专题02 与一元二次方程有关的11类含参问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“四大核心+两条底线”构建方法体系，11类题型分层递进，实现含参问题系统性突破 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心框架|方程定义/根的存在性/数量特征/两根关系四大核心，二次项系数非0、判别式验证两条底线|从概念本质到应用原则，构建整体认知| |题型精讲|11类（每类1典例+3-5变式）|定义法/配方法/判别式法/韦达定理/整体换元等11种具体解法，附易错提醒|从基础系数问题到复杂新定义运算，由易到难递进| |压轴挑战|14道综合题|多方法融合（如韦达定理+判别式）、跨知识应用（几何最值）|对接中考压轴，提升综合解题能力|

专题02 与一元二次方程有关的11类含参问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由一元二次方程的定义求参数 2 类型二、依据方程各项系数结构求参数 2 类型三、利用方程的根代入求参数或代数式的值 6 类型四、配方法解方程过程中求参数 8 类型五、配方法几何 / 最值应用类参数问题 11 类型六、利用判别式 Δ，根据方程实数根个数求参数范围 16 类型七、已知含参方程一根，借助韦达定理求另一根 18 类型八、整体换元法求值与参数计算 20 类型九、直接运用根与系数的关系进行计算 22 类型十、给定两根特殊数量关系（和、差、积、平方和、互为相反数等）求参数 24 类型十一、一元二次方程背景下的新定义运算题型 28 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证判别式Δ≥0，所有参数结果最终均需合规检验. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由一元二次方程的定义求参数 典例精讲1（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，则 解得n即可． 【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程， ∴，解得 ． 此时，二次项系数为1，不为0，满足一元二次方程的条件， 故答案为：4． 题型归纳 1.特征：二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 2.方法： 1）判定一元二次方程：只需保证二次项系数a≠0； 2）判定一元一次方程：二次项系数为 0，且一次项系数不为 0。 3.易错提醒：① 判断一元一次方程时，只令二次项系数为 0，忽略检验一次项系数不为 0，造成方程失效； ② 题目附带实数根条件时，忘记额外加判别式△≥0限制； ③ 求出参数后未回代原方程验证，保留不合理解。 变式训练1（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零求解即可． 【详解】由题意得：， 解得． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 类型二、依据方程各项系数结构求参数 典例精讲2（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A． B．1 C．0 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义与一般形式，掌握知识点是解题的关键． 根据常数项为0可得，但需确保方程为一元二次方程，即二次项系数，即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或 又∵方程为一元二次方程， ∴，即． ∴． 故选：A． 题型归纳 1.特征：给出整理后的标准方程形式，对应二次项、一次项、常数项系数含字母参数，求参数值 2.方法：对照一元二次方程标准形式，同类项系数一一对应相等，列方程求解参数 3.易错提醒： ① 移项、合并同类项时符号出错，导致系数对应关系列错； ② 多项合并漏项，常数项与一次项系数混淆。 变式训练1（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程．则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴． 故答案为：． 变式训练3（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为 (3)，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0 (4)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2 (5)，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10 (6)，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． （1）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （2）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （3）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （4）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （5）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可， （6）先将方程化为一般式，再根据相关定义进行解答即可． 【详解】（1）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1； （2）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为； （3）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0； （4）解：将化为一般式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为2； （5）解：将互为一般式为， ∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10； （6）解：将化为一般式为， 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为； 类型三、利用方程的根代入求参数或代数式的值 典例精讲3（25-26九年级上·江西赣州·期末）若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】2027 【分析】本题考查了一元二次方程的根求参数，代数式求值，将代入得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知方程一个或两个实数根，代入构建等式，求解参数或整体代数式的值 2.方法：将已知根直接代入原方程，得到关于参数的一元一次 / 二次方程，解出参数后再代入代数式化简计算，或整体降次求值 3.易错提醒： ① 代入数值计算时正负号运算失误； ② 高次代数式不会整体降次，强行解方程增大计算量； ③ 多个根代入时漏代其中一个条件。 变式训练1（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·山东济宁·期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，将代入方程，得到关于的方程，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程，得， ∴，整理得， ∴，解得， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 类型四、配方法解方程过程中求参数 典例精讲4（25-26九年级上·河北石家庄·期末）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 【答案】21 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定参数m和n的值． 【详解】解：将移项得：， 两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 配方得：， ∴， 故答案为：21． 题型归纳 1.特征：方程配方后给出顶点式、完全平方式，通过系数匹配反求方程中的参数 2.方法：对原式执行完整配方法步骤，化为形式，与已知形式对应系数相等，建立等式解参数 3.易错提醒： ① 配方前未将二次项系数化为 1，常数项加减错误； ② 去括号、展开完全平方公式时符号出错； ③ 只对比常数项，忽略一次项对应系数。 ③ 多个根代入时漏代其中一个条件。 变式训练1（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过将配方后的方程展开，整理成一般式，与原方程对比常数项，求出c的值． 【详解】解：配方后得到， 展开得， 移项整理得， 原方程为， 对比常数项，得． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 先对配方，然后与对比求得a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的相关结论是解题的关键； 对于配方后的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，，据此即可求解． 【详解】解：若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 故答案为：0． 变式训练4（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程配方后得到，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把原式变形为，进一步变形得到，则，据此可得b、c，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型五、配方法几何 / 最值应用类参数问题 典例精讲5（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 题型归纳 1.特征：利用配方求代数式最值、非负数和为 0、几何边长取值限制等背景下求参数范围或定值 2.方法：配方转化为平方相加形式，根据平方非负性列不等式或等式锁定参数 3.易错提醒： ① 多个平方项相加时，遗漏每一项单独等于 0 的方程组条件； ② 求最值后忽略题干隐含取值限制（如边长大于 0）。 变式训练1（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 变式训练4（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是， ∵，， ∴最大面积是符合题意． 故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是． 变式训练5（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 类型六、利用判别式 Δ，根据方程实数根个数求参数范围 典例精讲6（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 题型归纳 1.特征：告知方程有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根，反向求参数取值范围 2.方法：根据△来判断，同时必须附带前提：二次项系数a≠0 3.易错提醒：直接使用判别式，漏掉a≠0这个核心前提 变式训练1（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式 ，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴ ，即 ， ∴解得 ． 故答案为 ． 变式训练2（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 变式训练3（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有实数解，需考虑方程类型：当 时，方程为一次方程，有解；当 时，方程为一元二次方程，需判别式非负，同时，根号内表达式要求． 【详解】解：由方程中可知，， 分以下两种情况讨论： 当，即时，方程为， 解得，有实数解； 当，即时，方程为一元二次方程， 判别式， 由，得，即． 综上所述，． 故答案为：． 类型七、已知含参方程一根，借助韦达定理求另一根 典例精讲7（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根为1，设另一个根为r，根据两根之和公式求出r． 【详解】解：∵方程的一个根是1，设另一个根为， ∴由根与系数的关系，两根之和为， 即， ∴． 故选：A． 题型归纳 1.特征：给出含参方程其中一个根，求参数以及方程的另一根 2.方法：方法一：已知根代入求参数，还原完整方程后解方程得另一根； 方法二：先用韦达定理两根之和 / 两根之积直接口算求出另一根，再反推参数。 3.易错提醒： ① 韦达定理公式记混，两根之和符号出错； ② 求出参数后不验证判别式，出现无实数根的无效参数。 变式训练1（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 变式训练2（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为． ∵一个根为， ∴根据根与系数的关系，得, ∴，即， 解得或， 但时，，不符合一元二次方程的条件，故舍去． 当时，方程为， 解得另一根为． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 的两个根为 1 和， ， ． 故答案为． 类型八、整体换元法求值与参数计算 典例精讲8（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 题型归纳 1.特征：方程含有重复整体结构，采用换元简化，依托换元后的结果求复杂代数式数值 2.方法：设重复整体为新变量t，转化为一元二次方程求解，再回代整体代入目标代数式化简求值 3.易错提醒： ① 换元求解后忘记回代，直接用t的值当作最终答案； ② 分式型换元忽略新变量分母不为 0 的取值范围； ③ 整体代入时括号展开符号错误。 变式训练1（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是________． 【答案】 19 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式，熟练掌握换元法是解题的关键． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的平方和，利用完全平方公式展开并简化，即可求解． 【详解】解：设，则，． 代入原方程：， 展开完全平方：， 合并同类项：， 移项：， ， 即． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）方程，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知换元法是解题的关键． 利用换元法对所给方程进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式确定答案即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 解得或， 当时， ， 则， 故此情况不符合题意； 当时， ， 则， 故此情况符合题意． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 类型九、直接运用根与系数的关系进行计算 典例精讲9（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则________． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若方程的两根为、，则，．先根据给定方程确定、、的值，再利用韦达定理求出和的值，最后代入所求式子计算结果． 【详解】解：对于一元二次方程， ，， ． 题型归纳 1.特征：不解方程，已知两根关系（平方和、倒数和、差的绝对值等），计算代数式或求参数 2.方法：牢记韦达定理，对所求式子做恒等变形后代入整体计算 3.易错提醒： ①使用韦达定理前不判断△≥0 ②前面负号遗漏，是最高频错误 变式训练1（25-26九年级上·全国·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，异分母分式加法，对于，有，先求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】42 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及利用因式分解求代数式的值．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∴，， 则 ． 故答案为：42． 变式训练3（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)-4 (2)23 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系． （1）先求出， ，再展开，再代入求值即可； （2）先通分，再利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可； 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 类型十、给定两根特殊数量关系（和、差、积、平方和、互为相反数等）求参数 典例精讲10（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 题型归纳 1.特征：附加两根特殊约束，如两根同号、两根异号、一根大于 1 一根小于 1、互为相反数、互为倒数等复合条件求参数 2.方法：联立三组条件：①二次项系数a≠0；②△≥0保证有实根；③两根和、两根积的符号或数量关系列不等式组，取公共解集 3.易错提醒： ① 只看两根积符号，漏掉判别式△≥0； ② 多个不等式组求解时交集范围取错； ③ 分式参数未考虑分母不为 0。 变式训练1（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）一元二次方程的两根为其中，则的值为_______． 【答案】0 【分析】本题考查了根与系数之间的关系，由根与系数的关系得和，代入判别式计算即可． 【详解】解：由题意知且， ， ， 故答案为：0． 变式训练3（期末复习试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册）若关于的一元二次方程有两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】此题要结合互为相反数的两个数的和为0以及一元二次方程根与系数的关系求得的值，最后不要忘记代入检查方程是否有实数根．首先根据一元二次方程的两实数根互为相反数，得，即；再进一步代入看方程是否有实数根． 【详解】解：设方程的两个根分别为，， 在方程中，，，， ， 方程的两个根互为相反数， ，即， 解得． 当时，方程为，此时一元二次方程无实数根，故舍去； 当时，方程为，解得，． 综上，的值为． 变式训练4（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 变式训练5（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根是，且满足，求m的值． 【答案】(1) 证明：， 无论m取何值，总有，故，即， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）求出，根据即可求证； （2）根据根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，， ， ， 解得，． 类型十一、一元二次方程背景下的新定义运算题型 典例精讲11（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义新运算：，例如：，若关于的方程的一个根是，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据新定义，列出一元二次方程，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题干自定义全新运算规则、新符号，嵌套一元二次方程结构列式求解参数或未知数 2.方法：精准拆解新定义运算顺序与公式，严格按规则列出一元二次方程，选用合适方法解方程并检验 3.易错提醒： ① 曲解新定义运算优先级，列式本身出错； ② 解方程后遇到无理方程、分式方程省略回代验根步骤； ③ 多重括号去括号时符号连续出错。 变式训练1（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 变式训练2（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可． 本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：由新定义得 ， 整理，得， 故． 由方程有实数根， 则判别式， 解得． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式等知识，根据新运算定义，将方程转化为一元二次方程，利用根的判别式求参数范围即可． 【详解】解：由新运算定义，，得， 故方程化为， 由于该方程有两个实数根， ∴判别式， 解得． 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 【答案】D 【分析】先通过因式分解求出方程的两个实数根，再根据“只有一个实数根小于2”的条件，结合两根的大小关系列出不等式组求解，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程可因式分解为：， ∴方程的两个实数根为，． ∵， ∴， ∵方程只有一个实数根小于2，即两个根中一个小于2，另一个不小于． ∴，即， 解得． 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 【答案】D 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即，整理为的形式得， ，． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 7．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】当方程为一元一次方程时(二次项系数为)，直接验证是否有实数根；当方程为一元二次方程时，利用判别式确定参数范围，最后综合两种情况得到的取值范围．关键是不能忽略二次项系数为0的情况，否则会漏解． 【详解】解：当时，，此时方程变为，解该方程得，存在实数根，故符合条件． 当，，此时方程为一元二次方程． 若方程有实数根，则判别式， 解得， ∴此时的取值范围是且． 综合两种情况，的取值范围是． 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到一元二次方程两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，. ∴． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得和． 又，代入得， 解得．则． 所以， 即， 解得． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东江门·期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将根代入方程，求解的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴， 即， 解得． 故答案为：3． 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 13．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与一元二次方程有关的11类含参问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由一元二次方程的定义求参数 1 类型二、依据方程各项系数结构求参数 2 类型三、利用方程的根代入求参数或代数式的值 3 类型四、配方法解方程过程中求参数 3 类型五、配方法几何 / 最值应用类参数问题 4 类型六、利用判别式 Δ，根据方程实数根个数求参数范围 6 类型七、已知含参方程一根，借助韦达定理求另一根 6 类型八、整体换元法求值与参数计算 7 类型九、直接运用根与系数的关系进行计算 7 类型十、给定两根特殊数量关系（和、差、积、平方和、互为相反数等）求参数 8 类型十一、一元二次方程背景下的新定义运算题型 9 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证判别式Δ≥0，所有参数结果最终均需合规检验. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、由一元二次方程的定义求参数 典例精讲1（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 题型归纳 1.特征：二次项系数含参数，给定条件判断是一元二次或一元一次方程，求参数取值. 2.方法： 1）判定一元二次方程：只需保证二次项系数a≠0； 2）判定一元一次方程：二次项系数为 0，且一次项系数不为 0。 3.易错提醒：① 判断一元一次方程时，只令二次项系数为 0，忽略检验一次项系数不为 0，造成方程失效； ② 题目附带实数根条件时，忘记额外加判别式△≥0限制； ③ 求出参数后未回代原方程验证，保留不合理解。 变式训练1（25-26九年级上·广东东莞·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是______． 变式训练2（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的值为_____． 变式训练3（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 类型二、依据方程各项系数结构求参数 典例精讲2（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A． B．1 C．0 D．1或 题型归纳 1.特征：给出整理后的标准方程形式，对应二次项、一次项、常数项系数含字母参数，求参数值 2.方法：对照一元二次方程标准形式，同类项系数一一对应相等，列方程求解参数 3.易错提醒： ① 移项、合并同类项时符号出错，导致系数对应关系列错； ② 多项合并漏项，常数项与一次项系数混淆。 变式训练1（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 变式训练2（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程．则的取值范围是_____． 变式训练3（23-24九年级上·全国·单元测试）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型三、利用方程的根代入求参数或代数式的值 典例精讲3（25-26九年级上·江西赣州·期末）若是方程的一个根，则的值为___________． 题型归纳 1.特征：已知方程一个或两个实数根，代入构建等式，求解参数或整体代数式的值 2.方法：将已知根直接代入原方程，得到关于参数的一元一次 / 二次方程，解出参数后再代入代数式化简计算，或整体降次求值 3.易错提醒： ① 代入数值计算时正负号运算失误； ② 高次代数式不会整体降次，强行解方程增大计算量； ③ 多个根代入时漏代其中一个条件。 变式训练1（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 变式训练2（25-26九年级上·山东济宁·期末）已知关于的一元二次方程的一个解是，则的值为__________． 变式训练3（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 类型四、配方法解方程过程中求参数 典例精讲4（25-26九年级上·河北石家庄·期末）用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 题型归纳 1.特征：方程配方后给出顶点式、完全平方式，通过系数匹配反求方程中的参数 2.方法：对原式执行完整配方法步骤，化为形式，与已知形式对应系数相等，建立等式解参数 3.易错提醒： ① 配方前未将二次项系数化为 1，常数项加减错误； ② 去括号、展开完全平方公式时符号出错； ③ 只对比常数项，忽略一次项对应系数。 ③ 多个根代入时漏代其中一个条件。 变式训练1（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为______． 变式训练2（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）用配方法解方程时，配方后得到，则____________． 变式训练3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 变式训练4（24-25八年级下·安徽合肥·期中）将一元二次方程配方后得到，则___________． 类型五、配方法几何 / 最值应用类参数问题 典例精讲5（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 题型归纳 1.特征：利用配方求代数式最值、非负数和为 0、几何边长取值限制等背景下求参数范围或定值 2.方法：配方转化为平方相加形式，根据平方非负性列不等式或等式锁定参数 3.易错提醒： ① 多个平方项相加时，遗漏每一项单独等于 0 的方程组条件； ② 求最值后忽略题干隐含取值限制（如边长大于 0）。 变式训练1（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 变式训练2（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 变式训练3（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 变式训练4（2025·四川雅安·一模）阅读材料并解决问题： 材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 根据上面的材料请解决下面问题： 如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． (1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； (2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 变式训练5（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 类型六、利用判别式 Δ，根据方程实数根个数求参数范围 典例精讲6（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 题型归纳 1.特征：告知方程有两个不等实数根、两个相等实数根、无实数根，反向求参数取值范围 2.方法：根据△来判断，同时必须附带前提：二次项系数a≠0 3.易错提醒：直接使用判别式，漏掉a≠0这个核心前提 变式训练1（25-26九年级上·山西长治·阶段检测）一元二次方程有实数根，则常数c的取值范围是______． 变式训练2（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 变式训练3（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于的方程有解，则实数的取值范围是______． 类型七、已知含参方程一根，借助韦达定理求另一根 典例精讲7（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．2 D．3 题型归纳 1.特征：给出含参方程其中一个根，求参数以及方程的另一根 2.方法：方法一：已知根代入求参数，还原完整方程后解方程得另一根； 方法二：先用韦达定理两根之和 / 两根之积直接口算求出另一根，再反推参数。 3.易错提醒： ① 韦达定理公式记混，两根之和符号出错； ② 求出参数后不验证判别式，出现无实数根的无效参数。 变式训练1（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 变式训练2（25-26九年级上·全国·期末）关于的一元二次方程一个根是，则另一个根是_________ ． 变式训练3（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为_________． 类型八、整体换元法求值与参数计算 典例精讲8（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 题型归纳 1.特征：方程含有重复整体结构，采用换元简化，依托换元后的结果求复杂代数式数值 2.方法：设重复整体为新变量t，转化为一元二次方程求解，再回代整体代入目标代数式化简求值 3.易错提醒： ① 换元求解后忘记回代，直接用t的值当作最终答案； ② 分式型换元忽略新变量分母不为 0 的取值范围； ③ 整体代入时括号展开符号错误。 变式训练1（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知，则的值是________． 变式训练2（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）方程，则______． 变式训练3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则代数式的值为________． 类型九、直接运用根与系数的关系进行计算 典例精讲9（25-26九年级上·西藏日喀则·期末）已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则________． 题型归纳 1.特征：不解方程，已知两根关系（平方和、倒数和、差的绝对值等），计算代数式或求参数 2.方法：牢记韦达定理，对所求式子做恒等变形后代入整体计算 3.易错提醒： ①使用韦达定理前不判断△≥0 ②前面负号遗漏，是最高频错误 变式训练1（25-26九年级上·全国·期末）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则_____． 变式训练2（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 变式训练3（25-26九年级上·湖南湘西·期中）已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)． 类型十、给定两根特殊数量关系（和、差、积、平方和、互为相反数等）求参数 典例精讲10（25-26九年级上·湖南常德·期末）关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 题型归纳 1.特征：附加两根特殊约束，如两根同号、两根异号、一根大于 1 一根小于 1、互为相反数、互为倒数等复合条件求参数 2.方法：联立三组条件：①二次项系数a≠0；②△≥0保证有实根；③两根和、两根积的符号或数量关系列不等式组，取公共解集 3.易错提醒： ① 只看两根积符号，漏掉判别式△≥0； ② 多个不等式组求解时交集范围取错； ③ 分式参数未考虑分母不为 0。 变式训练1（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 变式训练2（25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）一元二次方程的两根为其中，则的值为_______． 变式训练3（期末复习试卷2025-2026学年北师大版九年级数学上册）若关于的一元二次方程有两个实数根互为相反数，求的值． 变式训练4（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 变式训练5（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根是，且满足，求m的值． 类型十一、一元二次方程背景下的新定义运算题型 典例精讲11（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义新运算：，例如：，若关于的方程的一个根是，则的值为_____． 题型归纳 1.特征：题干自定义全新运算规则、新符号，嵌套一元二次方程结构列式求解参数或未知数 2.方法：精准拆解新定义运算顺序与公式，严格按规则列出一元二次方程，选用合适方法解方程并检验 3.易错提醒： ① 曲解新定义运算优先级，列式本身出错； ② 解方程后遇到无理方程、分式方程省略回代验根步骤； ③ 多重括号去括号时符号连续出错。 变式训练1（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 变式训练2（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为________． 变式训练3（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）定义新运算：，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是___________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 5．（25-26九年级上·广西来宾·期末）将方程化成（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是（　　） A．1，2 B．1， C．， D．，2 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 7．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）若关于的方程有实数根，则的取值范围是(　　) A．且 B． C．且 D． 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 9．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知关于x的一元二次方程的两实数根是，，且满足，则______． 11．（25-26九年级上·广东江门·期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为______________． 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 13．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $