专题02 坐标系内图形面积与规律探究压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建坐标系内图形面积与规律探究的完整训练体系，方法分层递进，题型覆盖全面，助力学生形成从基础到压轴的解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4种方法（含例题）|直接公式法（规则图形）、割补法（不规则图形）、铅垂高法（万能三角形）、鞋带公式（多点多边形）|从特殊到一般，适配不同图形特征的面积计算需求| |题型归纳|5类题型（每类含典例+3变式）|规则图形用公式、不规则用割补、动点分类讨论、规律探究枚举归纳、变换问题抓周期|从静态计算到动态探究，从图形面积到坐标规律，层层递进| |压轴挑战|13道综合题|融合面积倍数、动态变换、规律周期等复杂情境|对接中考压轴考法，强化数学思维与应用意识|

专题02 坐标系内图形面积与规律探究压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、规则图形面积（边平行坐标轴） 题型二、不规则多边形割补法（期末主流压轴） 题型三、动点存在性压轴（面积倍数+动态面积） 题型四、坐标规律探究 题型五、对称/平移循环变换规律 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 方法一：直接公式法（最简，适配特殊图形） 适用条件：三角形、四边形有一条边平行于x轴或y轴，底边长度可直接计算，高为竖直/水平垂直距离。 解题步骤： 1.计算平行于坐标轴的底边长； 2.确定第三个顶点对应垂直高度； 3.代入面积公式求解。 例题：已知，求 解：AB平行x轴，底，高为，。 方法二：割补法（通用，不规则图形首选） 核心思想：将不规则图形包围在矩形内，用矩形总面积减去四周空白直角三角形、直角梯形的面积，剩余面积即为所求。 解题步骤： 1.提取所有顶点横、纵坐标的最大值和最小值，确定包围矩形； 2.计算包围矩形的总面积； 3.逐一计算图形外侧所有空白规则图形面积； 4.整体减空白，得到目标图形面积。 例题：已知，求三角形面积 解：横坐标范围1~3，纵坐标范围1~4，包围矩形面积；减去三个外围直角三角形面积，得。 方法三：铅垂高法（三角形万能公式，考场提速首选） 核心公式： 水平宽：三角形最左侧与最右侧顶点横坐标差值（）； 铅垂高：水平宽区间内，三角形上下顶点的最大纵坐标差值。 优势：适配平面内任意三角形，无需判断边是否平行坐标轴，计算步骤简洁，适合大题快速求解。 方法四：鞋带公式（多点多边形专用） 适用条件：已知多边形所有顶点坐标（三角形、四边形、五边形等），顶点按顺时针或逆时针依次有序排列。 核心公式：依次排列顶点，且 注意事项：顶点必须按图形环绕顺序排列，不可杂乱取值，结果取绝对值保证面积为正。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、规则图形面积（边平行坐标轴） 【典例1】．对于平面直角坐标系中的点A，给出如下定义：若存在点（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点，当线段的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形的面积为点A的等距面积例如：如图，点，点，因为，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为． (1)点A的坐标是，在点，，中，点A的等距点为___________． (2)点A的坐标是，点A的等距点B在第四象限， ①若点B的坐标是，求此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】不等式的解集、求点到坐标轴的距离、坐标与图形综合 【分析】（1）根据材料提示的等距点的计算方法，结合图形即可求解； （2）①根据题意作图，结合面积的计算即可求解； ②根据图形，结合题意及①的计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵，则， ∴点是点的等距点， ∵，则， ∴点是点的等距点， ∵点的纵坐标相等，即轴， ∴点不是点的等距点； 故答案是：； （2）解：①如图所示，，轴，轴，点是点的等距点， ∴，， ∴， ∴点A的等距面积为； ②∵点A的等距点B在第四象限， ∴点B的横坐标， 如图所示，设过点A平行于x轴的直线交y轴于点E，点C关于点A的对称点， 当点在线段上（不与点E重合）时，，， ∴，即， ∴当时，点A的等距面积不小于； 当点在点C右边时，， ∴当时，点A的等距面积不小于； 综上，点B的横坐标t的取值范围为：或． 题型模版 1.题型特征：三角形、矩形、梯形等规则图形，有边平行于x轴或y轴，可直接确定垂直的底和高，是面积计算的基础题型。 2.易错点：忽略坐标正负，计算线段长度未加绝对值，出现负数边长。 【变式1-1】．在单位长度为的网格坐标系中，四边形的顶点落在格点上．解答下列问题： (1)请写出，，，的坐标； ：_______，：_______，：_______，：_______． (2)将四边形各顶点的横、纵坐标都乘以，得到新四边形，请在网格坐标系中画出四边形； (3)若四边形和四边形的面积分别为，，请直接写出，之间的数量关系_______． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据图形即可解答； （2）得到，，，的坐标，再画出图形即可； （3）分别计算面积，再得到关系即可． 【详解】（1）解：根据图形可得，，，； （2）解：将四边形各顶点的横、纵坐标都乘以， 可得，，，， 作图略； （3）解：， ， ． 【变式1-2】．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标为，，，其中，，满足，． (1)求，，的值； (2)若在轴上，且，求点坐标； (3)如果在第二象限内有一点，在什么取值范围时，的面积不大于的面积？求出在符合条件下，面积最大值时点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)或 (3)的范围；的坐标是． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、加减消元法、不等式的性质、求不等式组的解集、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据乘方、算术平方根的性质，通过列二元一次方程组并求解，得a和b的值；根据绝对值的性质，列一元一次方程并求解，从而得到答案； （2）设，根据题意列方程，结合绝对值的性质求解，得的值；再根据坐标的性质分析，即可得到答案 （3）在第二象限以及的面积不大于的面积，通过列一元一次不等式并求解，即可得到m的范围，再根据的范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点A，，的坐标为，，， ∴轴，， ∴， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∵在第二象限， ∴，即， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴的范围为， ∵，， ∴， ∴的最大值为6， 此时， ∴的坐标是． 【变式1-3】．如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8，6 (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可据此求出m、n的值． （2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P的运动路径分两种情况：P在上、P在上，分别确定不同时间段t的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出的面积S． （3）针对不同阶段的S的表达式，分别令，求解对应的t值，再根据t的取值范围判断解是否有效，进而求出对应P点的坐标． 【详解】（1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：，， ∴， 解得，． （2）解：，，点运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点在上（）：，的底为，高为的纵坐标， ∴ ②当点在上（）：坐标为， 长方形面积减去周围三个三角形面积， 可得： ． 综上，． （3）解：存在，点的坐标为或，推导如下： 若，令， 解得，符合范围， 此时； 若，令， 解得，符合范围， 此时． 题型二、不规则多边形割补法（期末主流压轴） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，.将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到. (1)请在图中画出； (2)求的面积． 【答案】(1)图见详解 (2)5 【知识点】由平移方式确定点的坐标、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查平移与坐标，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移方式得到点A、B、C的对应点，然后问题可求解； （2）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如图可得： ∴ ． 题型模版 1.过图形顶点作x轴、y轴垂线，将不规则图形分割为多个直角三角形、矩形、梯形，分别计算各部分面积后求和，适合四边形及以上多边形。 【变式2-1】．已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S三角形ABC=____. 【答案】2.5 【知识点】坐标与图形 【分析】利用直角坐标系及割补法即可求解. 【详解】解析:根据平面直角坐标系中各个点的坐标,可以确定各条线段的长,从而可求出三角形的面积. S三角形ABC=S三角形AEC- S三角形ADB- S梯形DECB =AE·CE-AD·BD-DE·(CE+BD) =×5×5-×3×2-×2×(5+2) =-3-7 ==2.5. 【点睛】此题主要考查直角坐标系的面积求解，解题的关键是熟知坐标点的含义及割补法的应用. 【变式2-2】．阅读以下材料，并解决问题： 小明遇到一个问题：在平面直角坐标系中，点，，求的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则 解决问题后小明又思考，如果将问题一般化，是否会有好的结论，于是它首先研究了点，在第一象限内的一种情形：如图，点，，其中， （1）请你帮助小明求出这种情形下的面积．（用含，，，的式子表示） （2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点，（点，，不共线）与坐标原点构成的三角形的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点，在第一象限内，探究是否存在点，使得对于任意的，都有？若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，. 【知识点】坐标与图形 【分析】(1)把点的坐标转化成对应线段的长，按照图形面积的分割方式，代入化简即可； (2)把坐标代入（1）中的结论中，计算，是否存在b值，存在，说明有这样的点B，反之，没有. 【详解】（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则 . （2）根据（1）的结论，得 ， 即，点在第一象限， ， 故存在这样的点B，且为. 【点睛】本题考查了坐标系中图形面积的计算，通过分解坐标，把点的坐标转化为对应线段的长，适当分割图形是计算面积的关键. 【变式2-3】．【项目式学习】 【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？ 【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习． 任务一：查阅资料 小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材： 素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ． 素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为； 任务二：特例验证 （1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为； 任务二：迁移推广 小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等， 例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积， （2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积 任务三：实践应用 （3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标． 【答案】（1）5，，；（2），，；（3）C的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求一次函数自变量或函数值、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、坐标与图形 【分析】（1）由题意知，，E点坐标为；根据，作答即可； （2）如图，由平移可得A的对应点，B的对应点；由旋转可求，根据，计算求解即可； （3）设，当平移到，A的对应点为，B的对应点为，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， E点坐标为； ， 故答案为：5，，； （2）解：如图， ∵， ∴点C平移至原点，即向右平移2个单位，再向下平移2个单位， ∴A的对应点，B的对应点； ∵ 旋转变换到原点O， ∴旋转中点为的中点， ∴的中点也为， ∴， ∴， 故答案为：，，； （3）解：设， 当平移到， ∴A的对应点为，B的对应点为， ∴， 整理得，， 解得，或， ∴C的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数等知识．熟练掌握坐标与图形，点坐标的平移，中心对称的性质，一次函数是解题的关键． 题型三、动点存在性压轴（面积倍数+动态面积） 【典例3】．乌江寨灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)如图1，为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达A点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，， ， 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平方数、算术平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式． （1）根据平方数与算术平方根的非负性，可得，，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可得出点A坐标； （2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入即可求解； （3）由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解， 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵桥长20米，为坐标原点， ∴， 故答案为：；；． （2）解：设检修工人走了t秒，如图，   ， ， 当时，，解得， 故答案为：； （3）解：存在；如图2，   ，， ， 又， ， 又， ， ， 若为定值，则与t无关， ， ，此时，， 故存在， ． 题型模版 1.核心易错点：坐标轴上动点有左右、上下两种位置，极易漏解，必须全程分类讨论。 【变式3-1】．如图：点以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，问： (1)若同时点以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，何时点A、B与原点的距离相等？ (2)若点A仍从以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，同时点与点形成的线段以每秒3个单位的速度水平移动（每次移动的方向固定），何时线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍？ 【答案】(1)4秒或秒 (2)2秒 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，点的平移的坐标变化，坐标与图形，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）当运动t秒时，则，，根据列出方程，求解即可； （2）设运动t秒，点A，B，C分别运动至点，，．则，，，表示出和平行四边形的面积，进而列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：当运动t秒时， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴当运动4秒或秒时，点A、B与原点的距离相等． （2）解：设运动t秒，点A，B，C分别运动至点，，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得（舍去）或． ∴当运动2秒时，线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍． 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 【变式3-3】．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、绝对值非负性、坐标系中的平移 【分析】（）根据非负数的性质解答即可； （）由题意得，，再分点在上和点在的延长线上两种情况解答即可； （）设点，由平移的性质得，过点作轴于，可得，，进而得到，即得到，再根据得，解方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，轴于，轴于， ∴，， 由题意得，，， 当点在上，即时，则， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在的延长线上，即时，则， ∴， ， ∵， ∴， 解得； 综上，当时，的取值范围为或； （3）解：设点，则， ∵，， ∴由平移的性质得，， 过点作轴于，如图， 则，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四、坐标规律探究 【典例4】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解题的关键是注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的所在象限及符号．观察图形可知，点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的．，用2026除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的． ， ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为：． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)； 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； 题型模版 1.枚举前3-5组坐标→拆分横、纵坐标单独分析→判断规律类型（周期/奇偶/分层）→推导通项或余数求解 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：对于点，根据题意可知，当为偶数时，该点的横坐标为，纵坐标为． 所以，点的坐标为． 故选：A 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 12 或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“完美点”定义，求出点A的一对“完美点”的坐标，利用重合条件列方程求解； （2）根据“完美点”的定义可得或，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 题型五、对称/平移循环变换规律 【典例7】．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B(4，2)，C(3，5)，请回答下列问题： （1）写出关于x轴的对称图形的顶点坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得； （2）如图（见解析），利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数 ； （2） 则 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化等知识点，掌握点坐标关于x轴对称的变换规律是解题关键． 【典例8】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 【答案】(1) 如图，即为所求， 3 (2) 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、平移(作图)、点坐标规律探索、利用网格求三角形面积 【分析】该题考查了平移作图，点坐标规律探究，三角形面积计算，解题的关键是找到点的规律 （1）根据平移的性质的画图即可得出，再根据围成的矩形的面积减去三个三角形的面积即可求出的面积． （2）根据题意得出，，根据规律解答即可． 【详解】（1）解：的面积． 故答案为：； （2）解：根据题意得出， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型模版 1.题型特征 点依次关于x轴、y轴、原点、直线对称，或按固定方向平移循环变换。 2.核心结论 常规对称变换周期为4，连续4次循环变换后，点回到原始位置；通过变换次数÷4的余数判断最终坐标。 【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【详解】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 【变式5-2】．（24-25八年级上·安徽池州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意一点，存在非实数，构造点的坐标，则称点是点的“倍纠缠点”．例如：点的“倍纠缠点”是点，即． (1)原点的“倍纠缠点”的坐标为_________，的“倍纠缠点”的坐标为_________； (2)若点的“倍纠缠点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到了点，点的“倍纠缠点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系下的点的变换和平移，纠缠点的定义，熟练掌握变换规律是解题的关键． （1）根据纠缠点的计算方法进行计算即可． （2）逆用纠缠点的计算方法进行计算即可． （3）先根据平移规律得到平移后的坐标，再根据纠缠点的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵原点的坐标为， ∴原点的“倍纠缠点”的坐标为，即， ∵的“倍纠缠点”的坐标为， ∴的“倍纠缠点”的坐标为， 故答案为：，． （2）解：设点的坐标为， ∴它的“倍纠缠点”的坐标为， ∵点的“倍纠缠点”的坐标为 ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，得点的坐标为， 即， ∵点是点的“倍纠缠点”， ∴点的坐标为， 即， 又∵点位于轴上， ∴， 解得：， 则， ∴点的坐标为． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标、坐标系中的平移、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）设交轴于，作轴于，根据的面积等于和梯形的面积和，求出点坐标，根据割补法，用点坐标表示出和的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 平移到向下平移了， 到向下平移了， ； （2）解：，，， ， 设交轴于，作轴于，如图： 设， ， ， 解得：， ， 设， ，， ， 当或时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或； （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0列方程求出m的值，再代入计算纵坐标，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标． 【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段， ∴点在上的对应点的坐标为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键． 先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解． 【详解】解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点， 第二次向右平移1个单位长度至点， 第三次向上平移1个单位长度至点， 第四次向右平移1个单位长度至点， 可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度． 是偶数，所以是经过次平移得到的， 由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为； 又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为； ． 故选D． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，任意一点与轴的距离是横坐标的绝对值．点A与点B在同一条平行于x轴的直线上，因此点B的纵坐标与点A的纵坐标相同；点B与点A相距4个单位长度，即横坐标之差的绝对值为4，从而求解点B的横坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴． ∵点B与点A相距4个单位长度， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 二、填空题 6．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 7．如图，已知，，，，，，，，…，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， ∴是第 675 组的第一个坐标， 故． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可． 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， ∴位置是A种瓷砖， 故答案为：A． 3、 解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3)4 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，然后问题可求解； （2）由（1）可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度 （2）解：由（1）可知：点的坐标为； 故答案为； （3）解：由图可知：． 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)通过平移，使移动到原点的位置，并记为，画出平移后的． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】本题主要考查了利用平移变换和轴对称变换作图，根据网格结构作出对应点的位置解题的关键． （1）根据轴对称的性质得到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点，即可求解 11．如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律． （1）根据坐标系即可求解； （2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可； （3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得． 【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，； （2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2， ， ，，； （3）解：由题可知时，，时，，时，，…， 可得． 12．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据三角形外角平分线和三角形内角和定理进行求解即可； （3）按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解之得：． ． （2）解：如图， 平分平分， ， ， ， ， ， ∴， 即， 在中，， ， ， ， ； （3）解：根据题意得， ∵， ∴， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， 解得， 当时，点在线段上，点在线段上， 如图， ， ， 解得， 综上，当或时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的. 【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握非负数性质，一元一次方程的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，矩形性质，三角形、矩形面积公式，是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标； （2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标系内图形面积与规律探究压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、规则图形面积（边平行坐标轴） 题型二、不规则多边形割补法（期末主流压轴） 题型三、动点存在性压轴（面积倍数+动态面积） 题型四、坐标规律探究 题型五、对称/平移循环变换规律 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 方法一：直接公式法（最简，适配特殊图形） 适用条件：三角形、四边形有一条边平行于x轴或y轴，底边长度可直接计算，高为竖直/水平垂直距离。 解题步骤： 1.计算平行于坐标轴的底边长； 2.确定第三个顶点对应垂直高度； 3.代入面积公式求解。 例题：已知，求 解：AB平行x轴，底，高为，。 方法二：割补法（通用，不规则图形首选） 核心思想：将不规则图形包围在矩形内，用矩形总面积减去四周空白直角三角形、直角梯形的面积，剩余面积即为所求。 解题步骤： 1.提取所有顶点横、纵坐标的最大值和最小值，确定包围矩形； 2.计算包围矩形的总面积； 3.逐一计算图形外侧所有空白规则图形面积； 4.整体减空白，得到目标图形面积。 例题：已知，求三角形面积 解：横坐标范围1~3，纵坐标范围1~4，包围矩形面积；减去三个外围直角三角形面积，得。 方法三：铅垂高法（三角形万能公式，考场提速首选） 核心公式： 水平宽：三角形最左侧与最右侧顶点横坐标差值（）； 铅垂高：水平宽区间内，三角形上下顶点的最大纵坐标差值。 优势：适配平面内任意三角形，无需判断边是否平行坐标轴，计算步骤简洁，适合大题快速求解。 方法四：鞋带公式（多点多边形专用） 适用条件：已知多边形所有顶点坐标（三角形、四边形、五边形等），顶点按顺时针或逆时针依次有序排列。 核心公式：依次排列顶点，且 注意事项：顶点必须按图形环绕顺序排列，不可杂乱取值，结果取绝对值保证面积为正。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、规则图形面积（边平行坐标轴） 【典例1】．对于平面直角坐标系中的点A，给出如下定义：若存在点（不与点A重合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点A作直线轴，过点B作直线轴，直线m，n相交于点，当线段的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形的面积为点A的等距面积例如：如图，点，点，因为，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为． (1)点A的坐标是，在点，，中，点A的等距点为___________． (2)点A的坐标是，点A的等距点B在第四象限， ①若点B的坐标是，求此时点A的等距面积； ②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围． 题型模版 1.题型特征：三角形、矩形、梯形等规则图形，有边平行于x轴或y轴，可直接确定垂直的底和高，是面积计算的基础题型。 2.易错点：忽略坐标正负，计算线段长度未加绝对值，出现负数边长。 【变式1-1】．在单位长度为的网格坐标系中，四边形的顶点落在格点上．解答下列问题： (1)请写出，，，的坐标； ：_______，：_______，：_______，：_______． (2)将四边形各顶点的横、纵坐标都乘以，得到新四边形，请在网格坐标系中画出四边形； (3)若四边形和四边形的面积分别为，，请直接写出，之间的数量关系_______． 【变式1-2】．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标为，，，其中，，满足，． (1)求，，的值； (2)若在轴上，且，求点坐标； (3)如果在第二象限内有一点，在什么取值范围时，的面积不大于的面积？求出在符合条件下，面积最大值时点的坐标． 【变式1-3】．如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． (1)填空：_____，_____； (2)求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； (3)是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二、不规则多边形割补法（期末主流压轴） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，.将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到. (1)请在图中画出； (2)求的面积． 题型模版 1.过图形顶点作x轴、y轴垂线，将不规则图形分割为多个直角三角形、矩形、梯形，分别计算各部分面积后求和，适合四边形及以上多边形。 【变式2-1】．已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S三角形ABC=____. 【变式2-2】．阅读以下材料，并解决问题： 小明遇到一个问题：在平面直角坐标系中，点，，求的面积．小明用割补法解决了此问题，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则 解决问题后小明又思考，如果将问题一般化，是否会有好的结论，于是它首先研究了点，在第一象限内的一种情形：如图，点，，其中， （1）请你帮助小明求出这种情形下的面积．（用含，，，的式子表示） （2）小明继续研究发现，只要将（1）中求得的式子再取绝对值就可以得到第一象限内任意两点，（点，，不共线）与坐标原点构成的三角形的面积公式，请利用此公式解决问题：已知点，在第一象限内，探究是否存在点，使得对于任意的，都有？若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由． 【变式2-3】．【项目式学习】 【项目主题】如何快速计算出平面直角坐标系中三个不共线的点围成的三角形的面积？ 【项目背景】已知平面直角坐标系中任意三个不共线的点的坐标，如何快速计算出其围成的三角形的面积？八年级数学学习小组围绕这一问题，进行了项目式学习． 任务一：查阅资料 小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材： 素材一：把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换． 因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的，几何变换中最基础的一类是全等变换、全等变换的基本形式有：平移、旋转、轴对称．全等变换前后的两个几何图形是全等形 ． 素材二：在平面直角坐标系中，若已知，则的面积可以表示为； 任务二：特例验证 （1）小组成员根据素材二中的公式，很快计算出点， 点与原点O 构成的三角形面积 ① ，并且利用割补法探究了素材二中公式的证明过程：如图，因为三角形的面积不因为坐标系的位置变化而改变，所以不妨假设都在第一象限，且，．过点A作x轴的平行线l，交y轴 于C点，过点B 作y轴的平行线m，交x轴于D点，I与m交于点E，则E点坐标为 ② 因为与与是直角三角形，四边形是矩形，所以整理得，由于位置可以互换，所以的面积可以统一表示为； 任务二：迁移推广 小组成员经过思考发现：当三角形的三个顶点都不是原点时，可以通过全等变换，使得某一 个顶点变换到原点，从而可以继续利用素材二中公式进行计算，根据素材一的知识，可知变换后的新三角形的面积与原三角形的面积相等， 例如：已知，可将进行平移变换，使得点C平移至原点，A的对应点为，B的对应点为，从而计算出的面积；也可以通过旋转变换的方法，将绕某一点旋转，使得点C 变换到原点O，A的对应点为，B的对应点为，从而也可以计算出的面积， （2）经过画图分析，可知的坐标为 的坐标为 ，的面积 任务三：实践应用 （3）已知，C是直线上的动点，当的面积为3时，求C点坐标． 题型三、动点存在性压轴（面积倍数+动态面积） 【典例3】．乌江寨灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足． (1)填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）； (2)如图1，为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达A点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍； (3)如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.核心易错点：坐标轴上动点有左右、上下两种位置，极易漏解，必须全程分类讨论。 【变式3-1】．如图：点以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，问： (1)若同时点以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，何时点A、B与原点的距离相等？ (2)若点A仍从以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，同时点与点形成的线段以每秒3个单位的速度水平移动（每次移动的方向固定），何时线段水平移动所扫过的平行四边形的面积为的面积的2倍？ 【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且满足． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负方向运动，设运动时间为，当时，求的取值范围； (3)如图，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为（在第三象限），连接交轴于点，当时，求点的坐标． 题型四、坐标规律探究 【典例4】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【典例6】．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2) 在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 题型模版 1.枚举前3-5组坐标→拆分横、纵坐标单独分析→判断规律类型（周期/奇偶/分层）→推导通项或余数求解 【变式4-1】．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，点，点，点，点按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 题型五、对称/平移循环变换规律 【典例7】．如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A (1，4)，B(4，2)，C(3，5)，请回答下列问题： （1）写出关于x轴的对称图形的顶点坐标． （2）求的面积． 【典例8】．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示平面直角坐标系，原点O、的顶点都在小正方形的顶点上． (1)将向右平移，得到，使得点的坐标为，在图中画出，并写出的面积：______． (2)将向右平移，得到，继续将向右平移，得到，……使得点，，……的坐标分别为，，……，则点的坐标为______． 题型模版 1.题型特征 点依次关于x轴、y轴、原点、直线对称，或按固定方向平移循环变换。 2.核心结论 常规对称变换周期为4，连续4次循环变换后，点回到原始位置；通过变换次数÷4的余数判断最终坐标。 【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【变式5-2】．（24-25八年级上·安徽池州·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意一点，存在非实数，构造点的坐标，则称点是点的“倍纠缠点”．例如：点的“倍纠缠点”是点，即． (1)原点的“倍纠缠点”的坐标为_________，的“倍纠缠点”的坐标为_________； (2)若点的“倍纠缠点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到了点，点的“倍纠缠点”位于轴上，求点的坐标． 【变式5-3】．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段平移得线段，点对应点，点对应点，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)如图，点是轴上的一个动点，当三角形面积是三角形的面积的一半时，求点的坐标； (3)如图，若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比是：，运动过程中直线和交于点，若三角形的面积等于，求出点的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则______． 7．如图，已知，，，，，，，，…，则点的坐标是______． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)通过平移，使移动到原点的位置，并记为，画出平移后的． 11．如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 12．如图1，已知，，满足，，分别为轴，轴正半轴上的点，且在右边，在A上方，． (1)求，两点的坐标． (2)如图1，作和的角平分线交于点，试求的值． (3)如图2，以、为邻边作长方形，有一动点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时两点同时停止运动，设运动时间为，求为何值时，以、、、为顶点的图形的面积恰为长方形面积的？ 13．在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $