0 B．2 C． D．3 78．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域 79．（2026高三·江苏·专题练习）求函数的值域. 80．（2026高三·全国·专题练习）求函数的值域． 题型22 导数法求函数值域 适用高次多项式、复杂分式、超越函数（指数对数混合）； 步骤： 1. 求导，令，解出极值点； 2. 判断极值点左右导数符号，区分极大值、极小值； 3. 计算极值、区间端点函数值； 4. 对比所有函数值，确定全局最大值、最小值，写出值域。 81．（2026高三·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 82．（2026高三·江西抚州·期末）若函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 83．（2026高三·江西萍乡·期中）函数在上的值域是（    ） A． B． C． D． 84．（2026高三·江苏镇江·开学考试）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 85．（2026高三·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 题型23 已知函数值域求参数 逆向题型，核心转化思想：值域条件等价于恒成立/方程有解； 分类处理： 1. 二次函数给定值域：结合开口、顶点、区间建立参数不等式； 2. 分式/根式函数值域限制：反解，利用有解； 3. 基本不等式型：等号成立条件对应参数等式； 通用思路：把值域限制转化为含参数的不等式恒成立问题，分类讨论求解。 86．（2026高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中，且函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A．[2，4] B． C． D． 87．（2026高三·四川·阶段检测）若函数的值域为，则__________. 88．（2026·安徽滁州·模拟预测）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 89．（2026高三·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 90．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型24 定义域和值域的综合 综合设问分两类： 1. 先求定义域，再在定义域基础上求值域； 2. 已知值域反求定义域，或同时给出定义域、值域求参数； 解题顺序：先锁定允许取值范围，再结合函数单调性、图像、不等式推导范围； 含参数时双向转化：定义域约束自变量，值域约束函数输出，联立不等式组求解参数。 91．（2026高三·福建福州·阶段检测）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 92．（2026高三·山东枣庄·阶段检测）若函数的定义域和值域均为，则b的值为________． 93．【多选】（2026高三·全国·课后作业）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（    ） A． B． C． D． 94．（2026高三·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为______ 题型25 函数值域新定义问题 题干给出全新自定义概念（如“界域”“保值区间”“理想值域”等）； 解题步骤： 1. 精读题干，拆解新定义的数学等价条件； 2. 结合常规求值域方法，翻译定义为不等式/方程； 3. 联立函数自身定义域、值域限制，分类讨论求解参数或区间； 核心：不被陌生名词干扰，剥离文字外壳转化成熟悉的函数最值、恒成立问题。 95．（2026高三·云南楚雄·阶段检测）数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（    ） A． B． C． D．的值域为 96．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 97．【多选】（2026高三·江苏淮安·期末）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（    ） A． B． C． D．（表示不大于x的最大整数） 98．【多选】（2026高三·云南·阶段检测）定义在上的函数由关系式确定，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．关于直线对称 C．的值域为 D．的导函数为奇函数 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $