专题2.1 实数（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，系统梳理无理数的概念（无限不循环小数及常见形式）、实数的分类（按定义和正负性）、与数轴的一一对应关系、相反数倒数绝对值等性质及运算。从概念辨析到分类，再到与数轴结合，最后到性质应用，构建递进式学习支架。 资料亮点在于题型归纳全面，8类题型均配例题与变式题，如无理数概念辨析题培养抽象能力，实数与数轴题发展几何直观，实际应用题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过变式练习巩固知识，有效查漏补缺。

专题2.1 实数（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 无理数的概念辨析】 3 【题型2 识别无理数】 5 【题型3 实数的概念理解】 6 【题型4 实数的分类】 8 【题型5 实数的大小比较】 10 【题型6 实数与数轴】 11 【题型7 实数的性质】 12 【题型8 实数运算的实际应用】 13 考点1 实数 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【题型1 无理数的概念辨析】 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） ．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 【变式1-1】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查无理数的含义，无限不循环的小数是无理数，掌握定义是关键．根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断． 【详解】解：（1）无理数就是开方开不尽的数；描述错误，而是开方开不尽的数是无理数；故不符合题意； （2）无理数是无限不循环小数，故正确，符合题意； （3）无理数包括正无理数、负无理数；零是有理数，故错误，不符合题意； （4）数轴上的点与实数是一一对应关系，故正确，符合题意； 故选：C 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法：①有限小数都是有理数；②有理数都是有限小数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握有理数和无理数的定义．解答本题时，根据有理数的定义即可判断①、②的对错；对于③和④，根据无理数的定义即可判断，至此即可解答题目． 【详解】解：①有限小数都是有理数，此说法正确； ②有理数不一定都是有限小数，也可以是整数，故原说法错误； ③无理数都是无限小数，此说法正确； ④无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故原说法错误． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 【题型2 识别无理数】 【例2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 【变式2-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的定义、实数的大小比较的知识，理解无理数的定义，掌握实数的大小比较技巧是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴符合题意的x的值可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-2】（2026·山东济宁·三模）在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：根据定义逐个判断：∵ ，2，9都是整数，属于有理数，只有是无限不循环小数，属于无理数， ∴ 四个数中无理数的个数为1个． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各数：（相邻两个2之间1的个数逐次加1），．其中是无理数的有______个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：（相邻两个2之间1的个数逐次加1），中，是无理数的有（相邻两个2之间1的个数逐次加1），共2个； 故答案为：2． 【题型3 实数的概念理解】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周率的性质、数轴和有理数、无理数、实数的定义等，熟练掌握圆周率是无理数，属于实数是解题的关键． 【详解】选项A：圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，不符合题意； 选项B：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而圆周率是实数，所以数轴上能找到表示它的点，不符合题意； 选项C：实数包含有理数和无理数，圆周率是无理数，也是实数，符合题意； 选项D：圆周率，小于，不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【答案】 错误 正确 错误 错误 错误 错误 错误 正确 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可 【详解】(1)( 错误)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1．020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误． (2)( 正确)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确． (3)( 错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误． (4)( 错误)0是有理数；故答案为：错误． (5)( 错误)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误． (6)( 错误)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数；故答案为：错误． (7)( 错误)有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误． (8)( 正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点睛】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【变式3-3】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 【题型4 实数的分类】 【例4】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 【变式4-2】（25-26七年级上·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可． 【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故， 非负整数有，，共个，故； ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 【题型5 实数的大小比较】 【例5】（2026·河南平顶山·一模）下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据实数的大小比较法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即最小的数是． 【变式5-1】（2026·江西上饶·模拟预测）下列实数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ A选项为，是负数，B选项，C选项，D选项为3.1415， ∴四个数的大小关系为， ∴最大的数是π． 【变式5-2】（25-26七年级下·吉林·期中）写出一个比3大的正无理数__________． 【答案】（答案不唯一，大于3的正无理数均可） 【分析】由，即可得出结果． 【详解】解：是正无理数，且，满足题意要求． 【变式5-3】（2026·福建漳州·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先化简各选项中的数，再根据实数大小比较规则判断即可． 【详解】解：， ， 则最大的数是． 【题型6 实数与数轴】 【例6】（2026·北京顺义·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 【变式6-1】（2026·江苏苏州·一模）在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知点在数轴上，且到原点的距离大于，写出一个点表示的负数：______． 【答案】（不唯一） 【分析】根据点是数轴上的负数，且到原点的距离大于，写出一个符合条件的数即可． 【详解】解：设点表示的数为，依题意得，且，可得， ∵， ∴可取，满足条件． 【变式6-3】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 【题型7 实数的性质】 【例7】（2026·江苏扬州·一模）实数的绝对值为________． 【答案】2026 【详解】解：实数的绝对值为2026． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）实数的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题考查实数、倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键，根据倒数的定义即可得到答案． 【详解】解： 的倒数为． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·北京大兴·期末）的相反数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得 【题型8 实数运算的实际应用】 【例8】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 【变式8-2】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【答案】25.2 【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可． 【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶 合计费用为：元 第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶 合计费用为：元 故选择第二种更划算，最低费用为25.2元 故答案为：25.2． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键． 【变式8-3】卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程； (2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； (3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可； （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案； （3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可． 【详解】（1）组分组积分赛对阵表：    阿根廷    沙特    墨西哥    波兰    阿根廷    阿根廷：沙特    阿根廷：墨西哥    阿根廷：波兰    沙特    沙特：阿根廷    沙特：墨西哥    沙特：波兰    墨西哥    墨西哥：阿根廷    墨西哥：沙特    墨西哥：波兰    波兰    波兰：阿根廷    波兰：沙特    波兰：墨西哥 （2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场， 一共踢了（场）， 本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛； （3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）； 决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场； 一共踢了（场）； 本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛． 【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 实数（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 无理数的概念辨析】 3 【题型2 识别无理数】 3 【题型3 实数的概念理解】 3 【题型4 实数的分类】 4 【题型5 实数的大小比较】 5 【题型6 实数与数轴】 5 【题型7 实数的性质】 6 【题型8 实数运算的实际应用】 6 考点1 实数 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点2 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点3 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点4 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点5 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【题型1 无理数的概念辨析】 【例1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） ．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法：①有限小数都是有理数；②有理数都是有限小数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26八年级上·福建三明·期中）若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 【题型2 识别无理数】 【例2】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025八年级上·全国·专题练习）若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值______（答案不唯一）． 【变式2-2】（2026·山东济宁·三模）在，2，，9这四个实数中无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各数：（相邻两个2之间1的个数逐次加1），．其中是无理数的有______个． 【题型3 实数的概念理解】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它大于3.15 【变式3-2】判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．( ) (2)无理数都是无限小数．( ) (3)无限小数都是无理数．( ) (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．( ) (5)不带根号的数都是有理数．( ) (6)带根号的数都是无理数．( ) (7)有理数都是有限小数．( ) (8)实数包括有限小数和无限小数．( ) 【变式3-3】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是_______个． 【题型4 实数的分类】 【例4】（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【变式4-2】（25-26七年级上·江西萍乡·期中）在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 【变式4-3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【题型5 实数的大小比较】 【例5】（2026·河南平顶山·一模）下列各数中最小的数是（） A．1 B． C． D．0 【变式5-1】（2026·江西上饶·模拟预测）下列实数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·吉林·期中）写出一个比3大的正无理数__________． 【变式5-3】（2026·福建漳州·模拟预测）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D．1 【题型6 实数与数轴】 【例6】（2026·北京顺义·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·江苏苏州·一模）在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知点在数轴上，且到原点的距离大于，写出一个点表示的负数：______． 【变式6-3】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【题型7 实数的性质】 【例7】（2026·江苏扬州·一模）实数的绝对值为________． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）实数的倒数是_____． 【变式7-2】（24-25七年级下·北京大兴·期末）的相反数是_______． 【变式7-3】（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【题型8 实数运算的实际应用】 【例8】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【变式8-2】五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为________元． 【变式8-3】卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名． (1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）． (2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ (3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $