27.3.1实际问题与反比例函数（第1课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与反比例函数的应用，通过复习反比例函数的概念、图象及性质，为新知学习搭建知识支架，衔接前后内容。 以港口装卸货、杠杆原理等真实情境为载体，引导学生经历“审清题意、建立模型、确定范围、求解作答”的完整过程，发展模型观念与应用意识。如杠杆问题中用增减性解释省力原理，培养数学思维与表达能力，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供清晰教学路径与实例。

27.3.1 实际问题与反比例函数（第1课时）教学设计 一、课标要求 能根据实际问题中的数量关系，建立反比例函数模型，利用反比例函数的图象与性质解决简单的实际问题，体会数学建模思想。 二、教学目标 1. 能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型； 1. 会运用反比例函数的性质解决简单的实际问题，能根据实际意义确定自变量的取值范围； 1. 经历“实际问题→建立反比例函数模型→解决问题”的过程，发展模型观念和应用意识。 三、教学重点 从实际问题中抽象等量关系，建立反比例函数模型并解决问题。 四、教学难点 根据实际意义确定自变量的取值范围，利用反比例函数的增减性解释实际现象。 五、教学过程 （一）复习回顾 【师生活动】 教师提问，学生口答： 1. 反比例函数的一般形式是什么？ 答：一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。 1. 反比例函数的图象和性质是什么？ 答：反比例函数 （）的图象是双曲线。 当 时，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小； 当 时，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大。 【设计意图】 通过回顾反比例函数的概念与性质，为本节课利用反比例函数解决实际问题做好知识储备。 （二）探究新知——例1：港口装卸货问题 【问题情境】 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 。 （1） 轮船装载的货物总量是多少？ （2） 卸货时，平均卸货速度 （单位：）与卸货时间 （单位：）有怎样的函数关系？ （3） 如果要在不超过 的时间内卸完货物，那么平均每小时至少需要卸货多少吨？ 【师生活动】 教师引导学生分析题意： · 第（1）问：根据“平均装载速度 装载总时间 货物总量”，先求出轮船装载货物的总量。 · 第（2）问：根据“平均卸货速度 卸货总时间 货物总量”，得到 关于 的函数解析式。 · 第（3）问：利用反比例函数的增减性，求出 的最小值。 学生独立思考后，教师板书规范的解题过程。 【解题过程】 （1）轮船装载货物的总量为： （2）卸货时，平均卸货速度 与卸货时间 满足： 所以 关于 的函数解析式为： 是 的反比例函数。 （3）由题意 ，因为 ，且 ， 所以当 时， 随 的增大而减小。 当 时， 取最小值： 答：如果要在不超过 的时间内卸完货物，那么平均每小时至少需要卸货 。 【设计意图】 从港口装卸货的实际情境出发，让学生经历“审清题意→建立反比例函数模型→利用增减性求解”的完整过程。通过具体的数值计算，帮助学生掌握用反比例函数解决实际问题的规范步骤。 （三）探究新知——例2：杠杆原理问题 【知识背景】 古希腊科学家阿基米德（公元前287—前212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡。后来人们把它归纳为“杠杆原理”。 杠杆原理为：阻力 阻力臂 动力 动力臂。 【问题情境】 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 和 。 （1）动力 （单位：）与动力臂 （单位：）有怎样的函数关系？当动力臂为 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 至少要加长多少？ 【师生活动】 教师介绍杠杆原理的背景知识，引导学生找出等量关系“阻力 阻力臂 动力 动力臂”。 学生尝试独立列式并求解，教师巡视指导，关注学生在“确定自变量取值范围”和“利用增减性求范围”两个环节的规范性。 【解题过程】 由杠杆原理可知：阻力 阻力臂 动力 动力臂，即 （1）动力 关于动力臂 的函数解析式为： 当 时， 答：动力 关于动力臂 的函数解析式为 （）；当动力臂为 时，撬动石头至少需要 的力。 （2）由题意， 不超过（1）中所用力的一半，即 由 ，得 因为 ，两边同乘 ，得 所以动力臂 至少要加长： 答：若想使动力 不超过 的一半，则动力臂 至少要加长 。 【思考】 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 【师生活动】 教师引导学生从反比例函数的增减性角度进行分析。 【解答】 因为阻力 阻力臂 为定值， 所以动力 与动力臂 满足 （）。 由于 ，当 时， 随 的增大而减小， 所以动力臂越长，动力越小，即越省力。 【设计意图】 借助杠杆原理这一经典物理情境，让学生体会反比例函数在跨学科问题中的应用。第（2）问利用反比例函数的增减性求动力臂的范围，突破“根据实际意义确定自变量取值范围”这一难点。 （四）课堂小结 【师生活动】 教师引导学生共同总结用反比例函数解决实际问题的基本步骤。 用反比例函数解实际应用题的一般步骤： 1. 审：审清题意，识别常量与变量，提取等量关系； 2. 建：根据“乘积为定值”的等量关系，建立反比例函数解析式； 3. 定：结合实际意义，确定自变量的取值范围； 4. 解：代入求值或结合增减性，求解变量的值或范围； 5. 验答：检验结果是否符合实际，规范作答。 【设计意图】 通过归纳解题步骤，帮助学生形成解决反比例函数实际问题的规范思路，发展数学建模素养。 （五）当堂检测 A组（基础巩固） 1. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为 （不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗。 （1）漏斗口的面积 （单位：）与漏斗的深 （单位：）有怎样的函数关系？ （2）如果漏斗口的面积不超过 ，那么漏斗的深 至少为多少？ 【解题过程】 （1）由圆锥体积公式 ，得 所以 关于 的函数解析式为： （2）由题意 ，即 因为 ，两边同乘 ，得 答：如果漏斗口的面积不超过 ，那么漏斗的深 至少为 。 B组（综合提升） 2. 为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动。客户交付首付款后，在 个月内结清余款即可。小张在活动期间购买了价格为 万元的汽车，首付款 万元。他计划用 个月结清余款，平均每月还款 万元。 （1） 与 有怎样的函数关系？ （2）如果小张打算 个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ （3）如果小张打算每月还款不超过 元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【解题过程】 余款为 （万元）。 由题意，，所以 关于 的函数解析式为： （2）当 时， 答：如果小张打算 个月结清余款，那么他平均每月应还款 万元（即 元）。 （3）由题意 （万元），即 因为 ，两边同乘 ，得 答：如果小张打算每月还款不超过 元，那么他至少要 个月才能结清余款。 【设计意图】 A组以圆锥形漏斗为载体，巩固“建立反比例函数模型 + 利用增减性求范围”的基本方法；B组以购车分期付款为背景，综合考查建立函数模型、代入求值、利用不等式求范围三个环节，检测学生灵活运用反比例函数解决实际问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $