5.5　一次函数的简单应用 同步练 2026-2027学年数学浙教版八年级上册

**基本信息** 初中数学一次函数同步练，覆盖一次函数应用及与方程（组）、不等式（组）关系，通过基础到综合的分层设计，强化模型意识与应用能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|函数概念、图象识别|选择/填空题（如香燃烧图象、弹簧长度计算），强化几何直观| |技能应用|函数表达式求解、实际问题建模|中档解答题（如斜挎包长度关系、水费计算），培养推理能力| |综合探究|跨知识整合、复杂情境分析|探究题（如漏水问题、行程相遇问题），发展应用意识与创新意识|

5.5　一次函数的简单应用 第1课时　一次函数的应用 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.若一炷香的可燃烧部分长35 cm，点燃后每小时燃烧7 cm，则剩下的可燃烧部分的长度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的函数关系可用图象表示为(　C　) A. B. C. D. 2.(3分)在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)(12.5≤y≤25)是所挂物体质量x(kg)的一次函数。一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长13.5 cm，当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为　15　cm。  【解析】 设y关于x的函数表达式为y=kx＋12.5(k≠0)。 ∵x=2时，y=13.5， ∴13.5=2k＋12.5，解得k=0.5， ∴y=0.5x＋12.5。 当x=5时，y=0.5×5＋12.5=15。 3.(3分)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离为　1.5　km。  4.(3分)某汽车在行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示。已知当油箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加油。若一次加满油行驶了500 km时，司机发现离前方最近的加油站还有30 km，则在驶往该加油站的途中，汽车开始提示加油时，离加油站的路程是　10　km。  【解析】 设y关于x的函数表达式为y=kx＋b(k≠0)， 把点(0，60)，(150，45)的坐标分别代入，得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y=－x＋60。 当y=8时，－x＋60=8，解得x=520， ∴500＋30－520=10(km)， 即这时离加油站的路程是10 km。 5.(8分)斜挎包的结构如图1所示，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x/cm … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度y/cm … 40 35 30 25 20 15 … (1)(2分)请在图2的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象。 (2)(3分)求出y关于x的函数表达式。 (3)(3分)根据小林的身高和习惯，当挎带的长度为96 cm时，背起来正合适，求此时双层部分的长度。 解：(1)描点及其图象如答图。 第5题答图 (2)由答图可知，y是x的一次函数。 设y关于x的函数表达式为y=kx＋b(k，b为常数，且k≠0)， 将x=50，y=40和x=70，y=30分别代入y=kx＋b， 得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y=－x＋65。 (3)根据题意，得x＋y=96，即x－x＋65=96， 解得x=62。 当x=62时，y=－×62＋65=34。 答：此时双层部分的长度是34 cm。 6.(8分)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境。已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元。 (1)(4分)求A，B两种花卉的单价。 (2)(4分)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？请求出最少总费用。 解：(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株。 由题意，得 解得 答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株。 (2)设采购A种花卉m株，则采购B种花卉(10 000－m)株，总费用为w元。 由题意，得w=3m＋5(10 000－m)=－2m＋50 000。 由m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000， 在w=－2m＋50 000中， ∵－2＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当 m=8 000 时，w的值最小， w=－2×8 000＋50 000=34 000， 此时10 000－m=2 000。 答：当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元。 7.(8分)“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事。小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度y和船上物品的重量x是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表： 船上物品的 重量x/克 0 10 20 30 40 50 60 70 … 船的入水深 度y/毫米 2 3.1 3.9 5.1 6 7 8 9 … (1)(2分)能否用一次函数近似刻画两个变量x和y的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式。 (2)(3分)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度。 (3)(3分)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量。 解：(1)观察表格数据可知，能用一次函数近似刻画两个变量x和y的关系， 设y=kx＋b， 将点(0，2)，(40，6)代入得 解得 ∴y=0.1x＋2。 将其他几组数据代入近似满足表达式， ∴这个一次函数的表达式为y=0.1x＋2。 (2)∵y=0.1x＋2，令x=100，y=10＋2=12， ∴当船上物品重量为100克时，模型船的入水深度是12毫米。 (3)∵y=0.1x＋2，令y=15，15=0.1x＋2， 解得x=130， ∴如果模型船的入水深度为15毫米，模型船上物品的重量为130克。 8.(8分)某市规定了每月用水量为18 m3以内(含18 m3)和18 m3以上两种不同的收费标准。该市的用户每月应缴水费y(元)是用水量x(m3)的函数，其图象如图所示。 (1)(4分)若某月的用水量为18 m3，则应缴水费多少元？ (2)(4分)求当x＞18时，y关于x的函数表达式。若小敏家某月缴水费81元，则当月的用水量为多少？ 解：(1)由图象得，当用水量为18 m3时，应缴水费45元。 (2)设函数表达式为y=kx＋b(k≠0，x＞18)。 ∵直线y=kx＋b过点(18，45)，(28，75)， ∴解得 ∴y=3x－9(x＞18)。 ∵81＞45， ∴当月的用水量超过18 m3， ∴当y=81时，3x－9=81，解得x=30。 答：当月的用水量为30 m3。 9.(10分)[应用意识]根据以下素材，探索完成任务。 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成的水资源浪费现象仍较为突出。某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况。同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y(毫升)是否为时间t(分钟)的函数？ 素材 每隔1分钟记录一次量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 总水量y/毫升 10 15 20 25 30 … 问题探究和问题解决 任务1 (1)(2分)请在如图所示的平面直角坐标系内描出表格中每对数据所对应的点。 任务2 (2)(3分)请根据表格中的数据和所描的点，判断y=kt(k≠0)和y=kt＋b(k，b为常数，k≠0)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出这个关系式。 任务3 (3)(5分)①(2分)同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②(2分)照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③(1分)请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议。 解：(1)描出表格每对数据所对应的点如答图。 第9题答图 (2)由所描点在同一条直线可知，y=kt＋b能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把点(1，10)，(2，15)代入，得 解得 ∴y=5t＋5。 (3)①∵y=5t＋5，令y=65，得65=5t＋5， 解得t=12， ∴当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是12分钟。 ②∵y=5t＋5，令t=60，y=5×60＋5=305。 ∵305－5=300(毫升)， ∴此水龙头1小时(60分钟)会浪费300毫升水。 ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换(答案不唯一，合理即可)。 第2课时　一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知一次函数y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，则方程kx＋b=0的解为(　C　) A.x=2 B.y=2 C.x=－1 D.y=－1 2.点P(x，y)在直线y=－x＋4上，坐标(x，y)中x，y的值是二元一次方程5x－6y=33的解，则点P的位置在(　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 解方程组得 ∴点P， ∴点P在第四象限。 3.(3分)如图，若函数y=kx＋b(k＜0)的图象经过点P(－1，3)，则关于x的不等式kx＋b＞3的解为　x＜－1　。  4.(3分)若直线y=2x＋b经过直线y=x－2与y=－x＋4的交点，则b的值为　－5　。  【解析】 令x－2=－x＋4，解得x=3， ∴y=x－2=1， ∴直线y=x－2和直线y=－x＋4的交点坐标为(3，1)。 把点(3，1)代入y=2x＋b， 得1=6＋b，解得b=－5。 5.(3分)已知一次函数y=kx－4(k≠0)的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的值为　±4　。  6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(3，3)。若直线y=kx(k≠0)与线段AB有公共点，则k的取值范围是　1≤k≤3　。  【解析】 把点(1，3)的坐标代入y=kx，解得k=3。 把点(3，3)的坐标代入y=kx，得3k=3，解得k=1， 由函数图象，得k的取值范围是1≤k≤3。 7.(8分)已知一次函数y=ax－5与y=3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3)。 (1)(4分)关于x，y的方程组的解为  　。  (2)(4分)求a，b的值。 解：(1)∵一次函数y=ax－5与y=3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3)， ∴关于x，y的方程组的解为是 (2)将代入方程组，得 解得a=2，b=－6。 8.(8分)已知直线y=－x＋b与直线y=2x－4相交于点C(2，0)。 (1)(4分)求b的值，并画出直线y=－x＋b。 (2)(4分)根据图象直接写出关于x的不等式－x＋b＞2x－4的解。 解：(1)把点C(2，0)的坐标代入y=－x＋b，得－2＋b=0，解得b=2， 画出直线y=－x＋2如答图所示。 第8题答图 (2)由图象得，不等式－x＋b＞2x－4的解为x＜2。 9.(8分)在平面直角坐标系中，函数y=kx＋b(k≠0)与y=－kx＋3的图象相交于点(2，1)。 (1)(4分)求k，b的值。 (2)(4分)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx＋b的值，也大于函数y=－kx＋3的值，直接写出m的取值范围。 解：(1)∵直线y=－kx＋3过点(2，1)， ∴－2k＋3=1，解得k=1。 将点(2，1)代入y=x＋b，得2＋b=1， 解得b=－1。 (2)如答图，观察图象可知，当m=1时，直线y=x－1可以看作直线y=mx向下平移1个单位长度所得，故两条直线没有交点，易知若m≥1，则在x＞2时函数y=mx的值大于函数y=kx＋b的值。 第9题答图 当x＞2时，y=－kx＋3=－x＋3＜1，而当m≥1，x＞2时，y=mx＞2，故函数y=mx的值大于函数y=－kx＋3的值。 综上所述，满足条件的m的取值范围是m≥1。 10.如图，直线y=x＋b和y=kx＋2分别与x轴相交于点A(－2，0)，B(3，0)，则不等式组的解集为(　D　) A.x＜－2 B.x＞3 C.x＜－2或x＞3 D.－2＜x＜3 【解析】 由图象可知，不等式x＋b＞0的解集为x＞－2， 不等式kx＋2＞0的解集为x＜3， ∴不等式组的解集为－2＜x＜3。 11.(3分)我们知道，若ab＞0，则有或如图，直线y=kx＋b与y=mx＋n分别交x轴于点A(－0.5，0)，B(2，0)，则不等式(kx＋b)(mx＋n)＞0的解集是　－0.5＜x＜2　。  【解析】 ∵不等式(kx＋b)(mx＋n)＞0， ∴或 当时， 由图象，得无解； 当时， 由图象，得 此时不等式组的解集为－0.5＜x＜2。 综上所述，－0.5＜x＜2。 12.(8分)一条笔直的路上依次有A，B，C三地，其中A，C两地相距720米。小刚、小欣两人分别从A，C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A。图中线段OP，QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象。 (1)(2分)求QR所在直线的表达式。 (2)(3分)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)(3分)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A，B两地间的距离。 解：(1)小刚、小欣两人离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象为一次函数，设QR所在直线表达式为y=kx＋b(k≠0)， 将点Q(0，720)，R(12，0)代入，得 解得 ∴QR所在直线表达式为y=－60x＋720。 (2)由图象可得小刚行走速度v1=720÷8=90(米/分)， 小欣行走速度v2=720÷12=60(米/分)， 两人相遇时间为720÷(90＋60)=4.8(分钟)， ∴小刚行走4.8分钟后两人相遇。 (3)设A，B两地的距离为s米， 由题意得＋1=， 解得s=396。 答：A，B两地间的距离为396米。 13.(10分)[创新意识]如图，在直角坐标系中，O是原点，梯形ABCD的顶点A(－4，0)，B(－2，－2)，D(0，3)，且 AB∥CD，BC经过点O。求： (1)(5分)点C的坐标。 (2)(5分)梯形ABCD的面积。 解：(1)设BC所在直线的表达式为y=kx，将点B(－2，－2)代入，得－2k=－2，∴k=1，∴直线BC的表达式为y=x。 设AB所在直线的表达式为y=mx＋n， 将点B(－2，－2)，A(－4，0)代入，得 解得 ∴直线AB的表达式为y=－x－4， ∴直线CD的表达式为y=－x＋3。 联立方程组解得 ∴点C的坐标为。 (2)梯形ABCD的面积=S△AOB＋S△AOD＋S△COD=×4×2＋×4×3＋×3×=4＋6＋。 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B. C. D. 2.(3分)在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)(12.5≤y≤25)是所挂物体质量x(kg)的一次函数。一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长13.5 cm，当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为 cm。  3.(3分)星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离为 km。  4.(3分)某汽车在行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示。已知当油箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加油。若一次加满油行驶了500 km时，司机发现离前方最近的加油站还有30 km，则在驶往该加油站的途中，汽车开始提示加油时，离加油站的路程是 km。  5.(8分)斜挎包的结构如图1所示，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x/cm … 50 60 70 80 90 100 … 双层部分的长度y/cm … 40 35 30 25 20 15 … (1)(2分)请在图2的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象。 (2)(3分)求出y关于x的函数表达式。 (3)(3分)根据小林的身高和习惯，当挎带的长度为96 cm时，背起来正合适，求此时双层部分的长度。 6.(8分)某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境。已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元。 (1)(4分)求A，B两种花卉的单价。 (2)(4分)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？请求出最少总费用。 7.(8分)“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事。小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度y和船上物品的重量x是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表： 船上物品的 重量x/克 0 10 20 30 40 50 60 70 … 船的入水深 度y/毫米 2 3.1 3.9 5.1 6 7 8 9 … (1)(2分)能否用一次函数近似刻画两个变量x和y的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式。 (2)(3分)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度。 (3)(3分)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量。 8.(8分)某市规定了每月用水量为18 m3以内(含18 m3)和18 m3以上两种不同的收费标准。该市的用户每月应缴水费y(元)是用水量x(m3)的函数，其图象如图所示。 (1)(4分)若某月的用水量为18 m3，则应缴水费多少元？ (2)(4分)求当x＞18时，y关于x的函数表达式。若小敏家某月缴水费81元，则当月的用水量为多少？ 9.(10分)[应用意识]根据以下素材，探索完成任务。 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成的水资源浪费现象仍较为突出。某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况。同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y(毫升)是否为时间t(分钟)的函数？ 素材 每隔1分钟记录一次量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 总水量y/毫升 10 15 20 25 30 … 问题探究和问题解决 任务1 (1)(2分)请在如图所示的平面直角坐标系内描出表格中每对数据所对应的点。 任务2 (2)(3分)请根据表格中的数据和所描的点，判断y=kt(k≠0)和y=kt＋b(k，b为常数，k≠0)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出这个关系式。 任务3 (3)(5分)①(2分)同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②(2分)照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③(1分)请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议。 第2课时　一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知一次函数y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，则方程kx＋b=0的解为( ) A.x=2 B.y=2 C.x=－1 D.y=－1 2.点P(x，y)在直线y=－x＋4上，坐标(x，y)中x，y的值是二元一次方程5x－6y=33的解，则点P的位置在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(3分)如图，若函数y=kx＋b(k＜0)的图象经过点P(－1，3)，则关于x的不等式kx＋b＞3的解为 。  4.(3分)若直线y=2x＋b经过直线y=x－2与y=－x＋4的交点，则b的值为 。  5.(3分)已知一次函数y=kx－4(k≠0)的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的值为 。  6.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(3，3)。若直线y=kx(k≠0)与线段AB有公共点，则k的取值范围是 。  7.(8分)已知一次函数y=ax－5与y=3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3)。 (1)(4分)关于x，y的方程组的解为 。  (2)(4分)求a，b的值。 8.(8分)已知直线y=－x＋b与直线y=2x－4相交于点C(2，0)。 (1)(4分)求b的值，并画出直线y=－x＋b。 (2)(4分)根据图象直接写出关于x的不等式－x＋b＞2x－4的解。 9.(8分)在平面直角坐标系中，函数y=kx＋b(k≠0)与y=－kx＋3的图象相交于点(2，1)。 (1)(4分)求k，b的值。 (2)(4分)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx＋b的值，也大于函数y=－kx＋3的值，直接写出m的取值范围。 10.如图，直线y=x＋b和y=kx＋2分别与x轴相交于点A(－2，0)，B(3，0)，则不等式组的解集为( ) A.x＜－2 B.x＞3 C.x＜－2或x＞3 D.－2＜x＜3 11.(3分)我们知道，若ab＞0，则有或如图，直线y=kx＋b与y=mx＋n分别交x轴于点A(－0.5，0)，B(2，0)，则不等式(kx＋b)(mx＋n)＞0的解集是 。  12.(8分)一条笔直的路上依次有A，B，C三地，其中A，C两地相距720米。小刚、小欣两人分别从A，C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A。图中线段OP，QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象。 (1)(2分)求QR所在直线的表达式。 (2)(3分)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)(3分)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A，B两地间的距离。 13.(10分)[创新意识]如图，在直角坐标系中，O是原点，梯形ABCD的顶点A(－4，0)，B(－2，－2)，D(0，3)，且 AB∥CD，BC经过点O。求： (1)(5分)点C的坐标。 (2)(5分)梯形ABCD的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $