5.5.2 一次函数的简单应用 同步分层练习 2026-2027学年 浙教版八年级上册数学

**基本信息** 本同步练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以一次函数图像与性质为核心，从单一知识点应用到动态综合探究，培养几何直观、推理意识与创新能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|一次函数图像识别、与方程不等式关系、简单几何应用|以选择填空为主，如容器形状与函数图像匹配题，强化概念理解与运算能力| |能力提升|动态几何中的函数关系、含参数问题、面积综合应用|含动点面积函数图像题，结合分类讨论，发展推理意识与模型观念| |拓展创新|一次函数与几何图形综合探究、全等判定应用|以坐标系中三角形综合题呈现，需多知识点融合，培养创新意识与应用能力|

5.5.2 一次函数的简单应用 同步分层练习 一、夯实基础： 1． 如图选项中，有五种形状不同的容器，从容器口以均匀的速度倒入某溶液，若液面高度h 关于时间t的函数图象如图所示，则该容器的形状为(　　). A． B． C． D． E． 2．如图所示，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与轴交于点与，则不等式组的解为（　　） A． B． C． D．无解 3．如图，函数 和 的图象相交于点 ，则关于x的不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 5．如图，根据直线l1和l2的交点坐标，可以得到下列哪个方程组的解?(　　). A． B． C． D． 6．已知直线y=x+2与直线y=x-6相交于点P（-2，-3），则二元一次方程组的解是　 　. 7．在平面直角坐标系（O为坐标原点）中，若一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则在中，边上高的长度是　 　． 8．如图， 一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为　 　，关于x的不等式的解为　 　． 9．如图，等腰△ABC周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x． （1）求y关于x的函数表达式（不需要求自变量的取值范围） （2）当腰长时，求底边的长． 10．如图，一次函数的图象和y轴交于点B，与正比例函数图象交于点． （1）求m和n的值； （2）求的面积． （3）根据图像直接写出当时，x的取值范围． 二、能力提升： 11．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．如图，等腰，，点是的中点，点为线段上一动点，连结、．设，的面积为，若关于的函数表达式为，则的长度为（　　） A． B．5 C． D． 13．如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，下列图象中能表示的面积关于的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 14．已知一次函数在时总有，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 15．已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为　 　． 16． 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t(s)，△PAB的面积为y(cm2)，若y关于t的函数图象如图2所示，则长方形ABCD的面积为　 　. 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ． （1）求 的值及直线 的表达式； （2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。 18．在直角坐标系中，点在函数且的图象上. （1）若，求的值. （2）若，求的取值范围. （3）设函数，若，当时，求的取值范围. 三、拓展创新： 19．已知，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，B两点，直线交x轴于点C，D两点，已知点C为，D为． （1）求直线的解析式． （2）设与交于点E，试判断的形状，并说明理由． （3）点P，Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息 【解析】【解答】解：根据图象可得图象先平缓上升，接着上升较快，又平缓上升，最后一段是均匀上升，这说明容器底部较大，容器中部逐渐变小，后又逐渐变大，容器上部的大小是均匀的. 符合这一要求的只有C选项. 故答案为：C. 【分析】根据函数图象的到容器底面积的变化情况即可解答. 2．【答案】A 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系 【解析】【解答】解：由图象知，当时，直线在x轴下方，同时直线在x轴上方， ∴不等式组的解为， 故答案为：A． 【分析】根据直线与x轴的交点，结合图象，找到直线在x轴下方，同时直线在x轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围即是不等式组的解集． 3．【答案】A 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】 函数 和 的图象相交于点 ， 不等式 的解集为 ． 故选A． 【分析】以交点为分界，结合图象写出不等式mx>x+3的解集即可． 4．【答案】B 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题 【解析】【解答】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故答案为：B. 【分析】根据题意可得，，然后利用三角形的面积公式解题即可. 5．【答案】B 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：设直线 l1 的解析式为y=kx+b，∵直线 l1 过（0，3）和（3，0）， ∴，解得，∴直线 l1 的解析式为，观察四个选项，只有B中有一个方程为. 故答案为：B. 【分析】用排除法求解，求出直线 l1 的解析式即可. 6．【答案】 【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系 【解析】【解答】解：直线 与直线 相交于点 ∴二元一次方程组的解是 故答案为： 【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案. 7．【答案】 【知识点】勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题 8．【答案】； 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系 9．【答案】（1）y=-2x+10 （2）底边的长为4． 【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；等腰三角形的概念 10．【答案】（1）和的值分别为 （2）4 （3） 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题 11．【答案】B 【知识点】一次函数中的动态几何问题 【解析】【解答】解：把C(1，2)代入y=x+b得1+b=2，解得b=1， 把B(3，1)代入y=x+b得3+b=1，解得b=-2， ∴当直线y=x+6与△ABC有交点时，b的取值范围是-2≤b≤1. 故答案选：B. 【分析】将三角形顶点坐标代入直线方程求解b的值，从而确定b的取值范围. 12．【答案】D 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的面积问题 【解析】【解答】解：当时， 解得： ∴此时 当点P和点B重合时，即时， ∴此时的面积为6，即的面积为6， ∵点是的中点 ∴的面积 当点P在线段BC的中点时，由AB＝AC，则AP⊥BC， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【分析】令时，求出，时，，根据中点的性质求出的面积，根据三角形面积计算公式求出点P在BC中点时AP的长度，最后利用勾股定理求出AC的长度即可． 13．【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象；一次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：当点P由A运动到B点时，即， ， 当点P由B运动到C点时，即， ， 符合题意的函数关系的图象是 ， 故答案为：A． 【分析】分为当点P由A运动到B点时，即和当点P由B运动到C点时，即，利用三角形的面积公式列函数关系式，然后根据图象逐一判断即可． 14．【答案】B 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系 【解析】【解答】解：根据题意可得：当时，，即，解得：当时，，即，解得：，取两解集的公共部分可得：，故B选项符合题意. 故答案为：B. 【分析】本题主要考查一次函数的图象的性质，一次函数与一元一次不等式的问题，属于中档题型.分别根据和时，，列出关于m的不等式，解出不等式即可. 15．【答案】或 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系 【解析】【解答】解：是一次函数， 当时，随的增大而减小， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 当时，随的增大而增大， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或． 故答案为： 或． 【分析】根据一次函数的增减性可以得到或，求不等式得到的取值范围解题． 16．【答案】48cm2 【知识点】一次函数中的动态几何问题 【解析】【解答】 动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止， 当点P在B、C之间时， △PAB的面积随时间t的增大而增大， 由图2可知，当x=3时，点P到达点C处， BC=3x2=6cm 当点P运动到C、D之间时， △PAB的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用的时间为7-3=4s CD=2x4=8cm 长方形ABCD的面积为 8x6=48cm2 故答案为：48cm2 【分析】根据△PAB的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，进而求出长方形ABCD的面积 。 17．【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x， ∴2k1= 4，2k+ 5=4， ∴k1=2，k=， ∴正比例函数解析式为：y=2x （2）如图，连接OM， 由条件可知OB=5， ∴S△BOC=×5×2=5， ∴S△BOM= 2S△BOC = 10， ∴点M的横坐标为4或-4， ∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7， ∴M的坐标为(4，3)，（-4，7） 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题 【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解； (2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标. 18．【答案】（1）把点代入直线， 可得， 所以 （2）把点代入直线， 可得， 因为，所以， 所以 （3）联立，可得：， 所以，因为且， 所以， 因为，所以当时， 法2：因为， 所以图象过点， 因为时，， 所以点也在图象上， 与图象的交点是， 因为随的增大而减小，随的增大而增大， 所以当时， 【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【分析】（1）点在函数图象上，将点代入函数解析式即可求出参数的值； （2）将A点（m，0）代入函数解析式，得到m与a的数量关系，再结合m的取值范围，即可确定a的取值范围； （3）将两个函数解析式联立，先求出交点的坐标，再结合一次函数图象及性质利用数形结合的思想求出不等式的解集即可. 19．【答案】（1）解：∵在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解： 设与交于点E， ， 解得：， ∴点的坐标为， ，当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：①当在上时，如图1，此时，， ， 设， 又， ， 解得，，（舍去）， ， ； ②当在上，在上时，如图2，此时， 设则， ∵点P在直线上， ∴ 解得：， ∴ ； ③在上，在上时，如图3，此时，， ； ④当在上，与点重合时，如图4，此时， ∴ ， ∴与点重合， ∴ 综上所述，点在坐标为，，， ． 【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论 【解析】【分析】（1）根据经过，得到关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）通过求的解，得到点E的坐标，再求出直线与x轴的交点A的坐标，然后分别求出，，，再判断出为等腰三角形； （3）分在上；在上，在上；在上，在上；在上，与点重合四种情况，分别结合图形求出Q点的坐标即可. （1）解：把代入得 ， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）联立得：， 解得，， ∴点的坐标为， 对于直线，当时，， ∴， ∴ 又， ∴，即， ， ， ， 是等腰三角形； （3）①当在上时，如图1，此时，， ， 设， 又， ， 解得，，（舍去）， ， ； ②当在上，在上时，如图2，此时， 设则， 代入得， 解得，， 则 ； ③在上，在上时，如图3，此时，， ； ④当在上，与点重合时，如图4，此时，则 ∴与点重合， ∴ 综上，点在坐标为，，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $