专题04 一元二次方程判别式、 根与系数的关系及含参数问题（专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦判别式与根与系数关系，通过5类基础题型+综合拔高题组，构建从概念应用到创新迁移的递进训练体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|5类共25题|覆盖基础判断、参数求解、代数式求值、综合应用及新定义问题|从判别式（根的存在性）到韦达定理（根的数量关系），形成"概念理解-性质应用-综合迁移"逻辑链| |综合攻坚|15题（含竞赛/模拟题）|融合参数讨论、跨知识综合及创新定义，突出中考高频易错点|通过典型题组实现从单一知识点到多维度问题解决的能力提升，强化运算能力与推理意识|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04判别式、 根与系数的关系及含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型2根据一元二次方程根的情况求参数 题型3利用根与系数的关系求代数式的值 题型4判别式和根与系数的关系的综合问题 题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a0,下列说法中正确的个数有() ①若b=0,则方程总有实数根；②若b2=4ac,则方程有两个相等的实数根： ③若a=b=c,则方程无实数根；④若b=a+c,则方程总有实数根. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列方程中，有实数根的是() A.x2-X+1=0B.x2+X-1=0 C.x2-2x+3=0 D.x2+4=0 3.下列一元二次方程中，没有实数根的是() A.x2-V2x=5 B.x3x-5-6=0 C.x2-x+1=0 D.x2-6x+9=0 4.己知整式A=anx+a-1x-1++a3x23+a2x2+a1x+a0,其中a+a1+a2++an=m, 0≤a<a1<a2<.<an-1<an且a,a1,a2,a3,…,an均为整数，n为正整数.若n=1,m=3,则满足条 件的整式A共有 个；若n=2,m=16,且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条 件的整式A共有 个 5.已知关于x的方程kx2-k+4x+4=0k0! 1/6 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值。 ◆题型2根据一元二次方程根的情况求参数 6.关于x的方程k+1x2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是 7.一元二次方程x2-3x+k=0有两个实数根，则k所取的可能的值是 .(填一个即可) 8.已知关于x的一元二次方程k+1x2-2k-1x+k=0有实数根，则k的取值范围是 9.关于x的一元二次方程x-2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是() A.m<1 B.m≥1 c.m≤1 D.m>1 10.若关于x的一元二次方程x-2k+1x+k+2=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)已知方程的两个实数根分别为0，B,且@+1川B+1=13,求k的值. ◆题型3利用根与系数的关系求代数式的值 1.已知a,6是一元二次方程x2+2X-1=0的两根，则3：2-2b+乙的值是 12.已知a、b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2022的值是 13.已知X1,X2是一元二次方程x2-6x+2=0的两根，则2x1X2+2X1x的值为 14.已知X1,X2是方程x2-3x-8=0的两个根，则X1X2+X1+X2日 5.已知一元一次方程X2x-50的两根为X1、X,-3X1X,+子生 X2 ◆题型4判别式和根与系数的关系的综合问题 16.己知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0, (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根. X1 (②如果方程的两个实数根为X1,X,且无与X,+2都为整数，求k所有可能的值。 17.已知关于x的方程x2-mx+2m-4=0. (1)求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求m的值. 18.已知方程x2+5x-k=0 (1)若方程有实数根，求k的取值范围： 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若方程的一个根为k,求k的值. 19.己知关于x的一元二次方程k+1x2+k+3x+2=0. (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根为一2，求k的值及方程的另一个根。 20.己知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m=3. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为4，求m的值以及另一个根. ◆题型5判别式和根与系数的关系的新定义型问题 21.关于x的代数式ax+bx+ca0,若存在实数n,使得an+bn+c=n,则称n为这个代数式的等根 值， (1)代数式3x2-2x的等根值为 (2)已知关于x的代数式2x2+kx-k-3. ①求证：无论k取何值，此代数式总有两个不相等的等根值： ②已知x=一1是此代数式的一个等根值，求k的值和这个代数式的另一个等根值， 22.定义：关于x的方程cx2+bx+a=0是方程ax2+bx+c=0a≠c0的“倒方程”.有下列五个结论： ①一4x2+3x+1=0的“倒方程”是x2-3X-4=0;②如果x=-2是x2+2x+C=0的“倒方程”的解，则 3 =4:③若一元二次方程x2-3x+c=0没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；@④如果x=t是一 C 元二次方程a×2+bx+c=0的根，则x是其“倒方程”cx2+bx+a=0的根；©若m是一元二次方程 -3x2+x+1=0的“倒方程”的一个实数根，则m3+m2-3m+2026的值为2026.其中，正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 23.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那 么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是X1=0,X2=一1，则方程 x2+x=0是“邻根方程”.关于x的方程x2-m-2x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”，则m的值是 24.规定：两个含有二次根式的代数式a+mV6,c+nVa,满足a+m/6c+nVa=p,且a,b,c, d,,n,p是有理数，则称a+mVb与c+nd是关于p的“和谐二次根式”.如(3+2)3-V2)=5, 则称3+2与3-只2是关于5的“和谐二次根式”. (①)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是 (填序号)： 316 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①33与3：②3与V3:③V13+2与V13-2. (②)若35+t与3-只V5是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式3+/2与a-只2b是关于7的“和谐二次根式”，试判断x1=3+只/2与 x2=a-2b能否是关于x的一元二次方程x2-kx+k+1=0的两个根，并说明理由. 25.定义运算：a※b=a2-2ab,例如a=-1,b=2时，-1※2=-12-2×-1×2=5.若关于x的方程 x※2=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是() A.m>-4 B.m<-4 c.m>-1 D.m<-1 综合攻坚知能拔高 一、单选题 x+1 1.（2022九年级上：上海奉贤竞春)使得文2-3x+3的值为整数的无理数x的个数为(） A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 2.(25-26八年级下渐江台州：期末)关于x的一元二次方程mX2-2/2mx+n+号=0有两个相等的实数 2 根，则下列成立的是() A.若0<n<1,则0<Vm<1 B.若0<n<1,则/m>1 c.若n>1,则0<Vm<1 D.若n>1,则/m>1 3.(2022山东济宁.模拟预测)已知关于X的一元二次方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为 () A.k=1 B.k=-1 C.k=±1 D.k=±4 4.(2022黑龙江牡丹江·模拟预测)关于x的方程mx-6x+3=0有实数根，则m的非负整数值是() A.0、1 B.0、1、2 C.1、2、3 D.0、1、2、3 5.(2022山东潍坊·模拟预测)函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 x2+bx-k-1=0的根的情况是() y=kx+b A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 6. （2022九年级上重庆江津竞赛)若关于x的一元二次方程x+4x-a=0有两个不相等的实数根，且 关于y的分式方程 y-a +1y+1 一1的解为负整数，则所有满足条件的整数α的值之和是() A.-15 B.-13 C.-7 D.-5 二、解答题 7.(25-26八年级下河北张家口·期末)解一元二次方程x2-4x=5时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 x2-4x=5 琪琪同学 xx-4=5 .‘a=1,b=-4,c=5 x=1或 .b2-4ac=16-20=-4 x-4=5 ∴.原方程无实数根 ∴.X1=1,X2=9 (①)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法 琪琪同学的解法 (填 “正确”或“错误”)： (2)请选择合适的方法解一元二次方程：4x2x+1=32x+1. 8.（25-26八年级下江苏南京期末)已知关于x的一元二次方程x2-m+3x+m+2=0. (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根： (2)若方程的一个实数根是3，求另人个实数根和m的值， 9.(2022北京门头沟模拟预测)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0 (1)当m取什么值时，原方程没有实数根： (2)对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根 10.(22-23九年级上·江苏淮准安·开学考试)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的 实数根 (1)求的取值范围： (2)已知x=2是方程的一个解，求m的值. 11.(25-26八年级下山东烟台期末)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实 数根 (1)求n的取值范围： (2)若n为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的2倍，求m的值. 5/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(2021九年级上湖南衡阳·竞赛)已知关于x的方程mx2-4m+2x+3m+6=0. (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由： (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根： 13.（25-26八年级下·河北张家口·期末)现要在关于x的一元二次方程x2+2x+☐=0中的“口”内填入一 个实数 (1)若“口”内填入0，请求出方程的根： (2)在“口”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“口”内的值及方程的根. 14.(25-26八年级下·吉林期末)如果方程x2+px+q=0满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样 的一元二次方程为同族方程，并规定G=卫，例如x2-7x+12=0有整数解3和4，所以x2-7x+12=0属于 9 同族方程，所以G=749 1212 (1)以下一元二次方程中是同族方程的是 (填写序号) ①x2-5x+6=0:②x2-3x+1=0:③2x2-3x-2=0;④x2-4x+4=0 (2)如果同族方程x+Px+q=0中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任 意一个完美方程，总有G=4: (3)关于x的一元二次方程kx2-k-3x-3=0属于同族方程，求正整数k的值. 15.(25-26八年级下·湖南长沙期末)定义：方程ax2+bx+c=0(ac0)与方程cx2+bx+a=0互为 “换位方程”.如一元二次方程2x2-3X-1=0的“换位方程”是-X2-3X+2=0.已知关于x的一元二次 方程①：x2+2m+1x+m-2=0,其中m≠2. (1)写出方程①的“换位方程”： (2)求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根： (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根X0,求这个公共根及m的值. 616 专题04 判别式、 根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．C 2．B 3．C 4． 5．(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 6． 7．2（答案不唯一） 8．且 9．D 10．(1) (2) ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 11．17 12．2026 13． 14． 15． ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 16．(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 17．(1)证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． (2)2 18．(1) (2)0或 19．(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 20．(1)证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)，另一个根为 ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 21．(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 22．C 23．或 24．(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 25．A 综合攻坚·知能拔高 1．C 2．D 3．D 4．D 5．C 6．D 7．(1)错误；错误． (2)． 8．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 9．(1) (2)时， 10．(1)； (2)或． 11．(1)； (2)或． 12．(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 13．(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 14．(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 15．(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 判别式、 根与系数的关系及含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 2．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． 4．已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 5．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． ◆题型2 根据一元二次方程根的情况求参数 6．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 7．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 取(答案不唯一)． 8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 9．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． ◆题型3 利用根与系数的关系求代数式的值 11．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程解的定义以及根和系数的关系，得到，，再代入计算求值即可． 【详解】 解：a、b是方程的两个实数根， ，， ， ． 13．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 14．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 15．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． ◆题型4 判别式和根与系数的关系的综合问题 16．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 【答案】(1)证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． (2)2 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根的平方和为4，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：， 即， 解得：． ， ， ． 18．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为4，求的值以及另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)，另一个根为 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程的一个根为4， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或， ∴原方程的另一个根为． ◆题型5 判别式和根与系数的关系的新定义型问题 21．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 22．定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 23．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 24．规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． (1)下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． (2)若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； (3)若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； （2）解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； （3）解：略 25．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2022九年级上·上海奉贤·竞赛）使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 3．（2022·山东济宁·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 4．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于的方程有实数根，则的非负整数值是（     ） A．、 B．、、 C．、、 D．、、、 【答案】D 【分析】由关于的方程有实数根，分类讨论当，一元一次方程有解；当，则有，求出取值范围，即可确定的非负整数值． 【详解】解：关于的方程有实数根， 当时，此时方程为一次方程，有实数根，当时，此时方程为二次方程，有实数根的条件为． ，解得， ∴的非负整数值为：，，． 综合两种情况得到满足条件的的非负整数值是，，，． 5．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数中，，再运用一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，，有两个相等的实数根，，方程无实数根的方法进行判定即可求解． 【详解】解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 6．（2022九年级上·重庆江津·竞赛）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况，利用判别式求出的取值范围，再解分式方程，根据解为负整数且分式有意义，确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件的的和即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得； 解分式方程， 方程两边同乘（，否则分式无意义）得：， 整理得， 解得， ∵分式方程的解为负整数， ∴，且为整数，且， 即，是的倍数，， 结合且为整数，可得符合条件的整数只有， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 二、解答题 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填“正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程：． 【答案】(1)错误；错误． (2)． 【分析】（1）由乘积为5的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或是错误的； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得：， 提取公因式得：， ∴或， ． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 9．（2022·北京门头沟·模拟预测）已知关于的方程． (1)当取什么值时，原方程没有实数根； (2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根． 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式得出，根据原方程没有实数根得出，解不等式即可得出答案； （2）根据原方程有两个实数根得出，选取，利用公式法解方程求出两个实数根即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程， ∴判别式， ∵原方程没有实数根， ∴，即， 解得：， ∴当时，原方程没有实数根． （2）解：∵原方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴选取满足条件的非零整数（答案不唯一，符合要求即可）， ∴原方程为， ∵，，， ∴， ∴，． 10．（22-23九年级上·江苏淮安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 11．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 12．（2021九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 14．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 15．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $