专题01 坐标特征分类讨论压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以坐标特征分类讨论为核心，构建“通法-题型-挑战”三阶训练体系，提炼坐标轴、距离、对称问题的解题模型，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3类通法|坐标轴特征列等式、距离绝对值处理、对称变换规则|从概念原理到步骤规范，形成问题解决框架| |题型归纳|4题型（含典例+变式）|分类讨论技巧（如双轴分类、象限筛选）、符号速记口诀|从单一知识点到综合应用，逐步提升复杂度| |压轴挑战|选择+填空+解答（16题）|新定义问题转化（如“长距”“等差点”）|对接中考命题趋势，强化模型意识与创新思维|

专题01 坐标特征分类讨论压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标轴上的点分类讨论问题 题型二、点到坐标轴距离的多解分类讨论（最高频压轴） 题型三、坐标对称类参数求值+分类讨论 题型四、综合压轴大题（坐标轴+距离+对称混合分类） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 解题通法 ① 依据坐标轴特征列等式：（y轴）或 （x轴）； ② 解方程求出参数的值； ③ 回代检验，排除无意义、矛盾的解； ④ 严格区分三类设问： 轴上、 轴上、坐标轴上（双轴包含）。 2. 解题通法 已知点 到坐标轴的距离： ① 到 轴距离 或 （两解）； ② 到 轴距离 或 （两解）； ③ 横纵坐标条件联立，无限制条件时最多可组合出 4组坐标解； ④ 存在象限、位置限制时，筛选剔除不合理解。 3. 解题通法 ① 熟记三类对称坐标变换规则； ② 根据对称关系，对应横、纵坐标分别建立等式； ③ 题干未指定对称轴时，必须分：关于x轴、y轴、原点对称三类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中点的坐标分类讨论问题 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，且点在坐标轴上，求出点的坐标． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点在坐标轴上的性质，当点在轴上，则纵坐标为；当点在轴上，则横坐标为，进行解答，即可． 【详解】解：∵点的坐标是，且点在坐标轴上 ∴当点在轴上，则纵坐标为 ∴， 解得：， ∴的坐标是； 当点在轴上，则横坐标为， ∴， 解得：， ∴的坐标是； 故答案为：或． 题型模版 解题技巧 ① 题干仅表述“坐标轴上”，必须分 x 轴、y 轴两类讨论，不可漏解； ② 参数求解后务必回代，验证坐标是否符合题意。 【变式1-1】．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）若点与点在同一条平行于轴的直线上，且，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】考查图形与坐标，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，难点在于要分类讨论． 根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出，再根据求出，然后写出点N的坐标即可． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴ ∵ ∴ 或 ∴点N的坐标为或． 故选C 【变式1-2】．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）在10×10网格中，小正方形的边长为1个单位长度． 如图，点，点的坐标分别为，点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是 ． 【详解】（1）解：如图所示， 设 ∵是直角三角形的斜边，且 ∴ 即 解得：或 ∴点的坐标是或 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)求三角形的面积； (2)若点是坐标轴上的点，且三角形的面积为，求符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)符合条件的点有四个，其坐标分别是，，，． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、三角形的面积，能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积，分类讨论思想是解题的关键． （）求出，，然后利用三角形面积公式即可求解； （）分点在轴上和点在轴上两种情况分析即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，三点， ∴，， ∴； （2）解：若点在轴上，设其坐标为，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 若点在轴上，设其坐标为，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∴符合条件的点有四个，其坐标分别是，，，． 题型二、点到坐标轴距离的多解分类讨论（最高频压轴） 【典例2】．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)2 (2)或 (3) 解：∵点的长距为4，且点C在第四象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“完美点”． 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为2． （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或. 题型模版 解题技巧 ① 看到“距离”优先加绝对值，杜绝直接取正数的惯性思维； ② 无象限限制时，横纵坐标正负自由组合，不遗漏任何组合解； ③ 象限符号速记：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。 【变式2-1】．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点、，所连线段的中点是，则的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于________． 【答案】2或6 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了坐标轴上点坐标的特征，根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点在轴的负半轴上时和当点在轴的负正轴上时，利用中点坐标列方程即可求解，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：依题意得：点的横坐标为：，纵坐标为：， 由点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， 则当点在轴的负半轴上时： ， 解得：， ， 当点在轴的负正轴上时： ， 解得：， ， 综上所述，的值等于2或6， 故答案为：2或6． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴、轴的距离相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，主要利用了y轴上的点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解； （2）根据平行于y轴的点的横坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解． （3）根据点到坐标轴的距离相等列式计算即可得解． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得． ． 点的坐标为； （2）解：轴， 点，的横坐标相同． ，解得． ． 点的坐标为； （3）解：点到轴、轴的距离相等， ． 或， 解得或． 当时，，， 点的坐标为； 当时，，， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． （1）在点中，到坐标原点O的“极大距离”是2的点是___________．（填写所有正确的字母代号） （2）已知点，O为坐标原点，则a的值为___________． 【答案】 C，D，F 或 【知识点】新定义下的实数运算、坐标与图形综合 【分析】本题考查了新定义的应用以及平面直角坐标系，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“极大距离”的定义进行列式作答即可； （2）结合“极大距离”的定义，且点，注意进行分类讨论，即可列式作答． 【详解】解：（1）点， ∴横坐标差绝对值： 纵坐标差绝对值： 因为，所以； 点， ∴横坐标差绝对值： 纵坐标差绝对值： ， ， 点， ∴横坐标差绝对值： 纵坐标差绝对值：， ， 点； ∴横坐标差绝对值： 纵坐标差绝对值： ， ， 满足“极大距离”是2的点是：C、D、F， 故答案为：C，D，F； （2），原点， 横坐标差绝对值： 纵坐标差绝对值： 由于 显然： 除非，但此时距离为， 所以恒有， 根据定义，， ， 或 解得：或． 故答案为：或． 题型三、坐标对称类参数求值+分类讨论 【典例3】．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移、坐标系中的对称 【分析】（1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 题型模版 解题技巧 对称速记口诀：x轴对称y变号，y轴对称x变号，原点对称全都变；无指定对称轴，必须三分类。 【变式3-1】．如图，已知和关于轴对称，且点的坐标为，点是网格内一点，且直线轴． (1)请在网格中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标：___________； (2)求点的坐标，并在图中标出点； (3)连接，点在轴上，且与的面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】(1) 解：如图， 点的坐标为； (2)，在图中表示为： (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积、坐标系中的对称 【分析】本题考查了坐标与图形，写出点的坐标，掌握轴对称的性质、数形结合是解题的关键． （1）根据已知坐标确定原点的位置，然后画出平面直角坐标系，写出点C的坐标即可求解； （2）结合（1）中的坐标可求出，即可求解； （3）设，根据与的面积相等，构建关于y的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是网格内一点，且直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图， 设， ∵与的面积相等， ∴， 解得或0， ∴M的坐标为或， 故答案为：或． 【变式3-2】．在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上如图所示． (1)若与关于y轴对称，在图中的平面直角坐标系中画出，并写出点B的对应点坐标为_____． (2)若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标系中的对称 【分析】（1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，画出，并写出点坐标即可； （2）利用平行四边形的性质和平移的性质得出D点坐标即可． 【详解】（1）略； （2）解：平行四边形两组对边平行且相等，对应线段平移规律一致，分三种情况讨论： 解：，，，平行四边形对边平行且相等，平移变化分三类对角线讨论： ① 对角线为、， 点向右平移个单位、向下平移个单位得到点， 将点向右平移个单位、向下平移个单位得到， ， ； ② 对角线为、， 点向右平移个单位、向下平移个单位得到点， 将点向左平移个单位、向上平移个单位得到， ，， ； ③ 对角线为、， 点向右平移个单位、向上平移个单位得到点， 将点向右平移个单位、向上平移个单位得到， ， ； 综上，符合条件的点坐标为或或． 【变式3-3】．（2024八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标：__________； （2）点与点Q关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称，若，则点P的坐标为_________． 【答案】（1）见解析，；（2）或 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用两点距离公式构建方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求．点的坐标． 故答案为：． （2）由题意， 解得或， ∴或． 故答案为：或． 题型四、综合压轴大题 【典例4】．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 【答案】 （4，2） 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据纵变点的定义解答即可； （2）根据纵变点的定义分两种情况讨论分别得出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵a=4>3， ∴=b-1=3-1=2， ∴点（4，3）的纵变点是（4，2） 故答案为：（4，2）． （2）∵ ①当a≤3时，， ∴ 解得：； ②当时，， ∴， ∴无解 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知 (1)当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值； (2)若点在坐标轴上，求点到原点的距离． 【答案】(1)，当时，原式 (2)2 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的a的值可以为， ∴此时原式； （2）解：当点在x轴上时，则， ∴，符合题意 ∴， ∴， ∴，即点A到原点的距离为2； 当点在y轴上时，则， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴，即点A到原点的距离为2； 综上所述，点A到原点的距离为2． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标、绝对值非负性 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、坐标与图形综合 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求得a、b的值即可求解； （2）连接，设，由，结合坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得，设，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图，连接，设， ∵，，且， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴． 设， ∵三角形的面积和三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 【答案】B 【详解】解：由题意可知， 当，即时，点A在点B的左侧， 则． 又因为轴，且，， 所以， 解得或3． 当时，点C与点A重合，故舍去； 当，即时，点A在点B的右侧， 此时点C不在线段上， 故此情况不存在， 综上所述，m的值为3． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 3．若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为______； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 【答案】 或 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离、整式加减的应用 【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义， （1）依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）点的“阶和谐点”到x轴的距离为7，即可得到关于t的方程，进而得到t的值． 【详解】解：（1）点的“3阶和谐点”的坐标为， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）∵点， ，． ∴点C的“阶和谐点”为， ∵点的“阶和谐点”到x轴的距离为7， ∴， ∴或． 解得 或 ． 故答案为：或． 5．下列说法：在平面直角坐标系中，①已知点．若轴，轴，则点坐标为；②若点在第三象限，那么点在第一象限；③若点坐标为，可过点做轴平行线；④已知点坐标为，则点到轴距离为，到轴距离为；⑤若点到两坐标轴距离相等，距离为，则或；正确的是__________． 【答案】① 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征、平行线的性质、点到坐标轴的距离定义，逐一判断每个说法的正误，筛选出正确的结论． 【详解】解：①轴， ， 轴， ， ，故①正确． ②在第三象限， ， 异号， ， 在第二或第四象限，故②错误． ③在轴上， 过点无法作出与轴平行的直线，故③错误． ④， 点到轴的距离， ∴点K到y轴的距离，故④错误． ⑤点到两坐标轴距离均为， ， 或或或，故⑤错误． 综上，只有①正确， 三、解答题 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P到y轴的距离等于2，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，正确分情况讨论是解题关键． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0可得，解之可得； （2）根据点P到y轴的距离为2，可得，可求出m值． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得 即或， 解得或． 7．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)当点到两坐标轴的距离相等时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的特征，纵坐标为0列方程求出的值，即可得解； （2）根据点到两坐标轴的距离相等可得点的横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解的值即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ，即点的坐标为； （2）解：根据题意，得， 所以或， 解得或． 8.平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； (3)如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 【详解】（1）解：，轴于点， ，且轴， ， ∵， ； （2）解：如图所示，过点B作轴于点E，连接， ∵，轴 ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段上的一点， ∴点G的纵坐标是非负数， ∴； （3）解：由题意得： ； ∵线段与轴交于点， ∴， 解得， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 9．对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到（）称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． (1)若将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段． ①若线段与轴有公共点，求的取值范围； ②以点，，为顶点的三角形面积为5，求的值． 【详解】（1）解：∵将点进行“1型平移”后的对应点为点， ∴点的坐标为，即； （2）解：①∵线段进行“型平移”后得到线段，点，， ∴， ∵线段与轴有公共点， ∴，解得：； ②根据题意得：， ∴，轴， ∴点O到的距离为， ∵以点，，为顶点的三角形面积为5， ∴， 解得：或7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标特征分类讨论压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标轴上的点分类讨论问题 题型二、点到坐标轴距离的多解分类讨论（最高频压轴） 题型三、坐标对称类参数求值+分类讨论 题型四、综合压轴大题（坐标轴+距离+对称混合分类） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 解题通法 ① 依据坐标轴特征列等式：（y轴）或 （x轴）； ② 解方程求出参数的值； ③ 回代检验，排除无意义、矛盾的解； ④ 严格区分三类设问： 轴上、 轴上、坐标轴上（双轴包含）。 2. 解题通法 已知点 到坐标轴的距离： ① 到 轴距离 或 （两解）； ② 到 轴距离 或 （两解）； ③ 横纵坐标条件联立，无限制条件时最多可组合出 4组坐标解； ④ 存在象限、位置限制时，筛选剔除不合理解。 3. 解题通法 ① 熟记三类对称坐标变换规则； ② 根据对称关系，对应横、纵坐标分别建立等式； ③ 题干未指定对称轴时，必须分：关于x轴、y轴、原点对称三类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、坐标系中点的坐标分类讨论问题 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，且点在坐标轴上，求出点的坐标． 题型模版 解题技巧 ① 题干仅表述“坐标轴上”，必须分 x 轴、y 轴两类讨论，不可漏解； ② 参数求解后务必回代，验证坐标是否符合题意。 【变式1-1】．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）若点与点在同一条平行于轴的直线上，且，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）在10×10网格中，小正方形的边长为1个单位长度． 如图，点，点的坐标分别为，点为轴上的一点，是以为斜边的直角三角形，在图中标出点，则点的坐标是 ． 【变式1-3】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)求三角形的面积； (2)若点是坐标轴上的点，且三角形的面积为，求符合条件的点的坐标． 题型二、点到坐标轴距离的多解分类讨论（最高频压轴） 【典例2】．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 题型模版 解题技巧 ① 看到“距离”优先加绝对值，杜绝直接取正数的惯性思维； ② 无象限限制时，横纵坐标正负自由组合，不遗漏任何组合解； ③ 象限符号速记：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)。 【变式2-1】．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点、，所连线段的中点是，则的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于________． 【变式2-2】．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴、轴的距离相等． 【变式2-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，对于两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”；若，则；若，则．例如：如图，点，则． （1）在点中，到坐标原点O的“极大距离”是2的点是___________．（填写所有正确的字母代号） （2）已知点，O为坐标原点，则a的值为___________． 题型三、坐标对称类参数求值+分类讨论 【典例3】．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 题型模版 解题技巧 对称速记口诀：x轴对称y变号，y轴对称x变号，原点对称全都变；无指定对称轴，必须三分类。 【变式3-1】．如图，已知和关于轴对称，且点的坐标为，点是网格内一点，且直线轴． (1)请在网格中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标：___________； (2)求点的坐标，并在图中标出点； (3)连接，点在轴上，且与的面积相等，则点的坐标为___________． 【变式3-2】．在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上如图所示． (1)若与关于y轴对称，在图中的平面直角坐标系中画出，并写出点B的对应点坐标为_____． (2)若在平面内存在一点D，使得以A、B、C、D四点组成的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 【变式3-3】．（2024八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并直接写出点的坐标：__________； （2）点与点Q关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称，若，则点P的坐标为_________． 题型四、综合压轴大题 【典例4】．对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的纵变点．例如：点（2，5）的纵变点是（2，6）．回答下列问题： （1）点（4，3）的纵变点是______； （2）若点满足，的纵变点为，且，则的取值范围是______． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知 (1)当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值； (2)若点在坐标轴上，求点到原点的距离． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点，点在线段上（不包括端点），轴，点，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．2或4 2．在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 3．若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为______； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为______． 5．下列说法：在平面直角坐标系中，①已知点．若轴，轴，则点坐标为；②若点在第三象限，那么点在第一象限；③若点坐标为，可过点做轴平行线；④已知点坐标为，则点到轴距离为，到轴距离为；⑤若点到两坐标轴距离相等，距离为，则或；正确的是__________． 三、解答题 6．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P到y轴的距离等于2，求m的值． 7．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）已知平面直角坐标系中一点； (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)当点到两坐标轴的距离相等时，求的值． 8.平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； (3)如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 9．对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到（）称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． (1)若将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________； (2)将线段进行“型平移”后得到线段． ①若线段与轴有公共点，求的取值范围； ②以点，，为顶点的三角形面积为5，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $