第二章 有理数及其运算 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七上有理数及其运算单元卷，120分钟/150分设置，融合火星距离、冬枣销售等真实情境，覆盖概念、运算及应用，适配单元复习与抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|科学记数法（2题）、近似数（3题）|结合太阳系天体运动（2题）考科学记数法，体现数学眼光| |填空|4/20|新定义运算（13题）、候场时间优化（16题）|以节目彩排候场时间（16题）考有理数应用，培养模型意识| |解答|8/94|数轴动点（21题）、销售问题（22题）|冬枣销售（22题）用正负数分析销量，发展数据意识；绝对值探究（24题）深化推理能力|

2026-2027学年北师大版七上第二章有理数及其运算单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某日凌晨的气温是℃，到中午上升了9℃，到午夜又下降了10℃，求午夜的气温是多少．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在太阳系的天体运动研究中，科学家观测到火星与地球因绕太阳公转，二者间的空间距离始终处于动态变化中，当火星运行至近地轨道时，与地球的最近距离约为5500万千米“5500万”用科学记数法可表示为(    ) A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．近似数1.7与1.70表示的意义相同 B．0.30万精确到百分位 C．0.000668用科学记数法表示并保留两个有效数字得 D．49554精确到万位是49000 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 6．鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准，新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 260 旧鞋号 34 35 36 37 … 则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 7．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 9．下列命题中，说法正确的有（    ）个 ①非负数是指正数；②若则；③在时钟的钟面上下午2：40时的分针与时针夹角是；④在数中无理数只有1个；⑤点与点之间的最短距离是线段；⑥由四舍五入法得到的近似数精确到百位；⑦表示的数一定是负数；⑧数字879万用科学记数法表示为． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 10．我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（   ） A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位 C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8 11．定义一种对正整数的“F”运算，①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，如图所示，若，则第201次“F”的运算的结果是（    ） A．1 B．4 C．6 D．8 12．近似数 是精确到（    ） A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如果规定符号“”的意义是，如，求______． 14．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 15．阳光中学举办了一次足球比赛，七（1）班在3场足球比赛中的成绩如下：第1场胜，第2场负，第3场胜．七（1）班在这次比赛中总的净胜球数（进球数减去失球数）是_____． 16．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 三.（本题共16分） 17．将下列各数填入适当的括号内： ， 正数集合：{                  } 整数集合：{                  } 负有理数集合：{                  } 正分数集合：{                  } 18．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 四.（本题共16分） 19．计算 (1)； (2)； (3)． (4) 20．已知有理数、、在数轴上的位置如图所示： (1)判断正负，用“”、“ ”或“”填空： _____， 0， 0， 0， (2) 化简：． 五．（本题共12分） 21．如图，已知为数轴上的两个点，点对应的数为，点对应的数为． (1)求线段的中点对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点处相遇，求点对应的数； (3)若电子蚂蚁从点出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左运动，当两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度时，求点对应的数． 六.（本题共12分） 22．随着互联网的普及，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明也把自己家的冬枣放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周冬枣的销售情况(超额记为正，不足记为负．单位：)； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出 ___ ； (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 ___； (3)本周实际销售总量是否达到了计划数量？ (4)若每千克冬枣按8元出售，每千克冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 七.（本题共12分） 23．已知数轴上两点A，B对应的数分别为，，点P为数轴上一个动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P对应的数为____________； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当的值为10时，求点P所对应的数是多少？ 八.（本题共14分） 24．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版七上第二章有理数及其运算单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B A C B D C C 题号 11 12 答案 D C 1．C 【分析】本题主要考查了正负的应用，有理数的加减混合运算的应用， 根据温度变化，上升用加法，下降用减法，直接列出算式． 【详解】解：∵凌晨气温为，中午上升， ∴中午气温为； ∵午夜又下降， ∴午夜气温为． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了科学记数法．将“万”转换为数字，科学记数法要求系数满足，为整数 【详解】解：∵万， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查近似数的精确度的求法及科学记数法，解题的关键是明确数的精确度的求法．根据近似数的精确度的求法，即可求解． 【详解】解：A、近似数1.7精确到十分位，1.70精确到百分位，所以近似数1.7与1.70表示的意义不同，A选项错误，不符合题意； B、0.30万精确到百位，B选项错误，不符合题意； C、0.000668用科学记数法表示并保留两个有效数字得，C选项正确，符合题意； D、49554精确到万位是50000，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则（包括符号规则和运算顺序）进行验证，只有选项B的计算正确． 【详解】解：A： ， ， ，故A错误； B：，，故B正确； C：， ，故C错误； D：，，故D错误， 故选：B． 5．A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 6．C 【分析】本题考查有理数的运算，及找规律，根据表格数据观察得出规律求解，即可解题． 【详解】解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ，， 即的值为42， 故选：C． 7．B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 8．D 【分析】节约用水量记为正，对应相反意义的浪费用水量应记为负，即可得出答案． 【详解】解：∵题目规定节约用水记为正，浪费与节约是相反意义的量， ∴浪费用水应记为负，因此小兰家浪费了吨水，可记作吨． 9．C 【分析】本题考查了非负数，绝对值，无理数，近似数，科学记数法，根据知识点判断即可． 【详解】①非负数是指正数和零，错误； ②若则或，错误； ③在时钟的钟面上下午2：40时的分针与时针夹角是，正确 ④在数中无理数只有1个，正确； ⑤点与点之间的最短距离是线段的长度，错误； ⑥由四舍五入法得到的近似数精确到百位，正确； ⑦表示的数不一定是负数，错误； ⑧数字879万用科学记数法表示为，正确． 故选C． 10．C 【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解． 【详解】解：10.75亿精确到百万位，故A、B选项不符合题意； 10.75亿用科学记数法表示为10.75亿=1.075×109，则a=1.075，n=9，故C选项符合题意，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值和精确度的定义． 11．D 【分析】据提供的“F”运算，对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于为奇数应先进行F①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F”运算，得到的结果为8． 本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键． 【详解】解：第一次：， 第二次：，，即， 第三次：， 第四次：，即，计算结果为1， 第五次：， 第六次：，，即，计算结果为1， 此后计算结果为8和1循环， ∵201是奇数， ∴第201次运算结果是8． 故选：D． 12．C 【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案． 【详解】解： ∵的0在百位上， ∴近似数是精确到百位， 故选C． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数． 13． 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，符号“”表示两个数的乘积除以它们的和，直接代入数值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 15．2 【分析】用进球总数减去失球总数即可得七（1）班在这次比赛中总的净胜球数． 本题考查了用有理数加减运算解决实际问题．正确的列式和计算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 16． 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 17． 正数集合： 整数集合： 负有理数集合： 正分数集合： 【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可． 【详解】略 18．(1)小虫回到了出发点 (2)小虫离开出发点最远是12厘米 (3)小虫共可得到18粒芝麻 【分析】（1）将数据相加即可求解； （2）分别求出每一次离开出发点的距离，再比较即可； （3）把各数的绝对值相加求出爬行的路程和，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故小虫回到原点； （2）解：第一次爬行，此时离开出发点5厘米， 第二次爬行，此时离开出发点厘米， 第三次爬行，此时离开出发点厘米， 第四次爬行，此时离开出发点厘米， 第五次爬行，，此时离开出发点厘米 第六次爬行，此时离开出发点厘米， 第7次爬行，此时离开出发点厘米， 故小虫离开出发点最远是12厘米； （3）解：小虫共爬行的路程为： 厘米， 粒， 小虫共可得到18粒芝麻． 19．(1)8 (2)34 (3)0 (4)2023 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． （4）根据有理数的乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解：原式 ． 20．(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加减计算，化简绝对值和整式的加减计算，正确根据数轴判断出对应式子的符号是解题的关键． （1）由数轴可得，，再根据有理数加减法计算法则求解即可； （2）由（1）得，，，据此化简绝对值，再利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）解：由（1），， ∴ ． 21．(1)线段的中点对应的数为 (2)点表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】（1）设线段的中点对应的数为，根据列方程求解； （2）根据题意列方程求解即可； （3）利用“电子蚂蚁运动的路程电子蚂蚁运动的路程110或130”列方程求解，进而可得点对应的数． 【详解】（1）解：设线段的中点对应的数为， 由，得， 解得 ， 即线段的中点对应的数为． （2）解：由图可知：数轴上两点之间的距离为， 设电子蚂蚁和电子蚂蚁运动秒后在点处相遇， 依题意，得， 解得， 所以点表示的数为． （3）解：设电子蚂蚁和电子蚂蚁 运动秒后在数轴上相距个单位长度， 依题意，得或， 解得或， 或， ∴点对应的数为或． 22．(1)296 (2)29 (3)本周实际销售总量达到了计划数 (4)小明本周一共收入3585元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算： （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）把7天的记录数据相加，与0进行比较 （4）将总数量乘以价格差，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故前三天共卖出， 故答案为：296； （2）解：， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售， 故答案为：29； （3）解：， 所以本周实际销售总量达到了计划数； （4）解： （元） 答：小明本周一共收入3585元． 23．(1)1 (2)或5 (3)点P所对应的数是 【分析】（1）由点P到点A、点B的距离相等得点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、3，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②点P在B点右边时，分别列方程求出x的值即可； （3）首先表示出运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后得到，，然后根据题意得到，然后分三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P是线段的中点， ∵点A、B对应的数分别为、3， ∴点P对应的数是； （2）解：①当点P在A左边时， 解得：； ②点P在B点右边时，， 解得：， 综上所述，当或5时，点P到点A、点B的距离之和为8； （3）解：设运动时间为t， 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴， ∵的值为10 ∴ ∴当时， 解得（舍去）； 当时， 解得 ∴点P表示的数为； 当时， 解得（舍去）； 综上所述，点P所对应的数是． 24．(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $