第二章 有理数及其运算 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版初中数学有理数及其运算单元卷，通过基础概念题、创新情境题（如“快乐数”）及实际应用题（如电路巡检），覆盖有理数分类、运算及应用，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|有理数分类、绝对值、科学记数法|第9题“快乐数”结合新定义，考查数感与抽象能力| |填空|5|数轴应用、集合分类、相反数性质|第12题数轴墨迹问题，培养几何直观与推理意识| |解答|9|混合运算、实际应用、绝对值几何意义|第20题电路巡检情境，第21题氢气球质量计算，体现模型意识与应用能力|

第2章 有理数及其运算单元测试 【北师大版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 3．下列说法正确的是（   ） A．最小的整数是0 B．如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等 C．有理数分为正数和负数 D．互为相反数的两个数和为0 4．以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（     ） A． B． C． D． 5．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 7．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 8．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 9．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 10．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 2、 填空题 11．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 12．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 13．若，则________． 14．大于而小于7的所有整数的积是________． 16．若，，则______． 3、 解答题 17．计算： 18．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 21．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 22．有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“ ”或“”填空： ______________________0； (2)化简：． 23．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 24．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 25．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数及其运算单元测试 【北师大版】 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 2．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 3．下列说法正确的是（   ） A．最小的整数是0 B．如果两个数绝对值相等，那么这两个数相等 C．有理数分为正数和负数 D．互为相反数的两个数和为0 【答案】D 【分析】根据有理数的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、 整数包含负整数， 不存在最小的整数，说法错误，不符合题意； B、互为相反数的两个数绝对值也相等， 绝对值相等的两个数不一定相等，说法错误，不符合题意； C、有理数包含，既不是正数也不是负数， 有理数分为正数，零和负数，说法错误，不符合题意； D、互为相反数的两数和为， 该说法正确，符合题意． 4．以下是贵阳市冬季连续四天上午某时刻的气温，其中气温最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较法则比较四个气温，即可得到最低气温． 【详解】解：对四个气温数值进行大小比较， 是四个气温中的最低的． 5．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 6．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 7．比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：所求数为． 8．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 9．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 10．2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 2、 填空题 11．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 【答案】 【分析】根据正数、负数、分数、有理数的定义，对给出的数逐一分类即可. 【详解】解：大于的数是正数，正数集为； 小于的数是负数，负数集为； 分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数和百分数都属于分数，分数集为； 整数和分数统称为有理数，本题给出的所有数都为有理数，有理数集为. 12．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 13．若，则________． 【答案】 【分析】首先依据绝对值的非负数的性质求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 14．大于而小于7的所有整数的积是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算．注意到，在这个范围内有整数0，故它们的积为0． 【详解】解：大于而小于的所有整数为，，，，，，，，，，， ． 15．_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 16．若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 3、 解答题 17．计算： 【答案】 【分析】先省略加号，化简原式符号，再通分计算即可． 【详解】解： ． 18．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 21．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【答案】（1）7.2×102g；（2）5×105倍． 【详解】试题分析: （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果.（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 试题解析:（1）8000000×0.00009=7.2×102 (g)    （2）45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍. 22．有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“ ”或“”填空： ______________________0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了绝对值，数轴，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论； （2）根据（1）中各式的符号，去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∵， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：由（1）得，，， ． ． 23．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 24．善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 25．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $